Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 7 pgs ts hoàng chí thành

CHƯƠNG CHU TRÌNH EULER VÀ CHU TRÌNH HAMILTON 1/55 NỘI DUNG Chu trình Euler Điều kiện tồn chu trình Euler Chu trình Hamilton\ Điều kiện tồn chu trình Hamilton 2/55 7.1 CHU TRÌNH EULER Bài tốn cầu Định nghĩa chu trình Euler Điều kiện tồn chu trình Euler vơ hướng Điều kiện tồn chu trình Euler có hướng Thuật tốn tìm chu trình Euler 3/55 BÀI TỐN CÂY CẦU  Sơng Pregel cù lao Kneiphof chia thành phố Konigsberg nước CH Litva thành vùng đất  cầu nối vùng đất B A D Pregel C 4/55 BÀI TỐN CÂY CẦU (tiếp) Bài tốn: Liệu qua cầu, cầu lần, quay chỗ xuất phát hay khơng? Bài tốn làm say mê cư dân thành phố Họ háo hức thử không thành cơng 5/55 BÀI TỐN CÂY CẦU (tiếp) Năm 1736, L.Euler chứng minh tốn khơng giải Từ toán đưa đến khái niệm đường chu trình Euler 6/55 BÀI TỐN CÂY CẦU (tiếp) Biểu diễn vùng đất đỉnh đa đồ thị vô hướng, hai đỉnh có cạnh nối có cầu nối tương ứng Bài tốn đưa việc tìm chu trình đồ thị qua cạnh đồ thị lần b a d c 7/55 ĐƯỜNG VÀ CHU TRÌNH EULER Định nghĩa 7.1 - Đường Euler đa đồ thị đường qua cạnh đồ thị lần - Chu trình Euler đa đồ thị đường qua cạnh đồ thị lần 8/55 VÍ DỤ 7.1 a b e 10 d c Chu trình Euler: E = [1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 6, 7] 9/55 7.2 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH EULER VƠ HƯỚNG Định lý 7.1 Đa đồ thị G có chu trình vơ hướng Euler đỉnh có bậc chẵn 10/55 TÍNH CHẤT HAMILTON TRONG LỚP ĐỒ THỊ CĨ ĐỒ THỊ RIÊNG BẬC (tiếp) Chứng minh hệ quả: Giả sử H = < a , , b > đường Hamilton G Nếu G có cạnh (b,a) G có chu trình Hamilton, đó, theo hệ 7.8, d = Nếu khơng có cạnh (b,a):  Thêm cạnh (b,a) vào G, nhận đồ thị G’  G’ có d’ =  d  d' +1, thêm cạnh mà không thêm đỉnh Suy d  Suy ra: Nếu d  G khơng có đường Hamilton 17/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON Bổ đề 7.1 Giả sử đồ thị G có đường đơn vô hướng cực đại < a0 , a1 , , aq > r(a0) + r(aq)  q +1 Thế thì, G’ tạo tập đỉnh {a0, a1, , aq} có chu trình vơ hướng Hamilton 18/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Ký hiệu r'(a) bậc đỉnh a G’ Vì < a0 , a1 , , aq > đường đơn cực đại nên r'(a0) = r(a0) r'(aq) = r(aq) Giả sử a0 kề với k đỉnh đường là: a1 , ai2 , , aik ( r(a0) = k ) - Nếu a0 kề với aq G’ có chu trình vơ hướng Hamilton 19/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: - Nếu aq không kề với đỉnh a0 , ai2-1 , , aik-1 r(aq)  q - k Do đó: r(a0) + r(aq)  q, trái với giả thiết Vậy tồn đỉnh ai-1 cho a0 kề với aq kề với ai-1 Khi [a0 , , , aq , ai-1, , a0] chu trình vơ hướng G’ 20/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Bổ đề 7.2 Giả sử G đồ thị liên thông đỉnh đường đơn vô hướng dài G tạo nên đồ thị G’có chu trình Hamilton H Khi đó, H chu trình Hamilton G 21/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Chứng minh đồ thị G’ đồ thị G Phản chứng: Giả sử tồn đỉnh a G a  G’ - Do G liên thông nên tồn đường vô hướng D = < b = a0 , a1 , , a > G - b  G’ a  G’, tồn đỉnh D không thuộc G’ 22/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh bổ đề: Xây dựng đường D’: Bỏ khỏi chu trình Hamilton H cạnh kề với ai-1 thêm vào cạnh (ai-1, ai) Đường D’ có độ dài số đỉnh G’ Mặt khác, đường đơn dài G có độ dài số đỉnh G’ trừ Suy mâu thuẫn Vậy đồ thị G’ đồ thị G 23/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Định lý 7.5 Giả sử đồ thị G có n đỉnh 1) Nếu  a, b  V, r(a) + r(b)  n-1 G có đường vơ hướng Hamilton 2) Nếu  a, b  V, r(a) + r(b)  n G có chu trình vơ hướng Hamilton 24/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 1) Giả sử D = < x0 , , xq > đường đơn vô hướng dài G - Nếu q = n-1 D đường Hamilton G - Nếu q  n-2 r(x0) + r(xq)  n-1  q +1 Theo Bổ đề 7.10 , đồ thị G’ tạo tập đỉnh {x0 , , xq} có chu trình vô hướng Hamilton H = [y0 , y1 , , yq] 25/55 7.6 ĐIỀUKIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: Vì q  n-2 nên có đỉnh y G nằm ngồi chu trình H Suy ra, y nối với yj đường đơn vơ hướng Từ đó: < y, , yj, yj-1, , y0, yq, , yj+2, yj+1 > đường đơn vơ hướng có độ dài lớn q+1 Mâu thuẫn với tính cực đại đường < x0 , , xq > Do đó: q = n -1 Đồ thị G ln có đường vơ hướng Hamilton 26/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Chứng minh định lý: 2) Theo 1) đồ thị G có đường đơn vô hướng dài chứa n đỉnh < y0 , y1 , , yn-1 > Mặt khác, r(y0) + r(yn-1)  n = (n-1) +1 Theo Bổ đề 7.10, đồ thị G’ sinh tập đỉnh {y0 , y1 , , yn-1} có chu trình vơ hướng Hamilton, G có chu trình vơ hướng Hamilton 27/55 VÍ DỤ 7.7 Xét đồ thị có hướng: a b c d Đồ thị thỏa mãn điều kiện 2), có chu trình vơ hướng Hamilton Nếu bỏ cạnh (c,d) điều kiện 1) thỏa mãn, điều kiên 2) không thỏa mãn, đồ thị có đường vơ hướng Hamilton 28/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Hệ 7.5 (Dirac) Nếu  a  V, r(a)  (n/2) đồ thị G có chu trình vơ hướng Hamilton Chứng minh: Suy từ phần 2) Định lý 7.5 29/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp)  Nhận xét: Đồ thị có đỉnh bậc ≤ khơng có chu trình Hamilton Nếu đồ thị có đỉnh có bậc  có đỉnh bậc chu trình Hamilton (nếu có) phải qua cạnh kề đỉnh Nếu đồ thị có đỉnh kề với đỉnh bậc khơng có chu trình Hamilton 30/55 7.6 ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI CHU TRÌNH HAMILTON (tiếp) Nếu đỉnh a có đỉnh kề bậc b c cạnh (a, x), x  {b,c} khơng thuộc chu trình Hamilton Đồ thị có đường vơ hướng < a1 , a2, , ak >, với k < n đỉnh đường (trừ a1 ak) có bậc khơng có chu trình Hamilton qua cạnh (a1, ak) Đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) với |V1|  |V2| khơng có chu trình Hamilton 31/55