Sử dụng phần mềm lập trình MathCad giải bài toán xác định trạng thái ứng suất - biến dạng trong Cơ học môi trường liên tục

Bài viết Sử dụng phần mềm lập trình MathCad giải bài toán xác định trạng thái ứng suất - biến dạng trong Cơ học môi trường liên tục giới thiệu về việc sử dụng MathCad để xác định trạng thái ứng suất- biến dạng trong Cơ học môi trường liên tục.

nNgày nhận bài: 12/9/2022 nNgày sửa bài: 04/10/2022 nNgày chấp nhận đăng: 04/11/2022 Sử dụng phần mềm lập trình MathCad giải toán xác định trạng thái ứng suất - biến dạng Cơ học môi trường liên tục Determining the stress strain state in Continuum mechanics using MathCad software > THS NGUYỄN THỊ THÙY LIÊN, THS ĐÀO NGỌC TIẾN, THS LÊ THỊ THANH HÀ, TS NGUYỄN VIỆT PHƯƠNG Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội ; Email: lienntt@hau.edu.com TÓM TẮT MathCad phần mềm lập trình tính tốn đa năng, dễ tiếp cận sử dụng Phần mềm MathCad sử dụng rộng rãi hiệu việc giảng dạy số môn học trường đại học kỹ thuật Trong báo, nhóm tác giả giới thiệu việc sử dụng MathCad để xác định trạng thái ứng suất- biến dạng Cơ học mơi trường liên tục Từ khóa: Cơ học môi trường liên tục; MathCad; trạng thái ứng suất - biến dạng Hiện có nhiều phần mềm hỗ trợ lập trình giải tốn học cơng trình Mathlab, MathCad Việc sử dụng phần mềm vào việc lập trình giải tốn học cơng trình đưa vào chương trình giảng dạy nhiều trường đại học giới Đặc điểm phần mềm không khó sử dụng ngơn ngữ lập trình chun nghiệp Trong báo đây, nhóm tác giả ứng dụng phần mềm lập trình Mathcad để xác định trạng thái ứng suất - trạng thái biến dạng mơi trường Qua tốn ứng dụng để thấy rõ, việc áp dụng phần mềm hỗ trợ lập trình vào việc phân tích giải tốn cần thiết, với xu hướng phát triển khoa học kỹ thuật đại, tiền đề cho việc đổi phương pháp nội dung giảng dạy môn Cơ học môi trường liên tục trường Đại học ABSTRACT MathCad is a programming software, which is versatile, easy to use, and accessible This program is widely and intensively used in teaching various subjects at many technical universities In this article, the authors present the application of the MathCad software in determining the stress-strain state in Continuum mechanics Key words: Continuum mechanics; MathCad; stress-strain state MỘT SỐ THIẾT LẬP CƠ BẢN TRONG MATHCAD ĐƯỢC DÙNG TRONG BÀI TỐN 2.1 Nhập phương trình theo dấu phương trình gán giá trị (:=) Dấu phương trình gán giá trị (:=) dùng để gán giá trị cho biến mà dùng cơng thức sau đó, thể ví dụ hình 1 ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ học môi trường liên tục có nhiệm vụ xác định trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng trường chuyển vị môi trường liên tục chịu tác dụng ngoại lực yếu tố ảnh hưởng khác Cũng môn học biến dạng khác, kết môn học sở cho việc giải tốn kỹ thuật Nội dung Cơ học mơi trường liên tục chia thành hai phần: sở lý thuyết; áp dụng lý thuyết để phân tích giải tốn cụ thể Có nhiều loại tốn Cơ học mơi trường liên tục Trong đó, toán xác định trạng thái ứng suất - trạng thái biến dạng cho biết khả chịu lực biến dạng điểm môi trường, sở cho việc tính tốn, thiết kế cấu kiện mơn học chun ngành Tuy nhiên, tốn giải phương pháp “thủ công”, người làm nhiều thời gian vào thao tác toán học phức tạp mà quên chất học tốn Hình Ví dụ dấu “=” gán giá trị 2.2 Sử dụng hàm Given/Find để giải phương trình hệ phương trình tuyến tính phi tuyến với nhiều ẩn số khác Khi dùng hàm để giải phương trình, yêu cầu phải cho trước giá trị gần ban đầu biến số, nghiệm hệ xác định theo hàm phương pháp nội suy Áp dụng hàm Given/Find việc giải phương trình hệ phương trình thường tiến hành theo bước sau: - Cho trước giá trị gần ban đầu biến số; - Gõ lệnh Given; - Nhập phương trình hệ phương trình phía bên phải phía lệnh Given Dấu “=” đậm chọn tổ hợp phím Ctrl+= từ cơng cụ có sẵn hình; - Nhập biểu thức chứa hàm Find để xác định nghiệm phương trình hệ phương trình: Find(x1,x2,x3, ) với x1, x2, x3…là biến x := y := x2 + y2 = 34 ISSN 2734-9888 12.2022 85 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC số Số lượng biến số phải số phương trình Ví dụ giải phương trình thể hình x := y := z :=1 Given 2x + y2 – 3z = x2 + 3y + z = x + y + 3z = Nghiệm := Find (x,y,z) Nghiệm dạng cần sử dụng phép toán véc-tơ ma trận, giải phương trình đại số Trình tự tốn triển khai theo sơ đồ khối thể hình Bắt đầu Khai báo ten-xơ ứng suất ten-xơ biến dạng  1.9      1.241  0.114    (thông qua trường ten-xơ trường biến dạng tọa độ điểm) Hình Ví dụ giải hệ phương trình hàm Given/Find 2.3 Ma trận véc tơ Đánh số thành phần ma trận Trật tự việc đánh số thành phần ma trận quản lý biến có sẵn hệ thống (built-in variable) ORIGIN Theo mặc định chương trình ORIGIN=0, điều có nghĩa thành phần ma trận đánh số Tuy nhiên người sử dụng quy định trật đánh số thành phần ma trận số Thiết lập ma trận Cách đơn giản để tạo ma trận hay véc tơ (ma trận có cột) tạo mảng trống sau nhập phần tử vào ma trận sau: - Đặt tên ma trận nhập toán tử gán giá trị (:=) D := - Chọn từ menu Insert►Matrix từ công cụ để tạo mảng số trống với số hàng (rows) cột (columns) người sử dụng định nghĩa Thiết lập cơng thức tính lượng bất biến, giải phương trình đặc trưng tìm ứng suất (hoặc biến dạng chính) Tìm giá trị ứng suất 1, 2 3 (hoặc biến dạng 1, 2 3) Thiết lập giải hệ phương trình tìm phương ứng suất i (hoặc phương biến dạng i) Tìm phương ứng suất li (hoặc phương biến dạng chính) Khai báo véc tơ pháp tuyến phương Thiết lập cơng thức, tìm ứng suất (biến dạng) theo phương Kết thúc - Nhập giá trị số ký tự (symbolic) vào mảng số tạo lập hình  a1 a2 a3     D1:  b1 b2 b3  D2 :  c1 c2 c3    1 3   4 1  4   Hình Ví dụ nhập phần tử ma trận Các phép tính ma trận MathCad cho phép thực tất phép tính bản, chuyển trí, nghịch đảo, xác định định thức, tìm trị riêng véc tơ trị riêng… cho ma trận dạng số Symbolics Khi thực phép tính ma trận cần lưu ý ma trận phải có kích thước tương thích BÀI TỐN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG TRONG CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC Nội dung tốn: - Lập ten- xơ ứng suất (hoặc ten- xơ biến dạng) điểm Từ trường ten-xơ biến dạng (hoặc ten- xơ ứng suất ) biết, thông qua định luật Hooke mối quan hệ ứng suất biến dạng để xác định đại lượng ứng suất (hoặc biến dạng) theo yêu cầu - Xác định giá trị phương ứng suất (hoặc biến dạng chính) - Xác định ứng suất (hoặc biến dạng) theo phương Để giải tốn phân tích trạng thái ứng suất - trạng thái biến 86 12.2022 ISSN 2734-9888 Hình Sơ đồ khối tốn xác định trạng thái ứng suất- trạng thái biến dạng phần mềm lập trình Mathcad VÍ DỤ Trạng thái ứng suất điểm K môi trường hệ tọa độ Đề-các Ox1x2x3 cho ten-xơ:  4    T,K   4  (kN / cm2 )  2 Yêu cầu: a) Xác định giá trị ứng suất thứ phương ứng suất K b) Xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt nghiêng qua K có véc tơ pháp tuyến:     v e1  e2  e3 11 11 11 Lời giải ORIGIN := TOL := 10-14 Nhập hệ số ten- xơ ứng suất điểm K: kN 11: cm kN 12 : 4 cm kN 22 : cm kN 13 : cm kN cm kN 23 : cm 33: 2 Nhận được: Nhập cô-sin phương véc tơ pháp tuyến:  4  L1v  L2v : L3v : kN   11 11 11 T :  4  Ứng suất toàn phần K:  2  cm    p v1   0.905   L1v  a) Xác định giá trị ứng suất thứ phương ứng       kN suất điểm K p v : T   p v2  :  5.13    L2 v  Tính bất biến trạng thái ứng suất điểm K:    2.41  cm  L3   v  I1 := 11 + 22 + 33  p v3   Giá trị ứng suất toàn phần:  11 12   22 23   11 13  6.kN2 2 :  2 kN     cm4 Pv : p v1  p v2  p v3  5.74  12 22   23 33   13 33  cm  11 12 13  Ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt nghiêng: 166.kN   Giá trị ứng suất pháp: 3 :  12 22  23    cm  L1v   13 23 33    kN  T    vv : p v   L2 v  5.094 Phương trình đặc trưng để tìm ứng suất chính: cm  L3   v  11 12 13    T :  12 22 23   13 23 33          Giá trị ứng suất tiếp:   v : Giải phương trình đặc trưng, tìm ứng suất chính: Given 1 := 20 2 := 3 := -45 I(1) = I(2) = I(3) =  1   11.215  kN     kN  2  := Find (1, 2, 3) cm =   4.26  cm  3   3.475      kN 11.215 nhất: Ứng suất thứ 1: cm Lập giải hệ phương trình để tìm phương ứng suất thứ (1): Given Given L1 := 0.5 L2 := 0.1 L3 := 0.2 L1 := -0.5 L2 := 0.1 L3 := 0.2 (11- 1).L1 + 12.L2 + (11-1).L1 + 12.L2 + +13.L3 = 13.L3 = (12.L1 + (22-1).L2 + (12.L1 + (22-1).L2 + L1 + L2 + L3 = L12 + L22 + L32 = 23.L3 = 23.L3 = 2  L1     L2  := Find (L1,L2,L3) =  L3     0.766     0.637   0.087     L1     L2  := Find (L1,L2,L3) =  L3     0.766     0.637   0.087    Vậy, ứng suất thứ 1 nằm hai mặt có cơ-sin phương (l1;l2;l3) (0,766; -0,637; -0,087) (-0,766; 0,637; 0,087) b) Xác định ứng suất toàn phần, ứng suất pháp, ứng suất tiếp mặt nghiêng qua điểm K có véc tơ pháp tuyến  v 11  e1  11  e2  11  e3  Pv  2.645    vv  *Kiểm tra lại kết tính tốn: Vec to ứng suất pháp kN cm  L1v   1.536      kN  vv :  vv  L2 v    4.608  cm  L3   1.536   v   Vec to ứng suất tiếp  2.441   kN  v: p v   vv  0.522   0.874  cm   Giá trị ứng suất tiếp:  v :         v1 v2 v3  2.645 Kết trùng với kết tính tốn kN cm NHẬN XÉT Phần mềm MathCad có giao diện trực quan, dễ tiếp cận sử dụng, phép tính sử dụng ký hiệu tốn học quen thuộc Việc sử dụng MathCad loại bỏ khó khăn mặt toán học, giúp việc giải toán phức tạp (nếu giải theo phương pháp truyền thống) trở nên đơn giản TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Ngọc Hồng - Lê Ngọc Thạch, Cơ học môi trường liên tục lý thuyết đàn hồi, NXB Khoa học kỹ thuật, 2002 Trần Văn Liên, Cơ học môi trường liên tục, NXB Xây dựng, 2011 Vũ Thị Bích Quyên, Đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường “Nghiên cứu giải toán Sức bền vật liệu áp dụng phần mềm MathCad”, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 2017 G Thomas Mase, George E Mase, “Continuum mechanics for engineers” Publisher “CRC Press LLC”, 1999 Michael Lai, Erhard Krempl, David Rubin, “Continuum mechanics”, Butterworth– Heinemann publications, 2010 Brent Maxfield, Essential MathCAD for Engineering, Science, and Math, USA, 2009 ISSN 2734-9888 12.2022 87 ... thích BÀI TỐN XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG TRONG CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Nội dung toán: - Lập ten- xơ ứng suất (hoặc ten- xơ biến dạng) điểm Từ trường ten-xơ biến dạng. .. chính) - Xác định ứng suất (hoặc biến dạng) theo phương Để giải tốn phân tích trạng thái ứng suất - trạng thái biến 86 12.2022 ISSN 273 4-9 888 Hình Sơ đồ khối tốn xác định trạng thái ứng suất- trạng. .. ten- xơ ứng suất ) biết, thông qua định luật Hooke mối quan hệ ứng suất biến dạng để xác định đại lượng ứng suất (hoặc biến dạng) theo yêu cầu - Xác định giá trị phương ứng suất (hoặc biến dạng