Bài tập lớn cơ học môi trường liên tục (2)

TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Liên (2011), Cơ học môi trường liên tục, NXB Xây dựng, Hà Nội Lê Ngọc Hồng, Lê Ngọc Thạch (1997), Cơ sở học môi trường liên tục lý thuyết đàn hồi, NXB KHKT, Hà Nội Tô Văn Tấn (1991), Lý thuyết đàn hồi, NXB KHKT, Hà Nội Đào Huy Bích (1979), Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐH THCN, Hà Nội Nhữ Phương Mai, Nguyễn Nhật Thăng (2003), Bài tập đàn hồi ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Mase G.E (1970), Theory and problems of continuum mechanics, McGraw – Hill CHƯƠNG MỞ ĐẦU 0.1 Khái niệm Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) 0.1.1 Đối tượng, mục đích, phạm vi - Đối tượng: vật thể hữu hạn (vĩ mơ) có cấu tạo vật chất liên tục khoảng cách điểm thay đổi, gọi môi trường liên tục (MTLT), “continuum” hay vật thể (mơi trường) có biến dạng: CT nhà, cầu, đường, máy móc, dịng sơng, khí quyển, đại dương, thuộc lĩnh vực XD, GT, thủy lợi, môi trường, máy, Mục đích: thiết lập tính chất, quy luật cân bằng/chuyển động (Cơ học) Phạm vi: mở rộng Cơ học lý thuyết cho vật thể có biến dạng gồm đàn hồi, dẻo, chất lỏng-khí, thủy lực, SBVL, CHKC, học đất, +Cơ học lượng tử (vi mô) học nguyên tử, hạt quark, (< 10−10 m) +Cơ học vĩ mơ (vật thể hữu hạn: nhìn thấy, quan sát được) gồm: Cơ học vật rắn (tuyệt đối) Cơ học vật thể KHÔNG biến dạng CHMTLT Cơ học vật thể CÓ biến dạng: Cơ học vật rắn biến dạng: đàn hồi, dẻo, từ biến, phá hủy, Cơ học chất lỏng, chất khí: lý tưởng, Newton, Cơ học cho môi trường plasma (dạng vật chất thứ tư) +Cơ học vũ trụ (năm ánh sáng): lý thuyết dây, vụ nổ Big Bang, dãn nở vũ trụ, - CHƯƠNG MỞ ĐẦU Cơ học vật rắn biến dạng gồm: Lý thuyết đàn hồi: Phân theo quan hệ vật lý: Tuyến tính/Phi tuyến Phân theo dạng kết cấu: Thanh, tấm, vỏ, khối SBVL, CHKC: kết cấu hệ tuyến tính Lý thuyết dẻo: đàn dẻo, chảy dẻo, (nhiều lý thuyết) Lý thuyết từ biến: già, tái bền, di truyền, (nhiều lý thuyết) Lý thuyết phá hủy: tuyến tính, phi tuyến, (nhiều lý thuyết) 0.1.2 Cách tiếp cận, phương pháp, nội dung - Cách tiếp cận từ tổng quát đến cụ thể (trừu tượng) ≠ cách tiếp cận SBVL từ cụ thể kết cấu hệ làm việc đàn hồi tuyến tính -> giả thiết SBVL làm đơn giản hóa tính tốn (kỹ thuật) - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: cơng cụ tốn học mạnh, tổng quát, suy luận logic -> khó hiểu SV có nhìn tổng qt - Nội dung: nghiên cứu tính chất học MTLT (ứng suất, biến dạng, chuyển vị) chịu tác dụng lực CHƯƠNG MỞ ĐẦU 0.2 Các giả thiết 0.2.1 Quan điểm vĩ mô - Vật chất cấu tạo từ nguyên tử, phân tử: dùng Cơ học lượng tử, động lực học phân tử, phức tạp - Quan điểm vĩ mô: ý đến q trình, hiệu ứng tính chất quan trọng vật thể vĩ mô (hữu hạn) mà ta quan sát, sử dụng 0.2.2 Các giả thiết CHMTLT - Môi trường liên tục: môi trường chiếm chỗ không gian cách liên tục (vật chất lấp đầy không gian vật thể chiếm chỗ) > dùng phép tính vi phân - Khơng gian Euclide chiều: xây dựng hệ tọa độ Descartes cho điểm không gian Phân biệt điểm không gian điểm vật chất: + “Điểm” vị trí khơng gian cố định + “Phần tử”, “chất điểm” hay “hạt” để vật chất chứa thể tích vơ bé mơi trường liên tục - Thời gian tuyệt đối, lý tưởng, trôi qua người quan sát hệ quy chiếu qn tính tách biến khơng gian thời gian → CHMTLT học Newton cho vật thể có biến dạng CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ 1.1 Khái niệm vô hướng, véc tơ ten xơ - Vô hướng: đặc trưng số theo đơn vị đo chọn nhiệt độ, khối lượng, tỷ khối, lượng, độ ẩm, - Véc tơ: đặc trưng số số đo theo đơn vị đo xác định, mà cịn hướng khơng gian chuyển vị chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực, - Ten xơ: đặc trưng cho trạng thái vật thể trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất môi trường liên tục, phân bố mơmen qn tính trục khác qua điểm vật thể rắn, xung lượng trường điện từ, độ cong điểm không gian phi Euclide, : + Ten xơ đại lượng bao hàm đại lượng vô hướng véc tơ + Ten xơ không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả + Các qui luật vật lý học thường biểu diễn dạng hệ thức ten xơ, cho phép ta thiết lập quy luật bất biến + Ten xơ dùng hiệu học vật lý (CHMTLT, LT tương đối hẹp rộng Enstein, ) CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ ∂ϕ  ∂ϕ  ∂ϕ  1.2 Trường vô hướng e + e + e ∂x ∂x ∂x  gradϕ - Gradient: φ ( x1 , x2 , x3 , t ) = const; gradφ =∇φ =∂φ e1 + ∂φ e2 + ∂φ e3 ; ν = gradϕ =  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ  ∂x1 ∂x2 ∂x3    +   +  2 x x x ∂ ∂ ∂       - Toán tử Laplace ∆ ∆ϕ = ∂ ϕ + ∂ ϕ + ∂ ϕ = ∂x12 ∂x22 ∂x32 - PT điều hòa ∂ ∂ ∂  ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ   =0 ∆ ϕ =  + + + + - PT song điều hòa: ∂x ∂x  ∂x ∂x ∂x   ∂x  ±1  ±1  ±1  - Mặt phẳng nghiêng trục ( a = b = c ) ν = e + e + e 1.3 Véc tơ trường véc tơ 1.3.1 Phép tính véc tơ: tổng, hiệu, tích vơ hướng, tích véc tơ, tích hỗn hợp 1.3.2 Biến đổi thành phần véc tơ quay trục    1 2 2 2 2 2 2 2 2 cij = cos( xi′ , x j ) = cos(ei′ , e j ) = ei′e j   e1′    e2′  e′   3    c11 c12 c13   e1   e1        = c c c e C e2  ;     21 22 23  2 e   c c c  e   31 32 33     3    cij′ = cos( xi , x ′j ) = cos(ei , e′j ) = ei e′j   e1    e2  e   3  cos θ  C =  − sin θ   −1 = C′ C= CT    c11′ c12′ c13′   e1′   e1′       ′ ′ c23 ′  e2′  C′ e2′  = c c 21 22   e′   c′ c′ c′  e′   31 32 33     3 3     ′ ′ = a.ei = a.∑ cij e j = ∑ cij a.e j =∑ cij a j i =1 i =1 sin θ cos θ i =1 0  0  3 2 CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ 1.3.3 Trường véc tơ - Đive (phân kỳ) div(a ) = ∇.a = ∂∂ax ∂a ∂a3 + ∂x ∂x3     e1 e2 e3      ∂ ∂ ∂   ∂a3 ∂a    ∂a1 ∂a3    ∂a ∂a1    e +  e +  e rot (a ) = ∇ × a = det = − − −  ∂x1 ∂x ∂x3   ∂x ∂x3   ∂x3 ∂x1   ∂x1 ∂x  a a3  a2  1 - Rôta (xoáy) + 1.4 Ten xơ hệ tọa độ Descartes 1.4.1 Hệ thống phần tử Quy tắc số Einstein - Hệ thống hạng có phần tử: a1 , a2 , a3 - Hệ thống hạng có phần tử: a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 - Quy tắc số Einstein: đơn thức + Chỉ số tự do: số lặp lại lần: bi = a1b1 + a b2 + a3 b3 = ∑ bi + Phép lấy tổng: số lặp lại lần i =1 - Hệ thống đối xứng: aij = aji Phản xứng: aij = -aji 1.4.2 Định nghĩa ten xơ - Ten xơ hạng 0: không thay đổi biến đổi trục tọa độ: khối lượng, nhiệt độ - Ten xơ hạng 1: thay đổi theo quy luật ai′ = cij a j Véc tơ ten xơ hạng ngược lại ten xơ hạng xem véc tơ CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ Ten xơ hạng 2: thay đổi theo luật aij′ = cik c jl akl Ten xơ hạng viết dạng ma trận ma trận ten xơ: ( aij′ ) = C ( aij ) C T 1.4.4 Các phép tính đại số ten xơ - Tổng ten xơ hạng: cijk=aijk±bijk - Phép cuộn ten xơ: cij= aikjk - Phép nhân ten xơ: cijklm=aijkblm - Phép hoán vị số: bjki= aijk 1.4.5 Giá trị phương ten xơ hạng hai đối xứng - Phương chính: véc tơ aijνj đồng phương νi: (aij − aδ ij )ν j = , a giá trị - Phương trình đặc trưng (có cách giải): a13   a11 − a a12 - I1 (aij ) = aii = a11 + a22 + a33 I (aij ) = a11a 22 + a 22 a33 + a33 a11 − a122 − a 232 − a312 I (aij ) = det (aij ) = a11a 22 a33 + 2a12 a 23 a31 − a11a 232 − a 22 a312 − a33 a122 - Nếu ten xơ hạng đối xứng ln tồn phương vng góc lẫn với giá trị số thực  a11   a21 a  31 a12 a22 a32 a13   a1   a23  ⇔  a33   0 a2 0  0 a3   det (aij − aδ ij ) = det a21  a  31  a22 − a a23  = a32 a33 − a  a − I1a + I a − I = π  I1 ( aij )  − 3I ( aij ) cos  ϑ −  a1 = I1 ( aij ) +  3  3  2 π  I1 ( aij )  − 3I ( aij ) cos  ϑ +  a2 = I1 ( aij ) +   3 3  2  I1 ( aij )  − 3I ( aij ) cos ϑ a3 = I1 ( aij ) −  3  27 I ( aij ) +  I1 ( aij )  − I1 ( aij ) I ( aij )  π cos 3ϑ = ; 0 ≤ϑ ≤  − 3   I1 ( aij )  − 3I ( aij ) { } CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ Ví dụ: Xác định giá trị phương ten xơ hạng 2:  4−a Giải:  det ( aij − aδ ij ) = det     2−a  = ( − a ) ( − a )( − a ) − 32  = 0 − a  Các giá trị chính: a1 = + 10 ; a = 6; a3 = − 10 Phương với a1= + 10 hệ phương trình có ẩn: (  − + 10         )  0 (aij ) =    0 6   ( )   − + 10 ν + 3ν + 0ν =      ν  0    ν  0  − + 10 =     3ν +  − + 10 ν + 0ν =  ⇒   ν  0   0ν + 0ν + 6 − + 10 ν = − + 10       ν 12 +ν 22 +ν 32 = ν 12 +ν 22 +ν 32 =  ( ) ( ( ) ) ( )   Thu được: ν = ± ( 0.8112 0.5847 ) , chọn phương chính: ν = ( 0.8112 0.5847 )  v1   0.8112 0.5847   Tương tự với giá trị lại      C = v  =  0 1 Ma trận cô sin phương: v   0.5847 − 0.8112     Trong hệ tọa độ chính:  + 10  (aij′ ) =     0   = và: aij′   − 10  ( ) C= ( aij ) C T ; ( aij ) C T ( aij′ ) C CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 2.1 Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange Euler 2.1.1 Hệ tọa độ đồng hành hệ tọa độ quy chiếu - Hệ tọa độ đồng hành OX1X2X3 gắn chặt với môi trường (tọa độ vật chất)      X  X E1  X E  X E  X i E i - Hệ tọa độ quy chiếu ox1x2x3 (tọa độ không gian)      x  x1e1  x2 e2  x3e3  xi ei Bài toán CHMTLT xác định xi  xi  X , X , X , t  ; i  1,2,3 2.1.2 Chuyển vị      M M  u  ui ei u xX 2.1.3 Biến/quan điểm Lagrange: chọn X1, X2, X3 thời gian t; dựa vào quỹ đạo chuyển động phần tử, từ nghiên cứu MTLT 2.1.4 Biến/quan điểm Euler: chọn x1, x2, x3 thời gian t; dựa vào kết hợp trường vận tốc, áp suất, nhiệt độ, điểm không gian để nghiên cứu MTLT CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.1 Mật độ khối lượng Ngoại lực ∆m dm Mật độ khối lượng ρ = lim ∆V = dV      ∆Q dQ ∆Q dQ K = lim = Lực khối Lực thể tích F = lim ∆V = dV → ∆m dm   ∆R dR = P = lim Lực mặt ∆S dS Lực tập trung 3.2 Trạng thái ứng suất Nội lực: Lượng thay đổi lực liên kết phần tử vật chất môi trường liên tục chịu tác động tác động ngoại lực, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức, Trạng thái ban đầu (khi chưa có tác động bên ngồi) nội lực môi trường liên tục không 3.2.1 Trạng thái ứng suất điểm Để làm xuất xác định nội lực MTLT, ta dùng phương pháp mặt cắt Xét môi trường liên tục nằm cân tác động hệ ngoại lực đặt ∆V →0 ∆m→0 ν ∆S →0 ∆V →0 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT Ứng suất toàn phần    ∆P dP = pν = lim ∆A→0 ∆A dA       pν = pv1e1 + pv e2 + pv e3 = σ ν + σ ξη  Ứng suất pháp σ ν , có thành phần vng góc mặt phẳng S  Ứng suất tiếp σ ξη , có thành phần nằm mặt phẳng S Nguyên lý Cauchy: 3.2.2 Ký hiệu quy ước dấu ứng suất  σ 11 σ 12 σ 13  Ký hiệu: (σ ij ) = σ 21 σ 22 σ 23  σ  Quy ước dấu:  31 σ 32 σ 33  • Nếu pháp tuyến mặt cắt (chỉ số thứ i) hướng theo chiều dương trục i tương ứng chiều ứng suất (chỉ số thứ hai j) hướng theo chiều dương trục j tương ứng ứng suất dương CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT Nếu pháp tuyến mặt cắt (chỉ số thứ i) hướng theo chiều âm trục i tương ứng chiều ứng suất (chỉ số thứ hai j) hướng theo chiều âm trục j tương ứng ứng suất dương • Các trường hợp khác với điều nêu ứng suất âm 3.3 Phương trình vi phân chuyển động 3.3.1 Phương trình Navier - Cauchy •  ∂ u1  ∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31 + + + F1 = 0 ρ  ∂x1 ∂x ∂x3  ∂t   ∂ 2u2  ∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32 + + + F2 = 0 ρ  ∂x1 ∂x ∂x3  ∂t   ∂ 2u3  ∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33 + + + F3 = 0 ρ  ∂x1 ∂x ∂x3  ∂t  3.3.2 Định lý đối ứng ứng suất tiếp: σ ij = σ ji CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.3.3 Điều kiện cân biên σ 11ν + σ 21ν + σ 31v3 = Pν σ 12ν + σ 22ν + σ 32 v3 = Pν σ 13ν + σ 23ν + σ 33v3 = Pν Ví dụ 3.3.1: Cho trường ứng suất  x12 x2  (σ ij ) =  − x22 x1   ( ) (1 − x )x 2 x23 − x2 0   kN   cm 2 x32  xác định lực thể tích MTLT Giải: ( ) [( [( ) ] ) ]  ∂ x12 x ∂ − x 22 x1 ∂(0)   ∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13  F1 = − + + + +  = −  = −(2 x1 x − x1 x ) = x x x x x x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂      ∂ − x 22 x1  ∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32  ∂  x 23 − 3x  ∂(0)  2 F2 = − + + +  = −  = − − x2 + x2 − =  + ∂x1 ∂x   ∂x3  ∂x ∂x3    ∂x1 ( ( )  ∂(0) ∂ (0) ∂ x32   ∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33  kN + + F3 = − + +  = −  = −4 x3 ∂x3  ∂x ∂x3  cm  ∂x1  ∂x1 ∂x ) CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.4 Ten xơ ứng suất 3.4.1 Ứng suất toàn phần  pν   σ 11 σ 12 σ 13 ν       = p σ σ σ Tại điểm môi trường  ν   21 22 23 ν   p  σ  ν   31 σ 32 σ 33 ν    = σ ν p e hay ν ij i j Theo dấu hiệu ngược lại ten xơ suy ra: Trạng thái ứng suất điểm môi trường liên tục đặc trưng ten xơ hạng hai đối xứng có sáu thành phần độc lập gọi ten xơ ứng suất 3.4.2 Ứng suất pháp ứng suất tiếp     σ ν = pν ν = σ ikν i ekν j e j = σ ikν iν j δ kj = σ ijν iν j Giá trị ứng suất pháp Véc tơ ứng suất pháp Ứng suất tiếp ν       σ ν = σ ν ν = σ νν = σ ν ν  ν      3 σ = p −σ  ξη ν ν Ví dụ 3.4.1: Cho ten xơ ứng suất Xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp điểm A(1,3,2) mặt phẳng tiếp xúc với mặt trụ có phương trình x12 + x22 = 11  x12 x2  (σ ij ) =  − x22 x1   ( ) (1 − x )x 2 x23 − x2 0   kN   cm 2 x32  CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT Giải: Đặt ϕ = x12 + x22 − 11 > Phương trình mặt trụ: ϕ=0 Pháp tuyến ngồi mặt tiếp xúc A(1,3,2) (4 x1 x2 0)  gradϕ (4 0) = (0.5547 0.8321 ν = = = gradϕ (4 x1 )2 + (2 x2 )2 + (4)2 + (6)2 + Ten xơ ứng suất Ứng suất toàn phần  − 0 (σ ij ) =  −  kN2   cm    −8  0.5547  −4.9923     kN   p ν = pν =  0.5547  ;  −8   0.8321 =  0      cm      (− 4.9923)2 + (0.5547 )2 + = 5.0230 kN Ứng suất pháp  −4.9923  kN σν = ( 0.5547 0.8321 )  0.5547  = −2.3077 ; cm     −4.9923 −1.2801       σ ξη = pν − σν =  0.5547  − −1.9201=          Kiểm tra:   σ ν σ ξη  −3.7122    kN  2.4748  ;   cm   − 3.1722   = (− 1.2801 − 1.9201 ) 2.4748  =     hay cm  0.5547   − 1.2801     kN σ ν = −2.3077 ×  0.8321  =  − 1.9201 cm         Ứng suất tiếp 0)   σ ξη = (− 3.7122)2 + (2.4748)2 + = 4.4615  (4.4615)2 + (− 2.3077 )2 σ ξη + σ ν = kN cm = 5.0230 kN cm CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.5 Nghiên cứu trạng thái ứng suất điểm 3.5.1 Bất biến ten xơ ứng suất Phương chính, Ứng suất Do ứng suất ten xơ hạng đối xứng nên áp dụng mục 1.4.6: điểm vật thể biến dạng tồn ba mặt phẳng trực giao lẫn với pháp tuyến hướng theo phương chính, gọi mặt chính, mặt có ứng suất pháp ứng suất (USC), khơng có ứng suất tiếp Theo số ứng suất khác không, chia ra: - TTUS đơn: USC≠0 - TTUS phẳng: USC ≠0 - TTUS khối: USC ≠0 3.5.2 Giá trị cực trị ứng suất tiếp σ2 −σ3 τ σ= ξη max,1 τ2 τ3 σ − σ1 σ= ξη max,2 σ1 − σ σ= ξη max,3 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.5.3 Biểu diễn vòng tròn Mohr  0 Ví dụ 3.5.1: Cho ten xơ ứng suất (σ ij ) =   kN cm   Xác định US toàn phần, US pháp  0 6 ứng suất tiếp mặt cắt có pháp tuyến ν (1 ,0,1 ) hệ tọa độ Xác định ứng suất tiếp  + 10 0    kN ′ (σ ij ) =     cm − 0 10    + 10 0  1   4.3574       kN  =  pν =      − 0.1147 cm 0 10 −      Giải: Ten xơ US hệ tọa độ US tồn phần Giá trị ứng suất pháp Ứng suất tiếp  σ ξη  σν =    4.3574   kN    = ,véc cm   − 1147   1   2.2361   4.3574          kN = pν − σ ν =   − 3.  =   − 0.1147  1  − 2.2361 cm       ( − − 10 Ứng suất tiếp τ1 = )= + 10 ;τ ( tơ US ) 1   kN    pháp σ ν = σ ν ν = 3.  cm 1     − 10 − + 10 + 10 − 10 − kN = = − 10 ; τ = = 2 cm CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 3.6 Phân tích ứng suất thành ten xơ lệch ten xơ cầu σ ij = σ ijS + σ ijD (σ ) S ij σ tb = σ 11 + σ 22 + σ 33 σ 12 σ 13   σ ij − σ tb σ 23  σ 32 σ ij − σ tb  σ − σ  σ tb 0    D  ij tb =  σ tb  ; σ ij =  σ 21  σ  0 σ  tb  31   ( ) Ten xơ cầu ứng suất σ ij : trạng thái kéo nén theo phương, khơng thay đổi hình dạng, làm thay đổi thể tích áp dụng nhiều Cơ học chất lỏng Ten xơ lệch ứng suất σ ijD : làm thay đổi hình dạng, khơng thay đổi thể tích, áp dụng nhiều Cơ học vật rắn Cường độ ứng suất tiếp S ( ) T = − I σ ijD = Cường độ ứng suất 2 2 τ1 +τ +τ = σ u = 3.T = − 3.I (σ ijD ) = Ten xơ hướng ứng suất 2 σ 11 = (σ 11 − σ 22 )2 + (σ 22 − σ 33 )2 + (σ 33 − σ 11 )2 + 6(σ 122 + σ 232 + σ 312 ) (σ 11 − σ 22 )2 + (σ 22 − σ 33 )2 + (σ 33 − σ 11 )2 + 6(σ 122 + σ 232 + σ 312 ) σ − σ tb σ − σ tb σ σ σ 11 − σ tb σ ; σ 22 = 22 ; σ 33 = 33 ; σ 12 = 12 ; σ 23 = 23 ; σ 31 = 31 σu σu σu σu σu σu Biểu diễn tên xơ lệch qua cường độ ứng suất ten xơ hướng ứng suất σ ijD = σ uσ ij CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT  − 0 (σ ij ) =  −  kN2  0  cm   Ví dụ 3.6.2: Cho ten xơ ứng suất • Xác định thành phần ten xơ ứng suất hệ trục mặt phẳng Ox1x2 xoay quanh trục x3 góc 450 theo chiều kim đồng hồ • Xác định ứng suất phương ten xơ ứng suất σij • Xây dựng vòng tròn Mohr cho trạng thái ứng suất khối • Xác định giá trị ứng suất tiếp ten xơ ứng suất σij a +a a −a Giải: a′ = cos 2θ + a sin 2θ + 2 T + Áp dụng công thức quay trục ( aij′ ) = C ( aij ) C , cụ thể: a′ = a′ = a cos 2θ − a − a sin 2θ  10 −  với θ=-450 có   kN a +a a −a 11 22 11 22 11 12 11 12 (σ ′ ) =  − ij   + Các ứng suất σ + Trong hệ tọa độ 11 0  (σ ij ) =   kN2  0  cm   ′ = a 22 0 cm 0  11 22 − 11 22 22 cos 2θ − a12 sin 2θ 3+9 3+9 3−9 3−9 2 −  = +   + = −5 =1  + = + = 11 ; σ = 2     tgα max = + Các ứng suất tiếp 12 ′ = a33 a33 max 21 − a12 − a12 − (−4) − (−4) = = tg (−63.4 ) ; tgα = = = tg (26.6 ) a 22 − a max − 11 a 22 − a −1 τ1 = 11 − 1− 0 − 11 = 0.5 ; τ = = −5.5 ; τ = = kN cm 2 2 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT + Vòng tròn Mohr TTUS CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHMTLT 4.1 Định luật bảo toàn khối lượng dm  dt Tổng khối lượng vật chất chứa thể tích V khơng thay đổi q trình chuyển động tổng khối lượng số theo thời gian-> phương trình liên tục khối lương: Theo Euler: Hệ v d  d  i   div(v )  dt xi dt Theo Lagrange:  x d    det i dt   X j      d d df df f dV   f 0 dV0   0 dV0    dV  dt V dt V0 dt dt V0 V 4.2 Định luật biến thiên động lượng mômen động lượng + Biến thiên động lượng miền môi trường liên tục tổng lực tác dụng lên miền d    dt V v dV   FdV   Pl dS V S -> phương trình cân hay chuyển động Navier-Cauchy + Đạo hàm theo thời gian mô men động lượng phần môi trường liên tục chứa thể tích V tùy ý điểm O mơ men (cũng điểm đó) lực thể tích lực mặt tác động lên phần môi trường liên tục -> Định lý đối ứng ứng suất tiếp  ij   ji CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHMTLT 4.3 Các trình nhiệt động lực môi trường Trạng thái môi trường liên tục trạng thái nhiệt động lực học thay đổi trạng thái trình nhiệt động lực, tuân theo định luật nhiệt động lực học Trạng thái hệ nhiệt động lực (MTLT) xác định số đại lượng nhiệt động động học, đại lượng gọi tham số trạng thái + Hệ (đồng nhất): tham số trạng thái không phụ thuộc tọa độ điểm + Phương trình trạng thái: phương trình tham số trạng thái + Nếu tốc độ thay đổi trạng thái theo thời gian chậm, trình gọi trình tựa tĩnh Q trình biến đổi nhanh gọi q trình khơng dừng + Nếu nhiệt độ khơng thay đổi, ta có q trình đẳng nhiệt + Nếu khơng có trao đổi nhiệt với m.trường xung quanh: trình đoạn nhiệt + Q trình nhiệt động lực thuận nghịch khơng thuận nghịch + Cần phân biệt q trình với chu trình trình mà kết mơi trường quay vị trí ban đầu khơng gian trạng thái CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHMTLT 4.4 Định luật nhiệt động lực thứ Tổng biến thiên động dK biến thiên nội dU MTLT hai trạng thái q trình tổng cơng học ngoại lực A dòng lượng khác Q mà MTLT nhận hai trạng thái dK  dU  Q  A dq c du 1 c dq Rút dt    e  b   x    e  dt với dt  b   x : b số xạ nhiệt; c  vận tốc truyền nhiệt, xác định theo định luật truyền nhiệt Fourie c  k.gradT  4.5 Định luật nhiệt động lực thứ hai Q Entropi S B   S  A   T   Q Đối với chu trình khơng thuận nghịch dS  T  hay ds  b    ci   dt  xi  T  4.6 Các phương trình CHMTLT u   u + phương trình hình học Cauchy    x  x    v d + phương trình liên tục khối lượng    dt x   d u  + phương trình chuyển động Navier – Cauchy x  F  0  dt    du 1 c + phương trình lượng dt    e  b   x + phương trình truyền nhiệt Fourie c  k xT > Hệ 14 phương trình với 22 ẩn: mật độ ; vận tốc vi chuyển vị ui ; ứng suất độc lập ij ; biến dạng độc lập ij ; véc tơ dòng nhiệt ci ; nội riêng u; mật độ entrôpi s; nhiệt độ tuyệt đối T  Bổ sung phương trình xác định i i ij ij ij ij i i AB L i j j i ij i i ji i i j i ij ij i i i CHƯƠNG 4: CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA CHMTLT Phương trình xác định MTLT thuận nghịch (đàn hồi, ) du    ij d ij  Tds Như vậy, bốn tham số trạng thái ij , ij , T, s có hai tham số độc lập + Chọn tham số độc lập ij s lượng  u u  u     ;T  u hàm ten xơ ứng suất ij   ij  ji  s + Chọn tham số độc lập ij T , lập hàm f f  ij  ;s lượng tự Helmholtz f  ij , T   u  sT   ij T + Chọn tham số độc lập ij T , lập hàm 1 Z Z  ij   ;s nhiệt động Gibbs Z  ij , T   u  sT    ij  ij   T ij +Nếu trình đoạn nhiệt dq=0 hay đẳng nhiệt thì: * sử dụng u *   ij  ij  u  ij  u     ij  u  u u    ij   ij  ji  ij Đặc điểm chất rắn + Định luật bảo toàn khối lượng tự động thoả mãn + Do biến dạng bé nên mô tả Lagrange Euler khơng khác biệt + Có thể xét ảnh hưởng nhiệt tách rời     ... niệm Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT) 0.1.1 Đối tượng, mục đích, phạm vi - Đối tượng: vật thể hữu hạn (vĩ mô) có cấu tạo vật chất liên tục khoảng cách điểm thay đổi, gọi môi trường liên tục. .. quark, (< 10−10 m) +Cơ học vĩ mô (vật thể hữu hạn: nhìn thấy, quan sát được) gồm: Cơ học vật rắn (tuyệt đối) Cơ học vật thể KHÔNG biến dạng CHMTLT Cơ học vật thể CÓ biến dạng: Cơ học vật rắn biến... bằng/chuyển động (Cơ học) Phạm vi: mở rộng Cơ học lý thuyết cho vật thể có biến dạng gồm đàn hồi, dẻo, chất lỏng-khí, thủy lực, SBVL, CHKC, học đất, +Cơ học lượng tử (vi mô) học nguyên tử, hạt