Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 6 Bài toán phẳng trong tọa độ descartes cung cấp cho người học những kiến thức như: Hai trường hợp của bài toán phẳng; Bài toán ứng suất phẳng; Bài toán biến dạng phẳng; So sánh và kết luận chung; Các phương trình cơ bản trong bài toán phẳng; Phép giả bài toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy;...Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục CHƯƠNG – BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES 6.1 HAI TRƯỜNG HỢP CỦA BÀI TỐN PHẲNG I Khái niệm : Trong nhiều tốn kỹ thuật, vật thể chịu lực gây nên biến dạng hay ứng suất mặt phẳng (Mặt phẳng qui ước mặt phẳng oxy) Các toán gọi toán phẳng Bài toán phẳng chia loại : Bài toán ứng suất phẳng : Nếu tồn ứng suất mặt phẳng xoy 2.Bài toán biến dạng phẳng : Nếu tồn biến dạng mặt phẳng xoy Hai toán khác mặt vật lý song giống mặt toán học Giải toán phẳng mặt toán học đơn giản nhiều so với tốn khơng gian CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục II Bài toán ứng suất phẳng : Xét mặt phẳng, ví dụ tường, đĩa mỏng chịu lực phân bố bề dày song song với mặt trung bình hình vẽ Ta nhận thấy mặt bên khơng có tải trọng, ứng suất theo bề dày Do điều kiện toán : σz = Txz = Tyz = (a) Mặt khác, biến dạng dài theo phương bề dày tự nên : εz ≠ (b) Các điều kiện (a), (b) định nghĩa toán ứng suất phẳng Ân số tốn gồm có: CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Các ứng suất : σx, σy, Txy Các biến dạng : εx, εy, γxy, εz ≠ Theo định luật Hooke, từ (a) ta có : γxz =γyz = ; εy = (σy - µσx) εx = (σx - µσy) ; εz =- (σx + σy) γxy = Txy = (c) Từ biểu thức (c) ta có biến dạng tính theo ẩn số ứng suất σx, σy, Txy với E, µ số đàn hồi vật liệu III Bài toán biến dạng phẳng : Khi tính vật thể hình lăng trụ, có chiều dài lớn chịu tải trọng khơng đổi theo chiều dài, ví dụ đập chắn, tường chịu áp lực, đường ống dẫn, vỏ hầm ta thường xét đoạn vật thể có chiều dài đơn vị CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục Như thế, toán vật thể lăng trụ trở thành toán phẳng biểu diễn hình vẽ sau : Nhận xét bị kẹp chiều dài vật thể nên có biến dạng dài theo phương bề dày z, mặt bên chịu áp lực pháp tuyến theo phương z Do đó, điều kiện toán trường hợp xét : εz = γxz = γyz = (d) σz ≠ (e) Các điều kiện (d), (e) định nghĩa toán biến dạng phẳng Ẩn số tốn gồm có: Các ứng suất : σx, σy, Txy, σz≠0 Các biến dạng : εx, εy, γxy Theo định luật Hooke, từ (d) ta có : - Các ứng suất tiếp Txz = Tyz = CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục - Cịn ứng suất pháp σz tìm từ biểu thức εz = εz = =0 Vậy σy = µ(σx + σy) Quan hệ ứng suất biến dạng : εx = = εx = Tương tự εy = γxy = Đặt (*) Txy E1 = ; (*)⇔ εx = (σx - µ1σy) ; εy = (σy - µ1σx) ; γxy = Txy = µ1 = (g) (f) Txy CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục IV So sánh kết luận chung : Trong toán phẳng, ẩn số ứng suất biến dạng : σx, σy, Txy, εx, εy, γxy → Những ứng suất hay biến dạng lại biểu diễn qua ẩn số Quan hệ ứng suất hay biến dạng theo (c) hay (f) hoàn toàn tương tự nhau, khác thể chỗ : - Trong toán ứng suất phẳng ta dùng số đàn hồi E, µ cịn tốn biến dạng phẳng ta dùng số đàn hồi E1, µ1 theo cách đặt (g) Do giống mặt toán học nên phép giải tốn hồn tồn 6.2 Các phương trình tốn phẳng Về mặt tĩnh học : Phương trình cân Cauchy : + fx = + fy = (6.1) CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục Về mặt hình học : Phương trình biến dạng Cauchy : εx = ; εy = ; γxy = + (6.2) Các biến dạng phải thỏa mãn điều kiện liên tục biến dạng, tốn phẳng điều kiện cịn phương trình : (6.3) Về mặt vật lý : Phương trình định luật Hooke a Biểu thức biến dạng qua ứng suất : εx = (σx - µσy) εy = (σy - µσx) γxy = Txy (6.4) CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục b Biểu thức ứng suất qua biến dạng : σx = (εx+ µεy) σy = (εy+ µεx) Txy = (6.5) γxy Nếu giải toán biến dạng phẳng, cần thay E, µ E1, µ1 Hệ tám phương trình độc lập trên, chứa ẩn số ba ứng suất, ba biến dạng hai chuyển vị hệ khép kín, cho phép ta giải toán Các điều kiện biên : a Điều kiện biên tĩnh học : σxl + Tyxm = Txyl + σym = (6.6) b Điều kiện biên động học : Trên bề mặt S vật thể cho trước chuyển vị uo , vo hay đạo hàm chuyển vị theo biến số tọa độ Nghiệm chuyển vị toán phải thỏa mãn điều kiện : us = uo ; vs= vo CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục 6.3 Phép giả toán theo ứng suất – hàm ứng suất Airy I Phép giải theo ứng suất : - Chọn ẩn số ứng suất : σx, σy, Txy Các ứng suất phải thỏa mãn phương trình cân (6.1) = - fx = - fy Nghiệm (6.1) tổng nghiệm tổng quát phương trình (6.8) =0 =0 (6.8) nghiệm riêng phương trình (6.9) = - fx = - fy (6.9) CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục - Nghiệm riêng phương trình (6.8) tìm khơng khó khăn, phụ thuộc vào dạng cụ thể lực thể tích Ví dụ nghiệm riêng lấy : * σx = ; σy = ; Txy = -Px fx = ; fy = P = số * σx = + bx ; σy = Txy = fx = ax + b ; fy = * σx = ; σy = -a ; Txy = fx = axy , fy = II Hàm ứng suất Airy : Để giải hệ (6.1) ta đưa hàm ẩn gọi hàm ứng suất Airy Xét hệ phương trình phương trình vi phân (6.8): CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục 6.7.4 Phương trình lưỡng điều hịa sai phân Sau đơn giản ta (6-34) Các ứng suất điểm O xác định theo công thức: (6-35) 6.7.5 Giá trị đạo hàm biên Để xác định giá trị hàm biên ta xét phân tố ds theo biên có pháp tuyến v(l,m) chịu tải trọng (như hình vẽ) CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục Ta có: l=cos(v,x)=-dy/ds m=cos(v,y)=dx/ds Sau biến đổi ta có cơng thức cuối cùng: (6-36) 6.7.6 Giá trị hàm điểm biên 1) Đối với điểm biên chu tuyến Ta có suy ra: (6-37a) 2) Đối với điểm biên chu tuyến Ta có suy ra: (6-37b) CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục 3) Đối với điểm bên trái biên chu tuyến Ta có suy ra: (6-37c) 4) Đối với điểm bên phải biên chu tuyến Ta có suy ra: (6-37d) * Chú ý: - Trên giới thiệu dạng lưới đơn giản Trong nhiều bào toán khác nha, tùy theo hình dạng vật thể mà người ta dung lưới tam giác, lục giác,… - Để nghiệm phương pháp sai phân hữu hạn thu xác người ta chia lưới dày Khi số phương trình thu nhiều Tuy nhien khó khăn giải dễ dàng máy tính điện tử CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục Ví dụ : Xác định ứng suất điểm K lưới hình vng chịu tải trọng hình vẽ phương pháp lưới: Bài giải : Ta chi lưới hình vng với bước lưới ∆x = ∆y=a Do tính chất đối xứng tốn nên ta xét nửa đánh số nút lưới hình vẽ Chọn điểm gốc A trùng với điểm nút Phương trình sai phân điểm nút K : 20ϕk - 8(ϕ1 + ϕ5 +ϕ3 ) +2(2ϕ2 +2ϕ4)+ϕ6 +2ϕ7 +ϕ8 =0(1) giá trị hàm ϕ đạo hàm điểm biên ghi lại bảng giá trị hàm ϕ điểm biên ϕ6 = ϕk- 2a ∂ϕ (1) =ϕk ∂y ϕ7 = ϕk + 2a ϕ8 = ϕk+ 2a ∂ϕ (3) = ϕk + 2qa2 ∂x ∂ϕ (5) = ϕk ∂y CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục ∂ϕ = ΣFy ∂x ∂ϕ = -ΣFx ∂y ϕ = ΣMB qa qa qa 0 0 0 qa qa -3qa2 qa Thay giá trị vào phương trình (1) ta : 2 2 qa 3qa qa qa 20ϕ k - 8(0 -2 + ) +2(-2 -2 )+ϕ k +(2ϕ k+ 2qa2) +ϕ k =0 8 8 Hay : 24ϕ k - qa2 -qa2 + 4qa2 =0 Suy : ϕ k = - qa ~ -0,083qa2 12 CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Ứng suất điểm K là: 3qa qa − + − 11 ∂ 2ϕ ( ϕ − 2ϕ K + ϕ1 ) 12 = σ x (K ) = = = q ≈ 0,458q 2 ∂y a a 24 σ y (K ) = ∂ 2ϕ ( ϕ − 2ϕ K + ϕ ) = ∂x a2 qa qa qa − − − − 12 = − q ≈ 0,083q = a 12 ∂ 2ϕ ( ϕ − ϕ + ϕ − ϕ ) τ xy ( K ) = − = =0 ∂x∂y a2 CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục 6.8 Giải toán theo phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phương pháp số đặc biệt có hiệu để tìm dạng gần hàm chưa biết miền xác định V Tuy nhiên, phương pháp PTHH khơng tìm dạng xấp xỉ hàm cần tìm toàn miền V mà miền V e (phần tử thứ e) thuộc miền xác định V Do phương pháp thích hợp với hàng loạt tốn vật lí kĩ thuật, miền cần tìm xác định miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính vật lí, hình học khác nhau, chịu điều kiện biên khác Sự đời phát triển phương pháp PTHH đáp ứng đòi hỏi việc giải toán thiết kế kết cấu phức tạp lĩnh vực hàng khơng, hàng hải, khai thác dầu khí, lĩnh vực xây dựng Trong phương pháp PTHH, miền V chia thành số hữu hạn miền Ve, gọi phần tử (PT) Các PT nối với điểm định trước thường đỉnh PT (thậm trí điểm biên PT) gọi nút Trong phạm vi PT, đại lượng cần tìm lấy xấp xỉ dạng hàm đơn giản gọi hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ biểu diễn qua giá trị hàm giá trị đạo hàm điểm nút PT Các giá trị gọi bậc tự PT xem ẩn số cần tìm tốn CHƯƠNG VI-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Với toán học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí hàm xấp xỉ phân tích tốn theo loại mơ hình sau: Mơ hình chuyển vị: Xem chuyển vị đại lượng cần tìm hàm xấp xỉ biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị PT Mơ hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần dạng phân bố ứng suất hay nội lực PT Mơ hình hỗn hợp: Coi đại lượng chuyển vị ứng suất yếu tố độc lập riêng biệt Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần dạng phân bố chuyển vị lẫn ứng suất PT Trong phạm vi sách đề cập tới nội dung phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị ứng dụng vào tính tốn hệ phẳng với vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi tuyến tính Trong phần lý thuyết lấy ví dụ tốn với hệ phẳng CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học mơi trường liên tục • Nội dung phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị Trong phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị, thành phần chuyển vị xem đại lượng cần tìm Chuyển vị lấy xấp xỉ dạng hàm đơn giản gọi hàm xấp xỉ (hay gọi hàm chuyển vị) Trình tự phân tích tốn theo phương pháp PTHH - mơ hình chuyển vị gồm bước sau: Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát V chia thành miền V e hay cịn gọi PT có hình dạng hình học thích hợp Các PT coi liên kết với nút nằm đỉnh hay biên PT Số nút PT không lấy tuỳ tiện mà phụ thuộc vào hàm chuyển vị định chọn Chọn hàm chuyển vị Giả thiết hàm chuyển vị cho đơn giản việc tính tốn phải thoả mãn điều kiện hội tụ Thường chọn dạng hàm đa thức Biểu diễn hàm chuyển vị theo tập hợp giá trị thành phần chuyển vị đạo hàm nút PT {δ}e Tập hợp hàm chuyển vị xây dựng nên trường chuyển vị xác định trạng thái chuyển vị bên PT theo thành phần chuyển vị nút Từ trường chuyển vị xác định trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất bên PT theo giá trị thành phần chuyển vị nút PT CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Xây dựng phương trình cân PT, thiết lập ma trận độ cứng [K]e vectơ tải trọng nút {F}e PTthứ e Dựa vào ngun lí dừng tồn phần, xây dựng phương trình cân PT, biểu diễn dạng sau: (6.38) đó: {F}e- vectơ tải trọng nút PT thứ e xét hệ toạ độ riêng (HTĐR); {δ}e - vectơ chuyển vị nút PT thứ e xét HTĐR; [K]e - ma trận độ cứng PT thứ e xét HTĐR Ghép nối PT xây dựng phương trình cân tồn hệ Trên sở mơ hình chuyển vị, ghép nối PT thu phương trình cân toàn hệ, biểu diễn dạng: (6.39) đó: {F’}- vectơ tải trọng nút tồn hệ hệ toạ độ chung (HTĐC); {δ’} - vectơ chuyển vị nút toàn hệ HTĐC; [K’] - ma trận độ cứng toàn hệ HTĐC Khi ghép nối cần lưu ý xếp vị trí thành phần [K] e {F}e vào [K’] {F’} Lúc có tượng lặp số nút Trong hệ phương trình (6.39) khử trùng lặp CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Để giải hệ phương trình (6.39), định thức ma trận [K’] cần phải khác (det [K’] khác 0), tức phương trình khơng suy biến Với tốn kết cấu, điều đạt điều kiện biên thoả mãn (kết cấu phải bất biến hình) Đó điều kiện cho trước số chuyển vị nút hay giá trị xác định Sau đưa điều kiện biên vào, phương trình cân biểu diễn sau: [K*]{δ*} ={F*} (6.40) đó: {F*}- xây dựng từ {F’}sau loại bỏ hàng tương ứng với thành phần chuyển vị 0; {δ*}- xây dựng từ {δ’}sau loại bỏ thành phần chuyển vị 0; [K*] - xây dựng từ [K’] sau loại bỏ hàng cột tương ứng với thành phần chuyển vị Giải hệ phương trình cân Với tốn tuyến tính, việc giải hệ phương trình đại số khơng khó Kết tìm chuyển vị nút {δ*} = [K*]-1{F*} (6.41) CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Xác định nội lực, ứng suất, biến dạng Từ kết thu được, kết hợp với điều kiện biên xác định vectơ chuyển vị nút PT HTĐR Từ xác định nội lực, biến dạng, ứng suất điểm PT nhờ quan hệ có Cơ học kết cấu Lí thuyết đàn hồi CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Bài tập Chương VI Bài 6.1 Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia a, Hãy xác định ứng suất điểm K hình Bài 6.2 Cho hình chữ nhật có bề dày đơn vị chịu nén áp lực q hình vẽ, biết: Chuyển vị thao phương z vng góc với mặt phẳng không.Các chuyển vị mặt phẳng là: v (1 + v ) q ( − v )q u= x; v = − y E E CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục Y q Hãy kiểm tra điều kiện biên toán? H X Bài 6.3 Xét tường chắng đất có trọng lượng riêng p, chịu tác dụng lực hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất tường Chọn hàm ứng suất đa thức bậc ba: ϕ ( x, y ) = ax + bx y + cxy + dy với a, b, c, d số x O α h q=γh y CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục HẾT CHƯƠNG VI ... dạo hàm cấp là: ( 6- 29) CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục 6. 7.2 Đạo hàm sai phân cấp cao Đại hàm cấp n lấy gần là: ( 6- 30) Đạo hàm cấp 2,4 điểm i: ( 6- 31)... + α) = - sinα = m = cos(n, y) = cosβ = (6. 15) ⇔ =- =- - (6. 17) + = Lấy điểm so chu tuyến làm gốc : (6. 17) ⇔ (6. 18) CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên tục... 20ϕ k - 8(0 -2 + ) +2 (-2 -2 )+ϕ k +(2ϕ k+ 2qa2) +ϕ k =0 8 8 Hay : 24ϕ k - qa2 -qa2 + 4qa2 =0 Suy : ϕ k = - qa ~ -0 ,083qa2 12 CHƯƠNG VI-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ DESCARTES Cơ học môi trường liên