Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 4 ts phạm văn đạt

Xác định giá trị các biến dạng chính, phương của biến dạng chính thứ nhất Lời giải 1.. Phương pháp chuyển vị: Chọn ẩn số của bài toán là các thành phần chuyển vị.. Phương pháp lực: Chọn

121

4.2 Thế năng biến dạng

Xét một vật thể đàn hồi, khi chịu tác

dụng của ngoại lực thì vật thể bị biến dạng

Các nội lực đàn hồi sẽ thực hiện một công

nào đó trên những biến dạng đàn hồi Ta sử

dụng giả thuyết của lý thuyết đàn hồi là

công của lực đàn hồi chuyển hoàn toàn

thành thế năng tích lũy khi vật thể biến dạng

đàn hồi Năng lượng tích lũy biến dạng

trong một đơn vị thể tích được gọi là thế

123

4.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

4.3.1 Tính đối xứng của ma trận các hằng số đàn hồi

Ta có, đạo hàm riêng của thế năng riêng theo biến dạng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm nên:

x x ) do đó khi ta thay đổi chiều của trục thì trong biểu thức U hệ số các biến dạng γ23;γ31

không thay đổi, nghĩa là:

c = c = c =c = c =c =c = c = 0 (4.8)

Như vậy ma trận các hằng số đàn hồi còn lại 13 thành phần độc lập và biểu thức định luật Hooke có dạng:

có dạng:

Như vậy đối với vật thể đàn hồi đẳng hướng chỉ còn hai hằng số độc lập và ký hiệu:

c = λ;c = µ

Hai hằng số λ µ, được gọi là hai hằng số Lame

Biểu thức quan hệ giữa ứng suất và biến dạng sẽ có dạng là:

trong đó: θ = ε + ε + ε11 22 33 là biến dạng thể tích tương đối

Nếu đặt S = σ + σ + σ11 22 33 là bất biến thứ nhất của hàm ứng suất (hàm tổng ứng suất) Biểu thức của định luật Hooke dưới dạng khối sẽ là: S = (3 λ + µ θ 2 ) (4.14)

Giải hệ phương trình (4.13) theo các ẩn số là biến dạng sẽ ta được:

2(1 )E2(1 )E2(1 )E

1) Hãy xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt đi qua điểm

=r

2) Tính ứng suất chính tại điểm K

3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất

4) Tính suất tiếp lớn nhất

132

Lời giải:

1) Ứng suất toàn phần trên mặt cắt

Bước 1: Tính tenxơ ứng suất tại K:

134

2

8,8 1,6 3,21,6 5,6 3,2 (kN / cm )3,2 3,2 5,6

4.10 3,2(kN / cm )2(1 ) 2(1 0,25)

4.10 3,2(kN / cm )2(1 ) 2(1 0,25)

Bước 3: Xác định ứng suất toàn phần:

Ứng suất toàn phần trên mặt cắt nghiêng:

3) Xác định phương chính của ứng suất chính thứ nhất

Phương chính tương ứng với ứng suất chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:

2 3 max,2

2

3 1 max,3

1,7298(kN/cm )2

5,0596(kN/cm )2

3,3298(kN/cm )2

1 Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K

2 Xác định biến dạng dài tại K theo phương pháp tuyến của mặt phẳng cho bởi phương trình: 3x 2y 2z 10+ − =

3 Xác định giá trị các biến dạng chính, phương của biến dạng chính thứ nhất

Lời giải

1 Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K

Theo định luật Hooke:

Nghiệm của phương trình (d) là: ε =1 4,300; ε =2 1,5; ε = −3 3,800.

4.4 Đường lối giải bài toán của lý thuyết đàn hồi tuyến tính

Giải bài toán lý thuyết đàn hồi là xác định các chuyển vị, biến dạng và ứng suất khi môi trường chịu tác dụng của hệ lực cân bằng.Về ẩn số của bài toán: 3 ẩn là chuyển vị

u ;u ;u ; 6 ẩn là ứng suất σ σ11, 22,σ33,σ σ σ12, 23, 31; 6 ẩn là biến dạng ε ε11, 22,ε ε ε ε33, 12, 23, 31

như vậy bài toán có tổng cộng 15 ẩn

Để giải 15 ẩn này ta tìm được 15 phương trình như sau:

148

4.4.2 Hệ các phương trình về mối liên hệ hình học

- Quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng:

4.4.2 Hệ các phương trình về mối liên hệ vật lý

- Biểu diễn ứng suất qua biến dạng:

Để giải hệ các phương trình cơ bản trên ta có 3 phương pháp chọn ẩn số như sau:

1 Phương pháp chuyển vị: Chọn ẩn số của bài toán là các thành phần chuyển vị

2 Phương pháp lực: Chọn ẩn số là các thành phần ứng suất:

3 Phương pháp hỗn hợp: Chọn ẩn số cơ bản là một số chuyển vị và một số ứng suất

Hai phương pháp đầu là hai phương pháp cơ bản Ta nhận thấy về mặt toán học thì

phương pháp chuyển vị là phương pháp đơn giản vì ẩn số chỉ có 3 Tuy nhiên vào một số bài toán củ thể khi tính toán theo phương pháp này tương đối phức tạp và ta thường sử

151

dụng phương pháp thứ lực thuận tiện hơn Còn trong một số trường hợp cụ thể có thể sử

dụng phương pháp hỗn hợp thuận tiện hơn

4.5 Giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo chuyển vị

Ta biến đổi các phương trình cân bằng (4.18) qua các hàm chuyển vị u ;u ;u1 2 3 Xét phương trình đầu tiên của (4.18):

154

2

1 1 1

2

2 2 2

2

3 3 3

Hệ phương trình (4.28) gọi là hệ phương trình Lame

Biểu diễn hệ (4.19) theo các thành phần chuyển vị Chẳng hạn ta thay (4.25) vào phương trình đầu tiên của (4.19):

* 3

155

* 3

1

* 3

2

3

uu

156

chuyển vị u ;u ;u1 2 3 Từ các phương trình dựa vào mối liên hệ hình học ta sẽ tìm được các thành phần biến dạng ε ε11, 22,ε ε ε ε33, 12, 23, 31 Sau khi tìm được các biến dạng thay vào các phương trình định luật Hooke ( mối liên hệ vật lý) sẽ xác định được các thành phần ứng suất σ σ11, 22,σ33,σ σ12, 23,σ31 của bài toán

Các hệ quả:

Lấy đạo hàm của các phương trình trong hệ (4.28) theo x1, x2, x3:

2

2 12

2

2 22

2

2 32

157

Cộng 3 phương trình của (4.31) ta được:

(λ + µ ∇ θ =2 ) 0 → ∇ θ = 0 → ∇ S 0=

Phát biểu hệ quả 1: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các

lực thể tích là hằng số thì hàm biến dạng thể tích và hàm ứng suất tổng là những hàm điều hòa

Xét phương trình đầu tiên của (4.28), lấy đạo hàm bậc 2 lần lượt đối x1, x2, x3 ta được:

2 3

2 1

2 3

2 1

2 3

Phát biểu hệ quả 2: Trong bài toán tĩnh, đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, khi các

lực thể tích là hằng số thì hàm chuyển vị là những hàm trùng điều hòa

4.6 Giải bài toán lý thuyết đàn hồi theo ứng suất

Nếu ta chọn các thành phần ứng suất σ σ11, 22,σ33,σ σ12, 23,σ31 của bài toán làm ẩn số thì ngoài các phương trình cân bằng và các điều kiện biên cần phải bổ sung các phương trình liên tục Bây giờ biểu diễn các phương trình (4.23) theo ứng suất theo (4.21) vào các phương trình liên tục ta sẽ thu được hệ các phương trình liên tục biểu diễn qua ứng suất

Ta cũng nhận được các phương trình này xuất phát từ phương trình Lame

∂ (4.39)

162

Tương tự ta có:

2 2

11 2

1 2 2

22 2

2 2 2

xS

12

1 2 2 2

23

2 3 2 2

x xS

163

Hệ phương trình (4.40) và (4.41) là phương trình để giải bài toán đàn hồi theo ứng suất, đã tổng hợp các điều kiện về mặt tĩnh học, hình học và vật lý của môi trường Giải (4.40) và (4.41) có được các ứng suất sau đó tìm các biến dạng theo định luật Hooke và tìm các chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy

Hệ (4.40) và (4.41) gọi là hệ phương trình Beltrmi

164

4.6.2 Trường hợp lực khối là hàm của tọa độ

Khi lực thể tích không phải là hằng số ta cũng nhận được các phương trình tương tự:

165

Hệ quả 3: Khi lực khối là hằng số từ phương trình (4.40) ta suy được: 4

ij 0

∇ σ =

Nội dung hệ quả 3: Ứng suất là những hàm trùng điều hòa Vì ứng suất tỉ lệ với biến

dạng nên biến dạng cũng là những hàm điều hoà kép

⇒ Phát biểu: Các nghiệm ứng suất, chuyển vị, biến dạng của bài toán đàn hồi tuyến

tính khi lực thể tích là hằng số đều là những hàm điều hòa kép:

166

ảnh hưởng đến tính chất và trị số của ứng suất Để thấy rõ nguyên lý Sain – Venant ta xét

ví dụ sau: Một dầm chịu uốn bởi lực P tác dụng tại đầu dầm trong hai trường hợp (hình 4.2

Hình 4.2 a,b) Trong 2 trường hợp này ứng suất tại vùng A rất khác nhau, nhưng ngoài vùng A ứng suất khác nhau rất ít Thực vậy, nếu ta xét thêm trường hợp thứ 3 (hình 4.3c) bằng cách thêm vào trường hợp (a) 2 lực cân bằng (P ,P1 2) ≈ 0;P1 = P2 = P

4.8 Các phương pháp giải

4.8.1 Phương pháp thuận

Phương pháp thuận là phương pháp tích phân trực tiếp phương trình Lame (4.28) khi giải theo chuyển vị thì các phương trình Bentrami – Missen (4.40) và (4.41) hoặc (4.42) khi giải theo ứng suất Các hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện biên của bài

so với phương pháp thuận Tuy nhiên để tìm nghiệm đúng phải thử nhiều hàm chọn, do vậy rất cồng kềnh nhiều trường hợp không làm được

4.8.3 Phương pháp nửa ngược Saint – Venant

Phương pháp này người ta cho trước một phần của hàm ẩn, tuy chưa đầy đủ nhưng cũng thỏa mãn một số điều kiện biên hoặc một vài phương trình cơ bản Những hàm ẩn này phụ thuộc và một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định Những hàm số hoặc những

169

hằng số chưa xác định này sẽ được xác định từ các phương trình hay những điều kiện biên còn lại Thực tế cho thấy phần lớn các bài toán quan trọng của lý thuyết đàn hồi được giải theo cách này

4.9 Một số giải bài toán xoắn thuần túy thanh lăng trụ

Xét thanh thẳng, có mặt cắt ngang không thay đổi, chịu xoắn thuần túy bởi các mô men xoắn M tại 2 đầu thanh như trên hình 4.3

0x

171

b) Điều kiện biên:

- Trên mặt bên có pháp tuyến (1,0,0): σ11m+ τ12.0+ τ13.0 0=

2) Chuyển vị góc xoắn của thanh:

Các phương trình Cauchy được thỏa

Phương trình thứ 3 của (4.44) được thỏa mãn nếu:

Từ đó suy ra phương trình để xác định hàm Prantl: ∇ Φ =2 C (4.53)

Hằng số C được xác định như sau: Từ các hệ thức (4.47) và (4.52) ta có:

2 2

* Thanh có mặt cắt ngang là hình ellip,

phương trình chu vi mặt cắt ngang là:

2 2

3 2

2 2

xx

1

a + b =

Chọn hàm Prantl có dạng:

2 2

3 2

2 2

xx

M

τ12

τ13

2 2

3 2

xx

π được gọi là mô men chống xoắn của mặt cắt ngang hình ellips

32ρ

 

2) Biến dạng chính và phương của các biến dạng chính

3) Xác định tenxơ lệch biến dạng và ten cơ cầu biến dạng

1) Phương chính, ứng suất chính tại điểm K

2) Ứng suất trên mặt đi qua điểm K cho bởi phương trình: 2x1 −5x2 +x3 = −9

3) Ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm K

4) Xác định tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất

Xác định các thành phần ứng suất trên mặt cho bởi phương trình x1 −6x2 + x3 − =2 0

biết E = 2.10 (kN / cm ); 4 2 υ =0,25

183

Bài 4.6

Cho dầm conson mặt cắt ngang hình

chữ nhật (bxh) chịu bởi mômen uốn như

1 Xác định tenxơ biến dạng của môi trường

2 Xác định tenxơ ứng suất của môi trường tại điểm K(1;-2;5)

3 Xác định ứng suất chính thứ 2 và phương chính của nó tại điểm K

5 Xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng đều với các trục tọa độ

6 Xác định các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng đều với các phương chính

7 Xác định ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm P(-1;2;2)