Đang tải... (xem toàn văn)
Những thành phần này được gọi là các thành phần xoay cứng, ký hiệu ω23 quay quanh trục x1; ω31 quay quanh trục x2; ω12 quay quanh trục x3.. 3.5 Khái niệm về tenxơ biến dạng bé Xét một đo
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Chương 3: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 3.1 Khái niệm chuyển vị x 2 M' Xét một vật thể đàn hồi, tại thời điểm ban đầu M u2 t = t0, vật thể chưa biến dạng Giả sử tại một u1 điểm bất kỳ M trong vật thể, trong hệ tọa độ 0 u3 x1 ox1x2x3 là: M ( x1, x2 , x3 ) Dưới tác dụng của ngoại lực làm vật thể bị biến dạng và điểm M dịch chuyển sang vị trí mới là M’ có tọa độ x3 Hình 3.1 M '( x '1, x '2 , x '3 ) MM'được gọi là chuyển vị của điểm M Ta có: MM ' = u1 + u2 + u3 76 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT u1 = x1' − x1 trong đó: u2 = x2 − x2' (3.1) (3.2) u3 = x3' − x3 Các thành phần chuyển vị u, v, w là các hàm tọa độ của điểm: u1 = f1 (x1 , x2 , x3 ) u2 = f2 (x1 , x2 , x3 ) u3 = f3 (x1 , x2 , x3 ) Chuyển vị toàn phần của điểm M: δ = u12 + u22 + u32 = F(x1 , x2, x3) (3.3) 3.2 Khái niệm biến dạng Tại điểm M trong vật thể, tách một phân tố hình hộp có các mặt song song với các mặt tọa độ (hình 3.2) Khi vật thể biến dạng thì phân tố sẽ chuyển sang vị trí mới, nếu giả 77 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT thuyết phân tố không biến dạng, để xác định vị trí mới của phân tố thì chỉ với 3 thành phần chuyển vị tại điểm M chưa đủ vì hình hộp chữ nhật có thể quay quanh cạnh MN ( song song với trục x1 ) hoặc cạnh MP ( song song với trục x2) hoặc cạnh MR ( song song với trục x3 ) hoặc trục bất kỳ không song song với các trục tọa độ, lúc đó cần phải kể đến 3 thành phần góc xoay Những thành phần này x 2 được gọi là các thành phần xoay cứng, ký P' hiệu ω23( quay quanh trục x1 ); ω31( quay M' N' quanh trục x2); ω12( quay quanh trục x3 ) P R' MN R Trường hợp đặc biệt nếu ω12 = ω23 = ω31 = 0 0 x 1 nghĩa là không có sự quay tại điểm khảo sát, x3 Hình 3.2 thường được gọi là biến dạng thuần túy 78 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Khi phân tố bị biến dạng thuần túy thì P1 N1 các cạnh bị biến dạng dài, góc vuông bị thay P' N' x1 đổi gọi là biến dạng góc Trên hình vẽ 3.3 biểu diễn hình chiếu của phân tố trên mặt P M Ox1x2 Vị trí ban đầu là (MNP), sau khi biến dạng thì vị trí là (M1N1P1) v M uN Hình 3.3 3.3 Quan hệ vi phân giữa chuyển vị và biến dạng bé Xét phân tố MNP sau khi biến dạng trở thành phân tố M1N1P1, tại điểm M (x1, x2 ) chuyển vị tương ứng là: u1(x1, x2 ); u2 (x1, x2 ) 79 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Điểm N(x1 + dx1, x2 ) có chuyển vị tương x2 u+ u dx2 x2 ứng là: u1(x1, x2 ) + ∂u1 dx1; ∂x1 P 2 P1 ∂u 2 v+ v dx2 u2 (x1, x2 ) + dx1 x2 N 1 ∂x1 P v + v dx1 x1 Điểm P (x1, x2 + dx2) có chuyển vị dx2 v M1 N2 M N tương ứng là: u1(x1, x2 ) + ∂u1 dx2; ∂x 2 u+ u dx1 u x1 dx1 u2 (x1, x2 ) + ∂u2 dx2 ∂x 2 x 1 Hình 3.4 80 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Biến dạng dài tỷ đối theo các phương x1, x2 lần lượt là: ε11;ε22 Biến dạng góc trong mặt phẳng ox1x2 là: γ12 = α + β; Khi giả thuyết là biến dạng bé nên có thể coi rằng: ε11 1; ε22 1; α 1; β 1; tgα ≈ sinα ≈ α;cosα ≈1; tgβ ≈ sinβ ≈β;cosβ ≈1 Theo định nghĩa: ε11 = M1N1 − MN MN ; (3.4) trong đó: MM = dx1; M1N1 = M1N2 cosα = M1N2 (3.5) ∂u1 ∂u1 Theo hình (3.4): M1N2 = dx1 + u1 + dx1 − u1 = 1 + dx1 (3.6) ∂x1 ∂x1 Thay (3.5), (3.6) vào (3.4) ta được: 81 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT ε11 = M1N1 − MN = M1N2 − MN = ∂u1 (3.7) MN MN ∂x1 (3.8) tương tự: (3.9) ε22 = M1P1 − MP = M1P2 − MP = ∂u2 MP MP ∂x 2 Góc quay của cạnh MN là: ∂u2 ∂u 2 u2 + dx1 − u2 N1N2 ∂x1 ∂x1 ∂u 2 α ≈ tgα = M1N2 = ∂u1 = ∂u1 = ∂x1 1+ dx1 1+ ∂x1 ∂x1 tương tự: 82 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT φ ≈ tgβ = ∂u1 (3.10) ∂x 2 Suy ra biến dạng góc trong mặt phẳng ox1x2 là: γ12 = α + β = ∂u2 + ∂u1 (3.11) ∂x1 ∂x 2 Tương tự bằng cách sử dụng hoán vị vòng tròn nhận được quan hệ giữa chuyển vị và biến dạng bé như sau: ∂u1 ∂u 2 ∂u3 ε11 = ;ε22 = ;ε33 = ∂x1 ∂x 2 ∂x3 (3.12) ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 ∂u3 ∂u1 γ12 = 2ε12 = + ; γ23 = 2ε23 = + ; γ31 = 2ε31 = + ; ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3 hoặc viết dưới dạng tổng quát: 83 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 1 ∂ui ∂u j (3.13) εij = + 2 ∂x j ∂xi Công thức (3.13) biểu diễn mỗi quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng với các thành phần chuyển vị đang xét tại thời điểm t, các công thức này được thiết lập nhờ mối quan hệ hình học 3.4 Quan hệ vi phân giữa các thành phần quay cứng với chuyển vị Để xét được đầy đủ chuyển động của phân tố trong mỗi mặt phẳng tọa độ ta cần xét thêm sự thay đổi của phương các đường chéo phân tố gọi là chuyển động quay Ta xét đường chéo phân tố với các giả thiết: ε11 = ε22 = ε33 = 0 Có 3 thành phần chuyển động quay tương ứng: ω12;ω23;ω31 84 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT x 2 α= x2 v x1 Q1 P P1 Q Q1 P Q β β= u β ω2=α/2 N1 ω1=β/2 x2 x1 M α= v N x 1 x1 M N (3.14a) Hình 3.5 Góc quay của đường chéo MQ trong mặt phẳng ox1x2 là: 1 ∂u2 ∂u1 ω12 = ω1 + ω2 = − 2 ∂x1 ∂x2 85