Bài tập lớn cơ học môi trường liên tục (3)

TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Liên (2011), Cơ học môi trường liên tục, NXB Xây dựng, Hà Nội Lê Ngọc Hồng, Lê Ngọc Thạch (1997), Cơ sở học môi trường liên tục lý thuyết đàn hồi, NXB KHKT, Hà Nội Tô Văn Tấn (1991), Lý thuyết đàn hồi, NXB KHKT, Hà Nội Đào Huy Bích (1979), Lý thuyết đàn hồi, NXB ĐH THCN, Hà Nội Nhữ Phương Mai, Nguyễn Nhật Thăng (2003), Bài tập đàn hồi ứng dụng, NXB Giáo dục, Hà Nội Mase G.E (1970), Theory and problems of continuum mechanics, McGraw – Hill CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1 Định luật Hooke tổng quát 5.1.1 Vật thể đàn hồi lý tưởng, đẳng hướng - Đàn hồi lý tưởng: khơi phục hồn tồn hình dáng kích thước ban đầu bỏ lực tác dụng ⇒ σij=Φ(εij) - Thuần nhất: tính chất học điểm - Đẳng hướng: tính chất học theo phương không gian 5.1.2 Thế đàn hồi Công thức Green Castigliano U –thế đàn hồi toàn phần, u – tđh/ 1đv khối lượng; u* - công bù U = ∫ ρudV du = V u* = ρ ρ σ ij dε ij σ ij ε ij − u  ∂u ∂u σ ij = ρ  +  ∂ε ij ∂ε ji      ∂W * ∂W *  ε ij =  +  ∂σ ij ∂σ ji  CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.1.3 Định luật Hooke - Bất đẳng hướng hoàn toàn (Anisotropic, triclinic material): 21 số độc lập σ 11   h11 σ    22   σ 33    = σ 12   σ 23      σ 31   h12 h22 h13 h23 h33 h14 h24 h34 h44 h15 h25 h35 h45 h55 h16 ε 11    h26 ε 22  h36 ε 33    h46 ε 12  h56 ε 23    h66 ε 31  -Có mặt phẳng đối xứng (monoclinic material): 13 (tấm vỏ với mặt đối xứng mặt trung bình x3=0) σ 11   h11 σ    22   σ 33    = σ 12   σ 23      σ 31   h12 h22 h13 h23 h33 h14 h24 h34 h44 0 0 h55 ε 11   ε 22  ε 33    ε 12  h56 ε 23    h66 ε 31  CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH -Có mặt phẳng đối xứng vng góc - trực hướng (orthotropic material): (gỗ, bê tông cốt thép, vật liệu lượng sóng, ) σ 11   h11 σ    22   σ 33    = σ 12   σ 23      σ 31   h12 h22 h13 h23 h33 0 0 h44 0 h55 ε 11    ε 22  ε 33    ε 12  ε 23    h66 ε 31  - Vật liệu trực hướng có tính chất theo phương gọi Đối xứng lập phương: số độc lập σ 11   h11 σ    22   σ 33    = σ 12   σ 23      σ 31   h12 h11 h12 h12 0 0 h11 0 h44 h44 ε 11    ε 22  ε 33    ε 12  ε 23    h44 ε 31  0 -Đẳng hướng (isotropic material – vô hạn m.phẳng đ.xứng): số độc lập CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.2 Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi tuyến tính, nhất, đ.hướng 5.2.1 Định luật Hooke: có dạng a) σ ij = µε ij + λθδ ij ; λ, µ: hệ số Lame; θ = ε11 + ε 22 + ε 33 = 3ε tb  σ 11 σ 12 σ 13   ε 11 ε 12 ε 13  1 0       (σ ij ) = σ 21 σ 22 σ 23  = 2µ  ε 21 ε 22 ε 23  + λ (ε 11 + ε 22 + ε 33 )  σ  ε  0 1  31 σ 32 σ 33   31 ε 32 ε 33    ν +ν b) ε ij = E σ ij − E Sδ ij ; E,ν: môđun Young,hệ số Poisson;S = σ 11 + σ 22 + σ 33 = 3σ tb σ 12 σ 13   ε 11 ε 12 ε 13  σ 1 0   + ν  11  ν   (ε ij ) =  ε 21 ε 22 ε 23  = ( ) σ σ σ σ σ σ − + +  21  22 23  11 22 33  E E ε  σ  0 1  31 ε 32 ε 33   31 σ 32 σ 33    c) d) D D σ tb = 3µε u ; σ ij = ε ij ( 3λ + 2µ ) ε tb ;σ u = σ tb = λ + µ ε ; σ = µε ( ) tb ij ij 5.2.2 Quan hệ số đàn hồi E= µ (3λ + 2µ ) λ+µ λ ν= 2(λ + µ ) ⇔ νE E ;µ = λ= (1 + ν )(1 − 2ν ) 2(1 + ν ) CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Ví dụ 1: Cho ten xơ BD với E=2.104 kN/cm2, ν=0.25 Xác định ten xơ ứng suất Giải: + Xác định số đàn hồi   −3   −4  −  ×10 (ε ij ) =−    −    νE kN 0.25 × 2.104 λ = = = 0.8 ×104 cm (1 +ν )(1 − 2ν ) (1 + 0.25)(1 − × 0.25) E kN 2.104 = = = 0.8 ì104 cm (1 +ν ) (1 + 0.25 ) + Xác định biến dạng thể tích θ = ε11 + ε 22 + ε 33 = (1 + + 4) × 10 + Theo định luật Hooke −4 = ×10−4  −3 2  0   6.400 −4.800 2.2627        kN − 0.8 ×104 ×  −3 −  ×10−4 + 0.8 ×104 × ×10−4 ×   =− 4.800 6.400 2.2627 (σ ij ) =×   cm    0   2.2627 −2.2627 11.2000   −        + Các tính tốn khác: ứng suất mặt cắt nghiêng, ứng suất chính, ứng suất tiếp chính, ten xơ lệch ứng suất tiến hành Chương CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH Ví dụ 2: Cho ten xơ ứng suất  0 kN (σ ij ) =   cm  0 6   với E=2.104 kN/cm2, ν=0.25 Xác định ten xơ biến dạng Giải: S = σ 11 + σ 22 + σ 33 = + + = 12 kN cm + Hàm tổng US + Theo định luật Hooke 4 + 0.25  ε ij ) × (= × 104  0 1.000 1.875  =  1.875 −0.250  0  0 1 0  0.25   0 − 12 × ×   10 ×    6 0 1    ×10−4 2.250  + Các tính tốn khác: biến dạng dài, biến dạng chính, ten xơ lệch biến dạng tiến hành Chương CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.3 Cách đặt tốn LTDH tuyến tính, đẳng hướng 5.3.1 Các phương trình a) phương trình hình học Cauchy  ∂u k ∂u l + ε kl =   ∂xl ∂xk pt tương thích biến dạng Saint Venant    ∂ 2ε ij ∂ 2ε jl ∂ 2ε kl ∂ 2ε ik + − − =0 ∂xk ∂xl ∂xi ∂x j ∂x j ∂xl ∂xi ∂xk b) phương trình cân (hay chuyển động) Navier – Cauchy ∂σ ji  ∂ 2ui + Fi = 0 ρ ∂x j  ∂t c) phương trình định luật Hooke σ ij = 2µε ij + λθδ ij Hệ 15 phương trình, 15 ẩn    CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH y,uy 5.3.2 Điều kiện biên a) Điều kiện biên tĩnh (theo ứng suất, tự nhiên) σ jiν j = Pνi z,uz b) Điều kiện biên động (theo chuyển vị, cần thiết) u1 S = u10 ; u 2 S2 = u 20 ; u S = u 30 c) Điều kiện biên hỗn hợp - Trên biên S1: Điều kiện biên tĩnh - Trên biên S2: Điều kiện biên động 5.3.3 Điều kiện ban đầu u i (x1 , x , x3 , t ) t =0 = u i* (x1 , x , x3 ) ; 5.3.4 Cách chọn ẩn - Lấy ẩn chuyển vị - Lấy ẩn ứng suất - Hỗn hợp q t L x,ux h s Điều kiện biên tĩnh: Biên y=h/2: σyy=-q; σxy=0 Biên y=-h/2: σyy=0; σxy=-t Biên phải x=L: σxx=0; σxy=-s Điều kiện biên động: Biên trái x=0: ux=0, uy=0, Điều kiên ban đầu: Tại t=0: ux(x=L)=ux0 , ∂u i (x1 , x , x3 , t ) = vi* ( x1 , x , x3 ) ∂t t =0 ∂u y ∂x =0 CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH 5.4 Cách giải theo chuyển vị Ba phương trình Lamé  ∂ 2ui ∂θ µ∆ui + (λ + µ ) + Fi = 0 ρ ∂xi  ∂t Điều kiện biên theo ứng suất:  ∂u k  ∂u i ∂u j σ jiν j = λ + µ +   ∂xk  ∂x j ∂xi     ν j = Pνi   Các hệ quả: θ, S hàm điều hoà, u, σ, ε: song điều hòa ∆θ = 0; ∆S = 0; ∆2 ui = ; ∆2ε ij = ; ∆2σ ij = Bài tốn lan truyền sóng động đất, 5.5 Cách giải theo ứng suất Sáu p.trình Bentrami- Michell  ∂Fi ∂F j  ∂2S ν ∂Fk  δ ij −  ∆σ ij + =− +  + ν ∂xi ∂x j − ν ∂x k  ∂x j ∂xi  Maxwell Morera đưa thành phần ứng suất hàm ứng suất cho tốn tĩnh, khơng có lực thể tích SBVL, CHKC thường dùng cách giải theo ứng suất CHƢƠNG 10: LÝ THUYẾT DẺO 10.5.3 Phương pháp nửa ngược  xx  xy  0; x y  x   yxy y   yy   4 xy2  4 ch2 xx  xy 0 v x v y   xx   yy x y  2 xy v x v y   y x v x v y x  y 0 Hệ p.trình, ẩn  xx ;  yy ;  xy ; v x ; v y với đk biên theo US chuyển vị 10.5.4 Phương trình vi phân cân phân tố trượt  xx   tb   sin 2 ;  yy   tb   sin 2 ;  xy   cos 2  tb            ; tb  2  sin 2    2  cos 2  sin 2  cos 2 x x y  y x y    Hệ phương trình hyperbol, có đường đặc trưng trùng với đường trượt Theo đường trượt:  tb       ;       với ,  số dọc theo đường trượt ,  10.5.5 Các tính chất dường trượt - Dọc theo đường trượt, tb tỷ lệ với góc  - Khi chuyển từ đường trượt sang đường trượt khác họ (ví dụ  chuyển sang ) dọc theo đường khác họ (là ) tb ,  thay đổi giá trị (Định lý Hencky thứ nhất) CHƢƠNG 10: LÝ THUYẾT DẺO - Nếu biết tb điểm lưới đường trượt tính giá trị tb tất điểm - Góc hai tiếp tuyến hai đường trượt thuộc họ điểm giao với đường trượt họ khác số (định lý Hencky thứ hai) US pbố 10.5.6 Xác định trường vận tốc Hệ thức Geiringer dv  v  d  trª n d-êng  dv  v d  trª n d-êng  Ống chịu áp lực Bán phẳng chịu nén CHƢƠNG 10: LÝ THUYẾT DẺO 10.6 Bài tốn ống hình trụ chịu áp lực Miền dẻo vành tròn a  r  c Miền đàn hồi vành tròn c  r  b Áp dụng lý thuyết dẻo Hencky – Nadai r a  rr   p  2 ch ln ;     rr  2 ch Phương trình xác định bán kính c c  c2  p   ln  1    a  b  2 ch Biến dạng miền đàn hồi ur          rr   zz  r E B.dạng miền dẻo  rr   tb   ch ;     tb   ch 3K 3K với C    2; 3K r   C  c2    G K   Trạng thái giới hạn c=b, áp lực giới hạn p gh  2 ch ln b a CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.1 Ảnh hƣởng thời gian đến ứng suất biến dạng 11.1.1 Khái niệm chung Nghiên cứu làm việc kết cấu có xét đến từ biến có ý nghĩa quan trọng: • Hiện tượng từ biến xảy hầu hết vật liệu thép, bêtông, gạch, đất, đá, vật liệu pôlyme, đặc biệt thấy rõ thép nhiệt độ cao 5000 – 6000 hay đồng, chì nhiệt độ bình thường phịng • Do từ biến, ứng suất cốt thép bê tơng tăng 22,5 lần cịn chuyển vị tăng 34 lần, ống dẫn từ nồi thép chịu áp lực bị phá hủy Lý thuyết từ biến nghiên cứu thay đổi theo thời gian ứng suất biến dạng tác động bên ngồi lên vật thể khơng thay đổi theo thời gian Lý thuyết từ biến chia thành nhiều nhóm lý thuyết, nhiều hướng NC khác nhau: • Sự thay đổi biến dạng theo thời gian gọi tượng sau tác dụng, tượng bò hay tượng từ biến theo nghĩa hẹp (creep) • Sự thay đổi ứng suất theo thời gian gọi tượng chùng ứng suất, dão hay nới (relaxation) Cơ sở lý thuyết từ biến đƣờng cong từ biến (creep) hay đƣờng cong chùng ứng suất (relaxation) nhận từ thí nghiệm trạng thái ứng suất đơn (kéo, nén mẫu vật liệu) hay thí nghiệm trạng thái ứng suất trượt túy (cắt, xoắn mẫu vật liệu) CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.1.2 Đường cong từ biến Đường cong từ biến gồm đoạn: - AB: giai đoạn bé với tốc độ biến dạng giảm dần, ứng với giai đoạn từ biến chưa ổn định - BC: giai đoạn lớn, có tốc độ biến dạng bé không thay đổi tương ứng với giai đoạn từ biến ổn định Khi tăng ứng suất mẫu độ dài đoạn BC bị rút ngắn lại - CD: Thí nghiệm dừng lại mẫu bị phá hủy dòn C phá hủy nhớt (mẫu bị thắt lại dài tương ứng với đoạn CD), mẫu vừa bị phá hủy dòn vừa bị phá hủy nhớt Đặc trưng đường cong từ biến giá trị biến dạng từ biến phụ thuộc: • Khi ứng suất tăng lên biến dạng từ biến tăng lên (tuyến tính hay phi tuyến): từ biến thép nhiệt độ cao phi tuyến, từ biến bê tông ứng suất bé tuyến tính • Khi nhiệt độ tăng, biến dạng tốc độ biến dạng từ biến tương ứng với giá trị ứng suất xác định tăng lên sau khoảng thời gian ngắn • Từ biến bê tơng phụ thuộc đáng kể vào tỷ lệ nước – ximăng, mác xi măng, độ ẩm, thành phần cốt liệu, • Một số yếu tố khác CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN Hiện tượng già vật liệu: Sự thay đổi tính chất học vật liệu theo thời gian khơng có tải trọng ngồi điều kiện bên ngồi khơng thay đổi Ví dụ: thay đổi tính chất học bê tơng phụ thuộc vào khoảng thời gian xảy trình phản ứng hóa học, q trình ơxy hóa diễn nhanh hay chậm cao su, chất dẻo, Khi đó, biến dạng từ biến khơng phụ thuộc vào khoảng thời gian chịu tải mà phụ thuộc vào thời điểm chịu tải, tức tuổi vật liệu Khi dỡ tải: biến dạng từ biến tích lũy giảm dần giá trị  (từ biến ngược): - Nếu 0: sau tác dụng dẻo: thép, - Nếu  =0: sau tác dụng đàn hồi: pôlyme 11.1.3 Đường cong chùng ứng suất Hiện tượng ứng suất giảm dần theo thời gian biến dạng khơng đổi Ví dụ: thép nhiệt độ cao ứng suất giảm khơng CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.1.4 Giới hạn bền dài hạn thời gian phá hủy Mẫu bị phá hủy phá hủy dòn phá hủy nhớt, đơi mẫu vừa bị phá hủy dịn vừa bị phá hủy nhớt Khi nhiệt độ tăng lên phá hủy nhớt thay phá hủy dịn • Giới hạn bền tức thời: b,k hay b,n (xảy thời gian ngắn), đại lượng không phụ thuộc vào thời gian • Giới hạn bền dài hạn dh giá trị ứng suất không thay đổi bé làm cho mẫu bị phá hủy (dòn, nhớt hay hai) khoảng thời gian xác định, đại lượng phụ thuộc vào thời gian • Thời gian phá hủy (hay tuổi thọ): Khoảng thời gian từ thời điểm đặt tải đến thời điểm mẫu bị phá hủy Giới hạn bền dài hạn thời gian phá hủy vật liệu giảm nhanh nhiệt độ tăng, ra, cịn phụ thuộc vào độ ẩm, tuổi vật liệu, thành phần cốt liệu, tập trung ứng suất, Đối với bê tông chịu tải trọng dài hạn thời gian sử dụng cơng trình (30 – 40 năm): dh 0,8b Đối với gỗ nhiệt độ phòng: dh0,50,6b thời gian sử dụng CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.2 Lý thuyết từ biến 11.2.1 Lý thuyết già: nhiệt độ xác định 1  ,  , t       t   Trường hợp riêng:      t với 11.2.2 Lý thuyết chảy: nhiệt độ xác định 1  at b  C , , t   Trường hợp riêng: C   B với m1, B hàm thời gian nhiệt độ 11.2.3 Lý thuyết tái bền: nhiệt độ xác định m   ,  C , C   Trường hợp riêng: C  C  f   với   f     n ; f    ae b ; f    a e b  11.2.4 Lý thuyết di truyền: a) Lý thuyết di truyền tuyến tính  t    t  E t   H t     d CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN H t     Ae  t   ; H t     với nhân từ biến Ngược lại a t     ; H t     ae t   t    t  t   E t    K t     d với K(t-) gọi nhân chùng ứng suất Chọn nhân từ biến H t     k E e  t   H  En    n đưa với H môđun đàn hồi dài hạn, E môđun đàn hồi tức thời E ;n 1 k  1  k  - Khi =0 đưa định luật Hooke:    E H  - Khi E 0;   1  k   đưa 1 k  1  k  E     (chất lỏng nhớt) - Khi tốc độ biến dạng ứng suất bé    H b) Lý thuyết di truyền phi tuyến t      t    H t     d hay  t    t  E t  t   H t      d CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.3 Các mơ hình học vật rắn biến dạng 11.3.1 Các mơ hình học 11.3.2 Mơ hình Foight – Kelvin   E   CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.3.3 Mơ hình Maxwell    E    11.3.4 Các mô hình khác a) Zener E1  E   1  E1 E   E11 b) Poyting – Thompson 1 E1  E2   E1 E2  1  E2 c) 1 2  E1 2  1     E1 d) 1 2  E1 1      2  E1 CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.4 Cách đặt toán phƣơng pháp giải lý thuyết từ biến •Lý thuyết từ biến tuyến tính tương đối miền ứng suất biến dạng bé, sử dụng khảo sát lý thuyết, có liên hệ với lý thuyết đàn nhớt tuyến tính lý thuyết dẻo nhớt Lý thuyết sử dụng rộng rãi để thiết kế tính tốn độ bền, độ ổn định chi tiết kết cấu •Lý thuyết từ biến phi tuyến gồm nhiều lý thuyết từ biến khác dựa sở đường cong từ biến nhận từ thí nghiệm trường hợp từ biến chiều, từ khái quát cho trạng thái ứng suất phức tạp Kết tính tốn theo lý thuyết khơng phải ln tương tự mà số trường hợp riêng trái ngược Nếu từ biến ổn định, sai số bé 11.4.1 Lý thuyết đàn hồi nhớt tuyến tính: 15 phương trình, 15 ẩn - phương trình vi phân cân Navier – Cauchy - phương trình hình học Cauchy - phương trình vật lý  tb  3K tb  ijD  n ijD  H ijD  EnijD - Điều kiện biên theo ứng suất chuyển vị - Các điều kiện ban đầu - Khi cần thiết sử dụng phương trình tương thích biến dạng Saint Venant Dùng phép giải lặp: nghiệm đàn hồi, nghiệm nhớt, CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.4.2 Lý thuyết dẻo nhớt - phương trình vi phân cân Navier – Cauchy - phương trình hình học Cauchy - Một bốn dạng điều kiện dẻo nhớt (lý thuyết già, chảy, tái bền, di truyền) Số phương trình số ẩn số nên phải thêm giả thiết bổ sung 11.4.3 Lý thuyết từ biến cho vật liệu trình từ biến ổn định LT sử dụng kỹ thuật để thiết kế chi tiết, kết cấu kim loại Tuy có tính chất nửa kinh nghiệm giải toán phức tạp, LT cho kết tốt phù hợp với thực nghiệm Các giả thiết: - Quan hệ cường độ tốc độ biến dạng u cường độ ứng suất u : ứng suất khơng thay đổi q trình từ biến ổn định  u   u  - Có mối quan hệ tương tự lý thuyết chảy dẻo  ijD  ij - Vật liệu không nén 11  22  33  Hệ gồm 16 phương trình, 16 ẩn LT từ biến ổn định tương tự với LT chảy dẻo LT biến dạng đàn dẻo nhỏ Theo Ilyushin Lenski, lý thuyết áp dụng cho miền tốc độ biến dạng khác nhau: với tốc độ bé trường hợp từ biến, với tốc độ trung bình lớn trường hợp chảy dẻo CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.5 Một số ví dụ 11.5.1 Dầm chịu uốn tuý n   M y 1  y n y     I nx       n Tại mép dầm Wnx  yh n bh 22n  1 1 n y ứng suất lớn  max  M Wnx mô men chống uốn suy rộng CHƢƠNG 11: LÝ THUYẾT TỪ BIẾN 11.5.2 Ống dầy chịu áp lực   n   pa b  rr   ;   b n  a n  r n  2  pa n  n  b n    1  n b n  a n  rn n   pa n  ;  zz  2  bn  an    n 1 b n 1  n  rn       ... đầu bỏ lực tác dụng ⇒ σij=Φ(εij) - Thuần nhất: tính chất học điểm - Đẳng hướng: tính chất học theo phương không gian 5.1.2 Thế đàn hồi Cơng thức Green Castigliano U –thế đàn hồi tồn phần, u –... cục Saint Venant Nguyên lý cộng tác dụng lực - Bài tốn thuận: Cho Fi, Pν ⇒ tìm σij, εij, ui - Bài toán ngược: Cho σij ( hay εij, ui) ⇒ tìm Fi, Pν - Bài tốn nửa ngược: Cho biết Fi, Pν phần σij (... điều kiện a + 2c + e4 = , b4, d4 tùy ý Trường hợp a4=b4=c4=e4=0, d4>0: CHƯƠNG 6: BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 6.5.4 Dầm công xôn chịu tải trọng tập trung d xy + b2 xy , ứng suất có dạng