Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 1 ts phạm văn đạt

PHẠM VĂN ĐẠT BÀI GIẢNG CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC Trang 2 1 Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC 1.1 Nhiệm vụ và đối tượng của môn học 1.1.1 Nhiệm vụ của môn học Nhiệm vụ của mô

TS PHẠM VĂN ĐẠT

BÀI GIẢNG

CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

HÀ NỘI, THÁNG 8 NĂM 2016

1

Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CHUNG CỦA MÔN HỌC

1.1 Nhiệm vụ và đối tượng của môn học

1.1.1 Nhiệm vụ của môn học

Nhiệm vụ của môn học cơ học môi trường liên tục nói chung và lý thuyết đàn hồi nói riêng là tìm cách xác định trạng thái ứng suất, biến dạng và trường chuyển vị trong môi trường liên tục khi chịu tác dụng của ngoại lực hoặc các yếu tố ảnh hưởng khác Môi

trường liên tục là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục Cũng như các môn cơ học

biến dạng khác, các kết quả của môn học là cơ sở cho việc giải quyết các bài toán kỹ thuật

Do môn học nghiên cứu tất cả các môi trường liên tục vì vậy lý thuyết xây dựng trong môn học là lý thuyết tổng quát để giải tất cả các dạng kết cấu khác nhau và phương pháp của môn học là phương pháp chung nhất để giải các bài toán trong cơ học Vì vậy cách đặt vấn đề về mặt toán học là chặt chẽ và chính xác hơn so với các môn học như Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu v.v…

2

1.1.2 Đối tượng của môn học

Đối tượng của môn học là những vật thể có cấu tạo vật chất liên tục, nghĩa là tại một

điểm bất kỳ luôn lấy được một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó Tùy thuộc cấu tạo vật chất và tính chất cơ học của môi trường vật chất mà người ta có thể chia ra làm

3 loại: Môi trường rắn; Môi trường lỏng; Môi trường khí

Tương ứng với mỗi loại vật thể của môi trường ở trên, có thể xây dựng các lý thuyết riêng cho từng môi trường Chẳng hạn đối với vật thể rắn biến dạng có các môn sau: Sức bền vật liệu, Cơ học kết cấu, Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết đàn dẻo, Lý thuyết từ biến, Cơ học phá hủy, Cơ học Compisite v.v… Trong các chương sau môn học chủ yếu đề cập đến bài toán phân tích ứng suất biến dạng của vật thể rắn biến dạng đàn hồi khi chịu tác dụng

của ngoại lực

3

1.2 Các giả thuyết và nguyên lý cơ bản của môn học

Môn cơ học môi trường liên tục khác với môn Sức bền vật liệu là giải bài toán một cách chặt chẽ nhưng môn học cũng phải đưa vào các giả thuyết để làm đơn giản bài toán khi tính toán so với kết cấu thực tế Các giả thuyết cơ bản:

1.2.1 Giả thuyết 1: Giả thuyết về cấu tạo liên tục của vật thể đàn hồi

Vật thể liên tục trước và sau khi biến dạng (không có lỗ rỗng, không gián đoạn), các phân tố trong vật thể cũng liên tục Như vậy biến dạng và chuyển vị của từng điểm trong vật thể là các hàm liên tục của các tọa độ Trong thực tế các vật thể luôn có cấu trúc nhất định, không cần phải dùng thiết bị phóng đại để quan sát chúng ta cũng có thể thấy cấu trúc của vật thể có những điểm gián đoạn Vì vậy, nếu biểu diễn được sự gián đoạn của vật thể bằng toán học thì kết quả phân tích cũng rất phức tạp đối với các bài toán đơn giản Cần chú ý rằng, lý thuyết cơ học môi trường liên tục coi vật thể là liên tục nhưng khi phân tích vẫn tưởng tưởng cắt vật thể ra thành các phân tố vô cùng bé bằng các mặt bất kỳ,

4

nhưng những phân tố nằm cạnh nhau thì chúng cùng chung một mặt bên và từng phân tố không mang tính chất riêng biệt

1.2.2 Giả thuyết 2: Giả thuyết về trạng thái không ứng suất ban đầu của vật thể

Theo giả thuyết này thì ứng suất ban đầu trong vật thể trước lúc đặt ngoại lực do quá trình hình thành vật thể sinh ra được xem bằng “không” Như vậy ứng suất trong vật thể khi môn học nghiên cứu là phần tăng ứng suất tại điểm đang xét trong vật thể khi có tác dụng của ngoại lực sinh ra, chứ không kể đến ứng suất sẵn có ban đầu tại điểm đó Trong

kỹ thuật ta bỏ qua ứng suất ban đầu và sự gián đoạn của vật thể có sai khác thực tế, nhưng

bù lại khi ta tiến hành thí nghiệm các mẫu vật liệu để xác định các đặc trưng cơ học của chúng (giới hạn đàn hồi, giới hạn chảy, v.v…) từ đó xác định ứng suất cho phép của vật liệu bằng thực nghiệm chúng ta cũng bỏ qua ứng suất ban đầu và cấu trúc thực của vật liệu

5

1.2.3 Giả thuyết 3: Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, đồng nhất và đẳng hướng

Tính đàn hồi tuyệt đối là tính chất khi vật thể chịu tác dụng của ngoại lực thì biến

dạng, nhưng khi không còn chịu tác dụng của ngoại lực “dỡ tải về không” thì vật thể trở về

nguyên hình dạng ban đầu Tính đồng nhất của vật liệu thể hiện là tính chất tại mọi điểm khác nhau trong vật thể có tính chất như nhau Tính đẳng hướng của vật liệu là tính chất

tại một điểm bất kỳ trong vật thể theo mọi hướng đều có tính chất cơ – lý là như nhau, như vậy bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phân tố đều là mặt phẳng đối xứng của phân tố đó

1.2.4 Giả thuyết 4: Biến dạng và chuyển vị rất nhỏ hơn so với kích thước của vật thể

Dựa vào giả thuyết này dẫn đến mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là mối quan

hệ bậc nhất (tuân theo định luật Hooke tổng quát) Dựa vào giả thuyết này, khi tính toán với các biến dạng dài tương đối hoặc biến dạng góc nếu ta khai triển các đại lượng này theo chuỗi Taylor thì ta có thể bỏ qua các biến dạng góc bậc cao

1.3.2 Biến đổi các thành phần của véctơ khi xoay hệ trục tọa độ

Xét hệ trục ox x x1 2 3 quay quanh điểm o chuyển thành hệ trục ox ' x ' x '1 2 3 Gọi các

véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục ox x x1 2 3 là e ;e ;e


1 2 3, véctơ đơn vị trên các trục của hệ trục ox ' x ' x '1 2 3 là e' ;e' ;e'





1 2 3

Cosin chỉ phương của các véctơ đơn vị e ;e ;e


1 2 3 trên hệ trục ox ' x ' x '1 2 3 lần lượt là:

(l ;l ;l , m ;m ;m , n ;n ;n 1 2 3) ( 1 2 3) ( 1 2 3) Ta có:

13

1.4 Trường vô hướng và trường véctơ

1.4.1 Trường vô hướng

Trường vô hướng là hàm vô hướng của các điểm trong miền xác định của hàm Giả

sử có trường vô hướng ϕ(x ,x ,x )1 2 3 thì ta có định nghĩa:

∂ ∂ ∂ :là toán tử Laplace trong tọa độ Descartes

Nếu hàm ϕ có ∇ ϕ =2 0 thì hàm ϕ được gọi là hàm điều hòa

Nếu hàm ϕ có ∇ 2(∇ ϕ = 2 ) 0 thì hàm ϕ được gọi là hàm trùng điều hòa (hàm điều hòa kép)

15

Ví dụ 1.1: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C biết tọa độ

của các điểm trong hệ trục tọa độ ox x x1 2 3 là: A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)

C(0,0,c)

o

17

Trường hợp đặc biệt: a = b = c (mặt ABC nghiên đều với các trục tọa độ), khi đó véctơ

pháp tuyến đơn vị của mặt là: v 1 e1 1e2 1 e3

Ví dụ 1.2: Tìm véctơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm

A( 2, 2, 1); − − − , biết mặt cầu có tâm I( 2;1;3) − và bán kính R=5

Trường véctơ là một hàm véctơ của các điểm (x ,x ,x )1 2 3 trong hàm xác định

Giả sử có trường véctơ a(x ,x ,x ) 1 2 3 với các hình chiếu lên ba trục tọa độ Descartes vuông góc là: a ;a ;a1 2 3, thì ta có định nghĩa:

19

1.5 Khái niệm về tenxơ

Thực tế trong toán học chúng ta đã gặp một số loại đại lượng:

- Đại lượng vô hướng: là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng là các con số Trong

thực tế có một số đại lượng là đại lượng vô hướng như: khối lượng, thời gian v.v…

- Đại lượng có hướng (đại lượng véctơ): là đại lượng mà đặc trưng cho đại lượng

ngoài các con số còn có phương và chiều Trong thực tế có một số đại lượng là đại lượng

có hướng như: vận tốc, gia tốc, lực v.v…

Ngoài 2 đại lượng vừa trình bày, trong thực thế còn những đại lượng đặc trưng cho một trạng nào đó của môi trường mà đại lượng này không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ Các đại lượng này được biểu diễn bởi một số giá trị nào đó gọi là thành phần của đại lượng Đối với những hệ trục khác nhau thì những thành phần này cũng thay đổi theo một quy luật nào đó (có thể xác định các thành phần của đại lượng này trong hệ trục

“1” Tương tự như thế, đại lượng vô hướng cũng có thể được coi là tenxơ hạng “0” Như vậy đại lượng tenxơ là một đại lượng tổng quát mà các đại lượng vô hướng và đại lượng

có hướng là các trường hợp riêng của nó

- Phép nhân ma trận với một vô hướng λ[ ]A