Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 6 ts phạm văn đạt

Trang 1 230 Chương 6: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CỰC Khi nghiên cứu tính toán cho các bài toán vành tròn, đĩa v.v… nếu dùng hệ trục tọa độ Descartes mô tả các đại lượng ứng suất

230

Chương 6: BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ CỰC

Khi nghiên cứu tính toán cho các bài toán vành tròn, đĩa v.v… nếu dùng hệ trục tọa độ Descartes mô tả các đại lượng (ứng suất, biến dạng) thì không thuận tiện bằng mô tả trong

hệ trục tọa độ cực Ví dụ khi nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, thanh cong, tại những miền cạnh lỗ tròn của tấm…

Trong tọa độ cực, vị trí một điểm được xác định góc cực θ và vectơ bán kính r

6.1 Các phương trình cơ bản

6.1.1 Các phương trình vi phân cân bằng :

Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt ra 1 phân tố giới hạn bằng 6 mặt

231

y x

- 2 mặt phẳng chứa trục z và tạo với nhau một góc dθ

- 2 mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách nhau 1 đơn vị

b

c

- fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm và tiếp tuyến tác dụng lên một đơn vị tiếp tuyến

Xét cân bằng của phân tố chịu lực như hình 6.1 :

234

6.1.2 Các phương trình hình học:

Chuyển vị của điểm A(r, θ) theo phương r, θ là: u, v

Chuyển vị của điểm B(r+dr, θ) theo 2 phương là:

u

r

∂+

∂ và v

r

∂+

u u

∂

∂ +

θ

θ d

u u

∂

∂ +

1

γ

235

r

u(u dr) u dr dr

u(u d ) u 1 u

C A E

∂+ θ −

θ

∂+ θ − + θ − θ

236

v(v vdr) v v v v(B''A ''M ') (NA ''M '')

237

r

ur

1( – )E

238

b Biểu thức ứng suất qua biến dạng:

r 2

E( – )1

E( – )1

E2(1 )

241

2 2

f f f sin f f sin sin

.cos cos cos

f f f cos f f cos cos

.sin sin sin

(6.14): là phương trình trùng điều hòa của bài toán phẳng trong tọa độ cực

Ví dụ 6.1: Cho thanh cong mặt cắt ngang hình chữ nhật

(bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng bởi mômen Mo ở 2 mặt cắt

đầu thanh và nằm trong mặt phẳng cong của thanh như

hình vẽ 6.4 Hãy xác định trạng thái ứng suất trong thanh

Bài giải :

Hình 6.4 Đây là trường hợp thanh cong phẳng chịu uốn thuần túy Do mômen uốn không đổi theo chiều dài thanh nên ứng suất không phụ thuộc vào góc cực Ta chọn hàm ứng suất theo: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D

a b

Các hằng số A,B,C được xác định từ điều kiện biên như sau :

* Tại 2 biên cong : r

B(1 2ln b) 2C 0b

aAln B(b ln b a ln a) C(b a ) M

247

6.3 Bài toán nêm phẳng chịu lực tập trung

Xét một nêm phẳng bề dày 1 đơn vị, góc

chắn ở đỉnh là 2α và chịu tải tập trung P

nghiêng một góc β như hình vẽ 6.5 Đây có

thể là sơ đồ của một đập chắn và ta coi nên

y

x P

r

σ r

f + 2f '' f+ = 0

Nghiệm của phương trình (6.17) có dạng:

250

2

2 2

Trong hệ thức (6.21) thì các hệ số C, D là những hằng số tích phân Chúng được xác định

từ điều kiện biên

Ta thấy tại điều kiện biên với θ = ±α thì điều kiện σ = τ =θ rθ 0được thỏa mãn

Xét cân bằng phần nêm được giới thiệu bằng mặt trụ bán kính r, ta có:

và vuông góc với đường tải trọng và cách nhau một đơn vị (hình 6.6)

Hình 6.6

1

1

253

Như vậy ta đã đưa bài toán không gian thành bài toán phẳng

Trong trường hợp không gian bán vô hạn giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song gần nhau thì được xem là bản vô hạn đàn hồi Nếu bản mỏng ta coi bài toán này như bài toán trạng thái ứng suất phẳng

Xét bản mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng ở biên Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) là 1 hàm chẵn đối với θ nên σr, σθ là hàm chẵn đối với θ

Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (6.22)

C: là hằng số phải xác định sao cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hòa

và điều kiện biên:

2 cos

r r r r

0r

→ = −

π (6.24) Thay (6.24) vào (6.23) ta có:

r

r

2Pcosr00

θ θ

256

+Tại điểm đặt lực P: r = 0 thì σr = ∞ Thực tế khi chịu lực tập trung ở điểm đặt lực

có ứng suất cục bộ rất lớn làm cho khu vực tại những điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo

+Ở đây ta không xét khu vực đó mà chỉ áp dụng nghiệm đã rút ra ở ngoài khu vực nói trên

→ σ = −

π (6.27)

Công thức (6.27) cho thấy ứng suất σr của tất cả các điểm cùng một vòng tròn đều như nhau Vòng tròn đó gọi là đường đẳng suất

P

x

n f*y

l m l.l

260

2 2

2 2

xcos

x yysin

x y

xy.sin cos

2 2

2 2

2P 2P x ysin cos

H/ 3

H 2P/ πH

H P/ 2H

x

y

B B

P 2πB

265

* Trong trường hợp có nhiều lực tập

trung như hình vẽ, để tính ứng suất tại 1

266

6.4 Bài tập

Bài 6.1

Hãy xác định ứng suất trong nêm có chiều dày δ =1 ,

góc ở đỉnh = 2α chịu tác dụng của lực tập trung P ở đỉnh

267

Bài 6.2

Hãy xác định ứng suất trong nêm như trên hình nếu có

mômen Mo tác dụng tại đỉnh nêm (hình 6.13) Chọn hàm

ứng suất dạng:

ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ trong đó A, B là các hằng số

Hình 6.13

M

r y

αα

268

Bài 6.3

Cho nêm chịu lực như hình 6.14 Hãy xác định trạng

thái ứng suất trong nêm γ=const (hình 6.14)

269

KẾT THÚC MÔN HỌC CHÚC CÁC BẠN THI TỐT!