Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 5 ts phạm văn đạt

Trang 1 186 Chương 5: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ DESCARTES 5.1 Bài toán phẳng Trang 2 187 5.1 Bài toán ứng suất phẳng Xét một tấm mỏng hay tấm tường chiều dày h có đáy song so

2 biến số (chẳng hạn: x, y) những bài toán này được gọi là bài toán phẳng Bài toán phẳng được chia thành 2 loại: Bài toán biến dạng phẳng và bài toán ứng suất phẳng Sau đây ta sẽ

đi nghiên cứu chi tiết từng bài toán:

187

5.1 Bài toán ứng suất phẳng

Xét một tấm mỏng hay tấm tường (chiều dày h) có

đáy song song với mặt phẳng (xoy) và chịu tải trọng ở

mặt sườn song song với đáy và phân bố đều theo chiều

dày bản (hình 5.1)

Vì theo trục z không có tải trọng tác dụng tại hai

đáy nên mọi điểm thuộc 2 đáy bản có:

Như vậy, trong bài toán này các nghiệm ứng suất của bài toán nằm trong một mặt

phẳng và bài toán này được gọi là bài toán ứng suất phẳng

Định luật Hooke biểu diễn biến dạng qua ứng suất:

5.3 Bài toán biến dạng phẳng

Giả sử mọi điểm trong vật thể đàn hồi ta có chuyển vị chỉ phụ thuộc vào 2 trong 3 biến

x, y, z (chẳng hạn x, y) nghĩa là:

1 2

190

Ví dụ: Xét tường chắn dài chịu áp lực của nước như hình 5.2a Ta xét trong một đơn vị dài tường chắn thì coi như tấm bị kẹp giữa chiều dài vật nên không có biến dạng dài theo phương theo phương bề dài (phương z) (hình 5.2b)

Hình 5.2 Khi đó các thành phần biến dạng tại một điểm bất kỳ trong tấm:

x y

Trong bài toán biến dạng phẳng, ta có: τ =yz 0;τ =zx 0;

192

Điều kiện biên:

Điều kiện biên tĩnh học:

biến dạng và ứng suất của bài toán

195

So sánh các biểu thức (5.3) và (5.9) cho thấy các biểu thức đều có dạng giống nhau, chỉ khác nhau ở các hệ số đàn hồi: Trong bài toán ứng suất phẳng là: E,υ; trong bài toán biến dạng phẳng là: E ,υ1 1

5.4 Giải bài toán phẳng theo ứng suất, hàm ứng suất Airy

5.4.1 Hàm ứng suất airy – phương trình lưỡng điều hòa

Phép giải bài toán phẳng theo ứng suất nghĩa là chọn 3 thành phần ứng suất: σ σ τx, y, xy

là nghiệm của phương trình Để giải các ẩn số này ta sử dụng các phương trình cân bằng (5.7), phương trình liên tục (5.12), điều kiện biên (5.8), các phương trình quan hệ giữa biến dạng qua ứng suất (5.10)

Ta có:

Các ứng suất này phải thỏa mãn phương trình cân bằng (5.7)

196

yx x

197

yx x

198

5.4.2 Hàm ứng suất Airy – phương trình lưỡng điều hòa

Nghiệm của phương trình (5.14) sẽ bằng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng của phương trình (5.15)

Điều kiện cần và đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y), tức

∂ ∂ , tức là (σx.dy - Txy.dx) là vi phân

toàn phần của 1 hàm A(x,y) nào đó Nên ta có quan hệ x A

200

Hàm ϕ(x,y) : Gọi là làm ứng suất Airy, là hàm để giải bài toán phẳng theo ứng suất Hàm ứng suất phải tồn tại đạo hàm đến bậc 4 Vì hàm tổng ứng suất là hàm điều hòa nên hàm ứng suất phải là hàm trùng điều hòa nên:

* x 2

* y 2

5.5 Giải bài toán phẳng bằng hàm đa thức

Ta thấy giải bài toán phẳng là tích phân phương trình trùng điều hòa (5.17) cùng với

các điều kiện biên (5.18) để tìm hàm ứng suất ϕ(x,y) Nhưng việc làm này vô cùng phức

201

tạp Bởi vậy người ta thường giải bài toán này bằng phương pháp ngược, nghĩa là cho

trước dạng của hàm ứng suất ϕ(x,y) phụ thuộc vào những tham số nào đó cần xác định

Hàm ϕ(x,y) chọn này sẽ thỏa mãn phương trình trùng điều hòa và từ điều kiện biên để tìm

các tham số cần thiết đó

5.5.1 Chọn hàm ϕϕϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 3:

Dễ dàng thấy hàm ϕ(x,y) được chọn như vậy thỏa mãn phương trình hàm trùng điều

hòa (5.17) với những giá trị bất kỳ của của các hệ số a, b, c, d, v.v…

ax bx y cx y cy a x b xy c y

ϕ = + + + + + + (5.19)Khi đó trong trường hợp không có lực khối thì theo (5.16) ta có:

2ax 6by 2a ;x

Hệ số (a, b, c) trong (5.20) sẽ được xác định từ điều kiện biên (5.18):

5.5.2 Chọn hàm ϕϕϕ(x,y) dưới dạng hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn:

Nếu chọn hàm ϕ(x,y) là một hàm đa thức bậc 4 hoặc cao hơn thì trước tiên phải chọn các hệ số sao cho nó là một hàm trùng điều hòa Chẳng hạn chọn:

203

Suy ra: a=c=e=0

Khi đó nhận được hàm lưỡng điều hòa:

6bxy 6a x 2b y 2a ;x

204

Ví dụ 5.1: Xét một dầm conson dài l, mặt

cắt ngang hình chữ nhật (δ ×h) (δ nhỏ) chịu

tải trọng P ở mặt cắt đầu mút Hãy xác định

trạng thái ứng suất trong dầm (hình 5.3)

Lời giải

Mô men là hàm bậc nhất của x, nên ứng suất là hàm bậc 2 của x và y Vì ứng suất là

đạo hàm bậc 2 của hàm ứng suất, nên hàm ứng suất là hàm bậc 4 theo x và y:

bx y dx y a x b x y c xy d y a x b xy c y

Điều kiện biên:

- Tại biên trên (y h;0 x l)= ≤ ≤ : có l 0;m 1= = nên: τ =xy 0;σ =y 0 (a)

l

x

205

- Tại biên dưới (y 0;0 x l)= ≤ ≤ : có l 0;m= = −1 nên: τ =xy 0;σ =y 0 (b)

- Tại biên bên phải (0 y h;x l)≤ ≤ = : có l 1;m 0= = nên:

x h yx 0

0

dy P

(c)(d)

3d(x l)(2y h);

y0;

Như vậy ứng suất cần tìm:

0;

6Py(h y);

207

Nhìn vào kết quả ta thấy:

- Tại biên trên và biên dưới ( y=h; y=0) ta có:

208

5.6 Giải bài toán phẳng bằng chuỗi lượng giác

Khi tải trọng phức tạp, không liên tục thì việc chọn hàm ứng suất là đa thức rất hạn chế

và rất khó chọn Vì vậy Ritbier và Fillonne đã đưa ra đề xuất biểu diễn hàm ứng suất dưới dạng chuỗi lượng giác

Với các Ci là các hằng số tích phân được xác định theo điều kiện biên

- Dùng nghiệm Fillonne (tấm chữ nhật) biên bên trái và bên phải (khi x=0 và x=L) thì

5.7 Giải bài toán phẳng bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn (phương pháp lưới) là một phương pháp số cho phép giải gần đúng các bài toán phức tạp mà các phương pháp giải tích không hiệu dụng Ngoài

ra, phương pháp này còn có thể cho phép tự động hóa tính toán bằng máy tính

Nội dung phương pháp: Thay giá trị chính xác của đạo hàm bằng những biểu thức gần đúng qua giá trị của hàm trên một khoảng nào đó Khi đó phương trình vi phân sẽ được thay thế bằng các phương trình đại số

211

5.7.1 Đạo hàm và sai phan cấp một

Giả sử cho hàm y f (x) = liên tục, khả vi

trong đoạn [a,b] Ta chia đoạn này thành những

đoạn nhỏ ∆ x và gọi giá trị của hàm tại điểm

thứ i là yi (hinh 5.4) ∆ x là bước sai phân

(bước sai phân có thể đều hoặc không đều)

Trong trường hợp này ta chỉ xét bước chia đều,

5.7.2 Đạo hàm và sai phân cấp cao

Tương tự như đạo hàm cấp 1 với đạo hàm cấp cao ta lấy gần đúng:

( )

n n

i n n

213

( )

( ) ( )

2 2

214

4 4

trong miền (S), ta chia miền này bằng những lưới

chữ nhật với bước sai phân ∆ x và ∆y

Ta có thể viết đạo hàm riêng tại “0” như sau:

4

5 6

9

10 11

12

y y y

y x

20ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ8( ) 2( ) ( ) 0= (5.41)Ứng suất tại điểm “0” sẽ được xác định theo công thức:

( ) ( )

2

0 2

0 2

217

5.7.5 Giá trị hàm ϕ (x, y) và đạo hàm của nó trên biên

Việc giải bài toán phẳng theo ứng suất rút lại thành việc giải phường trình trùng điều

hòa (5.40)

Nghiệm của phương trình này là hàm ứng

suất ϕ phải thỏa mãn điều kiện biên

Sau khi thay (5.44) vào (5.43) và lấy tích phân

Nếu chọn hàm ϕ sao cho giá trị của ϕ và đạo hàm của hàm ϕ tại A bằng “0”:

Quy ước dấu của F ;F ;Mx y B: Khi chiều đi từ A đến B ngược chiều kim đồng hồ thì

+ F ;Fx y là tổng hình chiếu các lực trên biên từ A đến B theo phương trục x, y và được coi là dương nếu cùng chiều với chiều dương của trục tọa độ tương ứng;

+ MB là tổng mô men của các lực trên AB đối với điểm B và được coi là dương nếu

ngược chiều đi của A đến B, và ngược lại

220

5.7.6 Giá trị hàm ϕ (x, y) và đạo hàm của nó ngoài biên

Hình 5.7 a) Đối với điểm ngoài biên nằm phía trên chu tuyến (hình 5.7a)

N B T

y

y

N B T

x

N B T

x

Trên đây chỉ giới thiệu một dạng lưới đơn giản nhất (lưới chữ nhật với bước sai phân

đều) Trong nhiều bài toán khác nhau, tùy theo hình dạng của vật thể ta còn dùng các dạng lưới tam giác, lục giác v.v…

222

Để nghiệm của phương trình sai phân hữu hạn càng chính xác thì người ta chia lưới

càng dày (bươc sai phân càng nhỏ) Khi đó số phương trình thu được tăng lên Tuy nhiên

nếu giải bằng máy tính thì việc giải hệ nhiều phương trình cũng không quá phức tạp

Ví dụ 5.2: Xác định ứng suất tại điểm K ở

giữa tấm tường hình vuông chịu tải trọng

như hình vẽ 5.8 bằng phương pháp sai phân

Lời giải:

Hình 5.8

a a

223

Bước 1: Xác định ngoại lực chưa biết: Dựa vào điều kiện cân bằng ta sẽ xác định được q1

1

q.2a q a / 2= suy ra: q1 =q / 4

Bước 2: Đánh số các điểm và chọn điểm gốc trên biên Điểm gốc trên biên được chọn là

tùy ý miễn sao dễ dàng và thuận lợi cho tính toán Đối với bài toán đối xứng, để xử dụng

tính đối xứng thì điểm gốc phải chọn trên trục đối xứng

Bước 3: Viết phương trình trùng điều hòa cho hàm ứng suất tại điểm K:

20ϕ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ8( ) 2( ) ( ) 0=

224

Bước 4: Tính các giá trị hàm, đạo hàm của hàm ứng suất trên biên

2 k

Bước 6: Xác định giá trị hàm ứng suất tại K

Thay các giá trị này vào phương trình (1) ta được :

hay: 24ϕ −k qa2 −qa2 +4qa2 =0 suy ra là: ϕ = −k qa /122 ≈ −0,083qa2

Bước 7: Xác định ứng suất tại K

Cho tấm hình chữ nhật có bề dày một đơn vị, chịu nén

áp lực q như hình 5.9 Biết: - Chuyển vị theo phương trục z

vuông góc với mặt phẳng tấm bằng không;

227

Bài 5.2

Xét tường chắn có trọng lực riêng là ρ

Chịu tác dụng của áp lực nước như hình

5.10 Hãy xác định trạng thái ứng suất trong

tường (chọn hàm ứng suất là hàm đa thức

bậc 3: ϕ(x, y) ax= 3 +bx y cxy2 + 2 +dy3 với

a, b, c, d là các hằng số)

Hình 5.10 y

h

229

Bài 5.4

Bằng phương pháp sai phân vơi bước chia đều là a Hãy xác định ứng suất tại điểm K

của tấm chịu lực như hình vẽ 5.12

K

q