Bài giảng cơ học chất chương 7 pgs ts lê song giang

MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT 4/4.

Chương 7 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG CÓ THẾ

1 Các khái niệm

2 Các chuyển động có thế phẳng cơ bản

3 Một số chuyển động được tạo bởi phép chồng chất

1 CÁC KHÁI NIỆM (1/5)

1.1 Chuyển động có thế

Đn: Cđộng của lưu chất được gọi là có thế khi tồn tại một hàm  sao cho:

 - hàm thế vận tốc; Đường cong (x,y) = const – Đường đẳng thế

Tính chất:

Phương trình:

 

 grad

u

  0 2

1



 rot u





0





x u

y

u x    ; y   

2 1

12  

q

0





1.2 Hàm dòng

Đn: Hàm (x,y) sao cho được gọi là hàm dòng

Đường cong (x,y) = const là đường dòng

• Tính chất:

• Phương trình:

q 12

ψ 1

Pgs.Ts

1 CÁC KHÁI NIỆM (2/5)

1.3 Hàm thế phức

Hàm dịng và hàm thế cĩ tính trực giao do:



























y y x

x

grad





x y u x y u x y

u

y x y

x y

x

y x y

x y

x

z f z f z

f

, ,

,

, ,

,

, ,

,

2 1

2 1

2 1

2 1



























 1.4 Tính chồng chất

 z  u x yiu x y  vận tốc phức

    u x y iu x y

dz

z df z

V   x ,  y , → vận tốc liên hợp với vận tốc phức

Các Đại lượng:

 z i

f   

=> mơ tả chuyển động cĩ thế bằng hàm thế phức:

Pgs.Ts

1 CÁC KHÁI NIỆM (3/5)

1.5 Phương trình Navier-Stokes dạng hàm xoáy – hàm dòng

Phương trình Navier-Stokes 2 chiều:

y

y y

y y

y x y

x x

x x

y

x x x

F y

u x

u y

p y

u u x

u u t

u

F y

u x

u x

p y

u u x

u u t

u









































































































2

2

2 2

2

2

2 2

1

1









Khi chuyển động là có thế:   0  (3) thỏa mãn tự động;

(4) thành pt Laplace cho hàm dòng

Dạng hàm xoáy – hàm dòng:



  



• Pt cho hàm dòng:

(4)

(1)

(2)









































2

2

2

2

y x

y

u x

u





































y

u x

u



( cùng đk: lực khối có thế). 3  2  1

y











• Pt cho hàm xoáy:

Pgs.Ts

1 CÁC KHÁI NIỆM (4/5)

Ví dụ: Cho hai thành phần vận tốc của một chuyển động 2 chiều có thế như sau:

Hãy xác định hàm thế của chuyển động

Giải

2 2

5 , 1 5

, 1

3

x y

u

xy u

y

x









0

2

0 1,5y dy C 0,5y C C

dy dy

dC y

 y C

dx





  

   u x dx C y  3xydxC y

 y C y

1,5 2



0

3 2

5 , 0 5

,

1 x y  y C



 Vậy:

dy

dC x

y





5 , 1 5

,

u dy

dC





Tìm hàm C(y):

Pgs.Ts

Ví dụ: Tính toán dòng thấm qua đập đất bằng pp Phần tử hữu hạn (TĐ Hàm thuận)

1 CÁC KHÁI NIỆM (5/5)









Pgs.Ts

2 CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (1/3)

2.1 Chuyển động thẳng đều

U 0 – vận tốc dòng chảy

 z U z

x

U0





y

U0





 













2

ln 2

ln 2

q

r q

z

q z

f







q Q

r0 r

R t

2.2 Điểm nguồn và giếng

q - lưu lượng đơn vị

Pgs.Ts

2 CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (2/3)

2.3 Xoáy tự do

u

ω

Cánh khuấy

2.4 Lưỡng cực

a

a z a

z aq

a z

q a

z

q

z

f

2

ln ln

2

2 ln

2

ln 2

























 r

z i

z f

ln 2 2

ln 2



























 - lưu số vận tố

ψ5 ψ4 ψ3 ψ2ψ1

=>

 

2 2

2 2

y x

y m

y x

x m

z

m z

f

















(m - moment lưỡng cự

=>

=>

Pgs.Ts













S C

C d

2 CÁC CHUYỂN ĐỘNG CÓ THẾ PHẲNG CƠ BẢN (3/3)

Ví dụ: Có một xoáy tự do có lưu số vận tốc  = 4π m2/s Xác định vận tốc và áp suất tại vị trí cách tâm xoá Biết áp suất ở xa tâm xoáy bằng 0

Giải:







2





Hàm thế của chuyển động:

ψ5 ψ4 ψ3 ψ2ψ1

Vận tốc của chuyển động:

r r

u

r

u r

1 2 1

0





























r

u u

2

2 2















Tại r=2m:

s

m m

s m

2

1 2









Áp dụng tích phân Lagrange cho điểm ở bán kính r=2m và điểm ở xa vô cực:

g

u p

z g

u p z

2 2

2 2





  











m s

m

s m g

u p

051 ,

0 81

, 9 2

0 , 1

2 2

















Pgs.Ts

3 MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (1/4)

3.1 Dòng bao bán vật

 













2

ln 2

ln 2

0 0 0

q y U

r

q x U

z

q z U z

f













Dòng bao bán vật = dòng thẳng đều + điểm nguồn)

ψ2=0

ψ2=1

ψ2=2

ψ2=3

ψ2=4

ψ2=5

ψ2=6

ψ2=-1

ψ2=-2

ψ2=-3

ψ2=-4

ψ2=-5

ψ2=-6

ψ1=0

ψ1=1

ψ1=2

ψ1=3

ψ1=4

ψ1

=-ψ1

=-ψ1

=-ψ1

=-ψ1=

ψ1=

ψ1=5

ψ1=6

ψ= ψ1+ ψ2=5

Pgs.Ts

 

a z

a z q

z U z

f







2

0



3 MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (2/4)

3.2 Dòng bao vật Rankine

(=dòng thẳng đều + điểm nguồn + điểm giếng)

3.3 Dòng bao trụ tròn

(=dòng thẳng đều + lưỡng cực)

 

















































2

2 0

2

2 0

2 0

1 sin

1 cos

r

R r

U

r

R r

U

z

R z U z

f









Alembert d'

lyù nghòch





Pgs.Ts

3 MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (3/4)

3.4 Dịng bao trụ trịn cĩ lưu số vận tốc

(dịng bao trụ trịn + xốy tự do)

i z

R z U z

2

2

0



























nâng lực









 P y U0

P y

Pgs.Ts

3 MỘT SỐ C.ĐỘNG ĐƯỢC TẠO BỞI PHÉP CHỒNG CHẤT (4/4)

Ví dụ: Có một trụ tròn chiều cao H, bán kính R quay tròn quanh trục của nó với

vận tốc ω Gió thổi ngang qua trụ với vận tốc là V Biết H=10m, R=1m,

ω=0,5v/s và V=6m/s Hỏi lực của gió tác dụng lên mặt trụ?

Giải:

R V

ω

H V

P   

Xem chuyển động của không khí là có thế Lực

tác dụng lên mặt trụ là lực nâng:

Xét chu vi khép kín là chu vi của mặt trụ, vận tốc của các phần tử không khí trên chu vi này:

R

u  

Lưu số vận tốc của chuyển động của không khí bị cuốn theo chuyển động quay của trụ:

2 2

2

u

C



 





Lực tác dụng lên mặt trụ:

H R V P

4 , 1454 10

1 6

2 5 , 0 228

, 1 2

2

2 3

2













Pgs.Ts