Bài giảng cơ học chất chương 4 pgs ts lê song giang

Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất2.. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT 1/31.1 Phương trình Euler cho chuyển động của lưu chất lý tưởng 1757.. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG 1

Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT

1 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất

2 Phương trình năng lượng

3 Tích phân phương trình Euler

4 Phương trình Bernoulli cho dòng chảy của lưu chất thực

5 Phương trình biến thiên động lượng

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (1/3)

1.1 Phương trình Euler cho chuyển động của lưu chất lý tưởng (1757)

Lưu chất lý tưởng: =0  =0  sử dụng khái niệm áp suất thủy động tương tự áp suất thủy tĩnh:

x z

F

y

dx

dy dz

p p





 2

dx x

p p

.



dxdydz x

F dt

u d

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (2/3)

1.2 Phương trình Navier-Stokes cho lưu chất thực (1821-1845)

x

F dt

x

1

Pt định luật II Newton trên phương x => Pt Navier trên phương x

ij

l i

j j

i ij

ij

x

u x

u x

 xx yy zz 

p      3

1Trong đó p: áp suất thủy động, với:

x z

F

dx

dy dz

dz z

zx zx

y x

zx yx



Pgs.Ts

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C.ĐỘNG CỦA LƯU CHẤT (3/3)

Thay c.thức Stokes vào pt Navier => pt Navier-Stokes

u x

u x

z

u y

u x

u x

p F

2

2 2

2 2

2

grad

F dt

u z

u u y

u u x

u u t

u dt

u d

z y

Ẩn số: , p (và cả ρ nếu lưu chất nén được)u

Pgs.Ts

2 PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (1/3)

2.1 Phương trình vận tải năng lượng:

Định luật bảo toàn năng lượng (ĐL thứ nhất của nhiệt động lực học): Tốc độ biến thiên của năng lượng

phần của một hệ bằng tổng công suất cơ học và công suất của các dòng năng lượng khác mà hệ nhận đư

n V

V

dS q

dS u dV

u F dV

e

u dt

.2

S j

j j S

x

dS u n dS

 u   T

x

u F e

u dt

d

i ij j

2

2

Thay vào pt bảo toàn năng lượng, thu được pt vận tải năng lượng toàn phần:

Pgs.Ts

2 PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (2/3)

2.2 Phương trình vận tải động năng:

Nhân ptrình Navier trên phương i với ui:

x

F dt

i ij j

i i

i

x

u u

x

u F

u dt

i ij j

i

i i

x

u u

x

u F

u dt

22Làm phép tổng:

x

u T

2.3 Phương trình vận tải nội năng:

Trừ ptrình vận tải năng lượng cho ptrình vận tải nội năng:

Pgs.Ts

2 PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG (3/3)

2.4 Dịch chuyển năng lượng:

Phương trình vận tải động năng:

i ij j

i

i i

x

u u

x

u F

u dt

x

u T

Phương trình vận tải nội năng:

i

j i j

i ij

x

u p

x

u x

u x

u x

u G

2 2

3

22

Số hạng A: công suất của lực ma sát

Vì A > 0 => Ma sát luôn luôn lấy mất động năng của dòng chảy và cung cấp cho nhiệt độ

Không có chiều ngược lại

Pgs.Ts

VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ CỦA PT NAVIER-STOKES

Ví dụ: Dòng lưu chất nén được chuyển động bao quanh cách NACA

VÍ DỤ LỜI GIẢI SỐ CỦA PT NAVIER-STOKES

Ví dụ tính toán dòng lưu chất nén được bao quanh trụ tròn (Re=100)

Pgs.Ts

Ví dụ tính toán dòng tia lưu chất không nén được phun lên thành cứng (Re=6000)

u t

u 2  2 

2Phương trình Euler trong hệ tọa độ tự nhiên

0

22

p U

grad t



Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko:

Pgs.Ts

3 TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (2/7)

3.1 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn định, tphân dọc đường dòng

Lấy vi phân chiều dài đường dòng: d s



2

2Rút ra:



u p

z   

22

Trong trường trọng lực: U = - gz

(Ptrình Bernoulli)

0 2

s d

p U

grad s

d

n R

u s

u t

2

s

dNhân vô hướng với pt Euler:

Pgs.Ts

3 TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (3/7)

3.2 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn định, tphân theo phương vuông góc với đường dòng

Lấy vi phân chiều dài đường pháp tuyến với đường dòng: n d

n C

p U

grad n

d

n R

u s

u t

2

n

p U

d

dn R

Nhân vô hướng d n với pt Euler:

p U

 t

C g

u p z t

u p

p U

grad t



Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko:

Pgs.Ts

3 TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (5/7)

Ýnghĩa năng lượng của các số hạng tích phân từ pt Euler

Xét pt Bernoulli Các bước thiết lập :

 Phương trình Bernoulli là pt bảo toàn năng lượng

s d

p U

grad s

d

n R

u s

u t

2

02



2

2

(và nó không đổi trong chuyển động)



u p

→ Thế năng của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp tĩnh)

→ Động năng của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp vận tốc)

→ Năng lượng toàn phần của 1 đv trọng lượng l.chất (cột áp toàn phần)

Pgs.Ts

3 TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (6/7)

Ví dụ: Xác định vận tốc V của dòng chảy Biết nước dâng trong ống Pitôt một khoảng bằng h

Giải

Vẽ một đường dòng từ xa đi tới miệng ống Pitôt Đường dòng này kết thúc tại miệng ống (tại điểm dừngTrên đường dòng lấy thêm điểm ∞ ở khoảng cách đủ xa so với miệng ống để vận tốc tại đây khônghưởng bởi ống (khoảng 5-10 lần đường kính ống)

A

∞ V

z g

u p

22

2 2

Phân tích:

0

;

0

' '

A A

u V

u

h

p z

p z

p z

p z

V

2

3 TÍCH PHÂN PHƯƠNG TRÌNH EULER (7/7)

Ví dụ: Có một viên đạn đại bác hình cầu bay trong không khí

tĩnh với vận tốc V=100 m/s Hỏi áp suất tại đầu viên đạn

(điểm dừng A)?

Giải

g

u p

z g

u p

22

2 2

V u

p

g

V z

Đổi hệ quy chiếu: xem viên đạn là đứng yên => không khí

chuyển động ngược lại với vận tốc là V

Vẽ đường dòng từ xa đi tới điểm A Đường dòng kết thúc

tại đây

Pgs.Ts

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (1/7)

Xét dòng chảy ổn định của l.chất không nén được Trên dòng chảy

g

u p

z g

u p

z

22

2 2 2

2

2 1 1

1     





Lấy 1 đường dòng trong dòng chảy Nếu giả thiết lưu chất là lý

tưởng, ptrình Bernoulli cho đường dòng:

dQ h

dQ g

u p

z

dQ g

u p

2 2 2

2

2 1 1

1Xét 1 dòng chảy nguyên tố Năng lượng của nó biến đổi theo ptrình:

A A

A

dQ h

dQ g

u dQ

p z

dQ g

u dQ

p z

1

2 2 2

2

2 1 1

1Cho toàn bộ dòng chảy, năng lượng sẽ biến đổi theo ptrình:

f

h g

u p

z g

u p

22

2 2 2

2

2 1 1

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

B T

f

Ghi chú:

1 Điều kiện áp dụng pt Bernoulli cho dòng chảy:

- Pt Bernoulli áp dụng cho dòng chảy có

- Tại hai mcắt áp dụng pt, dòng chảy phải là biến đổi chậm;

- Trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt, không có nhập lưu hoặc tách lưu

2 Nếu trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt viết pt có turbine, máy bơm:

p z

V dQ

2 2

u A



Q h dQ

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (3/7)

Ví dụ: Nước chảy từ trong thùng ra ngoài theo đường ống gồm 2 đoạn như hình vẽ Cho biết d1=3cm, d2H=2m, h=1m Hỏi lưu lượng của dòng chảy trong ống và áp suất tại điểm A Bỏ qua tổn thất cột áp.Giải

Viết ptrình Bernoulli cho dòng chảy từ mặt

cắt 1-1 tới 2-2:

f

h g

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

s m gH

V2  2  2.9,81 2.2  6,26

s m

d V A

V

2 2 2

Q

V1

h

A 3

3

Viết ptrình Bernoulli cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 tới 3-3:

3 1

22

2 3 3

3

2 1 1

1       h f 

g

V p

z g

V p

d g

V h g

V h

p A

395,

12

2 3

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (4/7)

Ví dụ: Nước chảy trong kênh có mặt cắt ngang chữ nhật, đáy nằm ngang qua một cửa cống như hình vẽbiết bề rộng kênh b=10m, độ sâu tại mặt cắt co hẹp hc=1,0m và lưu lượng Q=100m3/s Hỏi độ sâukênh Bỏ qua ma sát

Giải

Viết ptrình Bernoulli cho dòng chảy từ

mặt cắt 1-1 tới c-c:

f c

c

g

V p

z g

V p

22

2 2

1 1

bH g

g

Q h

c c

Chuyển vế và lập thừa số chung (H-hc):

2 2

g

Q H

Thay số vào và giải pt bậc 2, được: H=5,96m

Pgs.Ts

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (5/7)

Ví dụ: Nước phun ra từ vòi với vận tốc V=30m/s, đường kính d=5cm và góc nghiêng α=60o Bỏ qua ảnhcủa không khí, hỏi tia nước bay lên tới độ cao H là bao nhiêu và đường kính tia nước tại độ cao đó?

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

H

2

2 2

2

1 

Rút ra:

2 V

V 

m s

m

s m g

V

81,9.2

30sin

2

0 2 2

2 2

2 2

2 1 2

1

D V

d V Q

0 cos

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (6/7)

Ví dụ: Nước từ thùng chảy ra ngoài theo ống có đường kính D Cho biết D=10cm, d=8cm và h=60cm B

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

Pt liên tục cũng cho

g

V d

D g

V h

22

2 2

4 2

2 2 2

2

2 3 3

z g

V p

4 PTRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẢY L.CHẤT THỰC (7/7)

Ví dụ: Nước chảy trong kênh ngang qua một đập tràn Kênh có mặt cắt ngang hình chữ nhật bề rộng bằngnằm ngang Cho biết b=10m, H=3m, t=0,5m, h=2,4m Bỏ qua tổn thất năng lượng, hỏi lưu lượng của kênhGiải

Ptrình Bernoulli cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 tới 2-2:

f

h g

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

m s

m m

m H

h

h t H g bh

2

3 4 , 2 1

4 , 2 5

, 0 3

/ 81 , 9 2 4

, 2

10 1

2

2

Q h

t bH

2

12

Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (1/7)

5.1 Phương trình biến thiên động lượng

Nguyên lý biến thiên động lượng: tốc độ biến thiên của động lượng của một hệ vật chất bằng vector

ngoại lực tác dụng lên hệ

R dV

u dt

u u

K 

Động lượng của lưu chất trong thể tích kiểm soát:

Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2/7)

5.2 Ptrình biến thiên Đlượng cho dchảy ổn định của lc không nén được

Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-2 Diện tích kiểm soát:

2

2 1

n A

n S

u u

Ptrình biến thiên động lượng:

u



Rút lại:

Q V dQ

u A

5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3/7)

Ví dụ: Nước chảy trong kênh có mặt cắt ngang chữ nhật, đáy nằm ngang qua một cửa cống như hình vẽbiết bề rộng kênh b=10m, độ sâu tại mặt cắt co hẹp hc=1,0m, lưu lượng Q=100m3/s và độ sâu củaH=5,96m Hỏi lực thủy động F tác dụng lên cửa cống Bỏ qua ma sát

Giải

H

hc1

F   c   c c Tính:

;68

,1

c

2

6 2

2

10.9,

kg N

N

F 1,740.106 4,9.104 1000 3.100 3 1,0.10,00 1,0.1,68 8,59.105

Pgs.Ts

5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4/7)

Ví dụ: Vòi nằm ngang được gắn vào một ống nước đường kính D như hình vẽ Biết D=10cm, d=8cm, p=0,5at Hỏi lực thủy động F tác dụng lên vòi Bỏ qua ma sát

Giải

p 1

V p

z g

V p

22

2 2 2

2

2 1 1

N D

d

p

10/81

/1000/

10.81,9.5,0.21

2

4

3 2

4 4

d V

N A

p

4

1,0.10

.81,9.5,0

2 2

4 1

p 1

1 Q V P

5 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (6/7)

Ví dụ: Một vòi phun một tia nước với tiết diện A, vận tốc V lên một cánh Sau khi đập vào cánh tia nước t

làm hai Cánh cũng có thể chuyển động với vận tốc là u Cho biết V=40m/s, A=10cm2, α=60o Bỏ qua ma

và ảnh hưởng của không khí 1/ Nếu u=0, hỏi Q2, Q3 và lực thủy động F tác dụng lên cánh? 2/ Nếu u=10m/s, hỏi F và công suất của cánh?

Giải

V, A

1

1 3

3 3 2

2

2 V Q V Q V Q

3 3 2

2

2 V Q V Q V Q

TTKSKết quả tính ở phần trước:

V1  

Công suất của cánh:

sin

.u F