Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 3 ts phạm văn đạt

Những thành phần này được gọi là các thành phần xoay cứng, ký hiệu ω23 quay quanh trục x1; ω31 quay quanh trục x2; ω12 quay quanh trục x3.. 3.5 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé Xét một đo

76

Chương 3: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG

3.1 Khái niệm chuyển vị

Xét một vật thể đàn hồi, tại thời điểm ban đầu

0

t t= , vật thể chưa biến dạng Giả sử tại một

điểm bất kỳ M trong vật thể, trong hệ tọa độ

1 2 3

ngoại lực làm vật thể bị biến dạng và điểm M

dịch chuyển sang vị trí mới là M’ có tọa độ

3.2 Khái niệm biến dạng

Tại điểm M trong vật thể, tách một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt tọa độ (hình 3.2) Khi vật thể biến dạng thì phân tố sẽ chuyển sang vị trí mới, nếu giả

78

thuyết phân tố không biến dạng, để xác định vị trí mới của phân tố thì chỉ với 3 thành phần chuyển vị tại điểm M chưa đủ vì hình hộp chữ nhật có thể quay quanh cạnh MN ( song song với trục x1) hoặc cạnh MP ( song song với trục x2) hoặc cạnh MR ( song song với trục x3) hoặc trục bất kỳ không song song với các trục tọa độ, lúc đó cần phải kể đến 3

thành phần góc xoay Những thành phần này

được gọi là các thành phần xoay cứng, ký

hiệu ω23( quay quanh trục x1); ω31( quay

quanh trục x2); ω12( quay quanh trục x3)

Trường hợp đặc biệt nếu ω = ω = ω =12 23 31 0

nghĩa là không có sự quay tại điểm khảo sát,

thường được gọi là biến dạng thuần túy

79

Khi phân tố bị biến dạng thuần túy thì

các cạnh bị biến dạng dài, góc vuông bị thay

đổi gọi là biến dạng góc Trên hình vẽ 3.3

biểu diễn hình chiếu của phân tố trên mặt

1 2

Ox x Vị trí ban đầu là (MNP), sau khi

biến dạng thì vị trí là (M N P )1 1 1

Hình 3.3

3.3 Quan hệ vi phân giữa chuyển vị và biến dạng bé

Xét phân tố MNP sau khi biến dạng trở thành phân tố M N P1 1 1, tại điểm M (x ,x )1 2

chuyển vị tương ứng là: u (x ,x );1 1 2 u (x ,x )2 1 2

u

90° 90 - 0 γ

x x 1

81

Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x ,x1 2 lần lượt là: ε ε11; 22 Biến dạng góc trong mặt phẳng ox x1 2 là: γ = α + β12 ;

Khi giả thuyết là biến dạng bé nên có thể coi rằng: ε 11 1; ε 22 1; α 1; β 1;

tg α ≈ sin α ≈ α ;cos α ≈ 1; tg β ≈ sin β ≈β ;cos β ≈ 1.

Theo định nghĩa: 1 1

11

M N MN

;MN

83

1

2

utg

x

∂

∂ (3.10)Suy ra biến dạng góc trong mặt phẳng ox x1 2 là:

84

j i

ij

uu

mối quan hệ hình học

3.4 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị

Để xét được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ ta cần xét

thêm sự thay đổi của phương các đường chéo phân tố gọi là chuyển động quay Ta xét

đường chéo phân tố với các giả thiết: ε = ε11 22 = ε33 = 0 Có 3 thành phần chuyển động

quay tương ứng: ω ω ω12; 23; 31

85

Hình 3.5 Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng ox x1 2 là:

N

1 1

Chú ý: Các công thức (3.14b) cho thấy các hàm biến dạng và các góc quay cứng được

biểu diễn tuyến tính qua các đạo hàm riêng bậc nhất của các hàm chuyển vị u ,u ,u1 3 3 Các đạo hàm riêng này được viết dưới dạng ma trận:

88

Ma trận thứ nhất của vế phải là ma trận đối xứng biểu thị biến dạng thuần túy, ma trận thứ hai của vế phải biểu thị sự quay cứng

3.5 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé

Xét một đoạn vô cùng bé bất kỳ MN=ds có cosin chỉ phương v là (l,m,n) Tọa độ của các điểm tại thời điểm ban đầu: M(x ,x ,x );N(x1 2 3 1 +dx ,x1 2 +dx ,x2 3 +dx ).3

Cosin chỉ phương của đoạn thẳng: dx1 dx2 dx3

v 11.l 22.m 33.n 2 .l.m 2 .m.n 2 .n.l12 23 31

ε = ε + ε + ε + ε + ε + ε (3.23)

91

hoặc viết gọn lại: ε = εv ij i.l lj (i, j 1 3)= ÷ (3.24)

Biểu thức (3.24) chứng tỏ khi biết được 9 thành phần biến dạng (ε11; ε22; ε33;

92

3.6 Biến dạng chính, phương biến dạng chính

Do sự tương quan về toán học giữa tenxơ biến dạng và tenxơ ứng suất tại một điểm bất

kỳ của môi trường, tại điểm này tồn tại 3 trục chính vuông góc nhau Các trục chính này được gọi là phương của biến dạng chính, biến dạng tương ứng với các phương của các trục này gọi là biến dạng chính và ký hiệu là ε ε ε1; ;2 3 và quy ước ε ≥ ε ≥ ε1 2 3 Các biến dạng chính này được xác định từ phương trình bậc 3 tương tự phương trình xác định ứng suất chính (2.19)

chính của ứng suất chính chúng ta sẽ tìm được phương của biến dạng chính

94

3.7 Tenxơ lệch biến dạng và tenxơ cầu biến dạng

Tương tự như tenxơ ứng suất tenxơ biến dạng Tε cũng có thể phần thành 2 thành phần: tenxơ lệch biến dạng Dε và tenxơ cầu biến dạng Toε

95

11 22 33 tb

3.8 Các phương trình liên tục của biến dạng

Điều kiện tương thích về biến dạng là các biến dạng và chuyển vị cần đảm bảo tính liên tục từ điểm này sang điểm khác trong cùng một vật thể đàn hồi Nếu khi cho 6 thành phần biến dạng tùy ý mà không thỏa mãn về điều kiện tương thích về biến dạng thì trước khi biến dạng môi trường liên tục về mặt biến dạng, nhưng sau khi biến dạng thì điều kiện liên tục của các điểm trong vật thể không còn thỏa mãn nữa Về mặt toán học điều kiện liên tục chính là điều kiện để bài toán có nghiệm duy nhất, tức là mỗi trạng thái ứng suất

sẽ tương ứng với một trạng thái biến dạng và chuyển vị duy nhất

- Nếu các biến dạng được xác định từ các hàm chuyển vị dựa vào mối quan hệ hình

học thì khi đó các phương trình liên tục về mặt biến dạng tự thỏa mãn

- Nếu bằng một cách nào đó xác định được các thành biến dạng ( không phải xác định

từ các thành phần chuyển vị) thì để tìm các thành phần chuyển vị thì khi giải bài toán phải kiểm tra xem các phương trình liên tục có thỏa mãn không và đây là điều kiên bắt buộc phải kiểm tra khi giải quyết bài toán

Hãy tính biến dạng dài và biến dạng góc tại điểm K(1,1,1)

1- Hãy xác định các giá trị biến dạng chính và phương biến dạng chính

Thay vì tính biến dạng chính cho tenxơ của bài toán, ta tìm biến dạng chính của tenxơ:

101

4 0 1

T 0 1 0

1 0 4ε

Nghiệm của phương trình (a) là: ε =1 5; ε =2 3; ε =3 1.

Biến dạng chính của bài toán: 4

1 5.10 ;−

ε = 2 3.10 ;−4

ε = 3 1.10 ;−4

ε =

Bước 3: Xác định các phương của biến dạng chính

- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ nhất 1 5.10 ;−4

105

2- Hãy xác định biến dạng dài theo phương v(1,2, 1)−

Cosin chỉ phương của phương vr

−

Bươc 3: Xác định các biến dạng chính của tenxơ lệch biến dạng và phương chính của

tenxơ lệch biến dạng (giống như ví dụ 3.2):

1 2;

Xác định các phương chính

- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ nhất ε =1 2

Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ nhất là nghiệm của hệ phương trình:

- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ hai ε =2 0

Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ hai là nghiệm của hệ phương trình:

1 0 l 0.m 1.n 00.l 2 0 m 0.n 0

- Phương chính ứng với biến dạng chính thứ ba ε = −3 2

Phương chính tương ứng với biến dạng chính thứ ba là nghiệm của hệ phương trình:

Các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không?

Tính các biến dạng chính tại điểm M(0,1,1)

1(2 2) 0

114

* Tính các biến dạng chính tại điểm M:

Tại điểm M ta có tenxơ biến dạng:

0 1 0

T 1 1 0

0 0 1ε

.2

−

ε =

117

c) Thử xem các biến dạng này có thỏa mãn phương trình liên tục không

Bài 3.2

Khi xét một dầm chịu uốn (hình 3.7)

người ta tìm được các thành phần chuyển vị:

1 2 1

2

2 3 3

x xu

x v(x x )

2

vx xu

a) Tìm các biến dạng chính và phương của biến dạng chính

b) Xác định biến dạng dài theo phương v 2.e= 1 −5.e2 +8.e3






c) Xác định các giá trị biến dạng chính của tenxơ lệch biến dạng

1 Xác định tenxơ biến dạng của môi trường

2 Xác định biến dạng chính thứ 3 và phương chính của nó tại điểm K (1;2;-2)

3 Xác định biến dạng dài tại điểm K theo phương v = (1;0; 1− )

r