Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 3 Lý thuyết về ứng suất cung cấp cho người học những kiến thức như: Định luật đối ứng của ứng suất tiếp; Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân bằng của phân tố loại 2); Ứng suất trên mặt cắt nghiêng; Trạng thái ứng suất và ten xơ ứng suất;... Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT 3.1 ĐỊNH NGHĨA Nội lực: Là độ tăng liên kết phần tử vật chất vật thể có ngoại lực tác dụng (Hình 3-1) ∆P Ứng suất trung bình K: ptb = ∆A Ứng suất điểm K: pv = lim ∆A→0 (3-1) ∆P ∆A (3-2) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học mơi trường liên tục Ta phân ứng suất toàn phần theo phương hệ trục tọa độ xi pv = pv1.e1 + pv e2 + pv e3 pv = ( pv1 ) + ( pv ) + ( pv3 ) (3-3) Thông thường tai lấy trục tọa độ trùng với phương pháp tuyến mặt cắt ứng suất toàn phần là: pv = pvv + pvn pv = ( pvv ) + ( pvn ) Ứng suất điểm phụ thuộc vào: + Tọa độ điểm + Phương pháp tuyến mặt cắt (3-4) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Như mặt vng góc với trục tọa độ điểm M ta có thành phần ứng suất : thành phần ứng suất pháp σx , σy , σz thành phần ứng suất tiếp τyz , τzy ,τxy , τyx , τxz ,τzx Qui ước chiều dương ứng suất khi: - Đối với ứng suất pháp : Quy ước dương hướng theo pháp tuyến mặt cắt - Đối với ứng suất tiếp : Quy ước dương pháp tuyến mặt cắt ( số thứ 2) hướng theo chiều dương hay chiều âm trục tương ứng Ngược lại quy ước âm Hệ thống kí hiêu ứng st Ngồi cách kí hiệu nêu (Bảng A) , người ta dùng kí hiệu hệ trục x,y,z sau: Xx = σx , Xx = σy , Zz = σz , Yz = τyz ,….(bảng B) hệ thống kí hiệu ứng suất với kí tự σ kèm số tương ứng với hệ trục (xi) sau : σ11, σ22 , σ33 , σ12 ,…(bảng C ) �� ൞��� ��� ��� �� ��� Bảng A ��� ��� ൩ �� � ൞�� �� �� �� �� Bảng B �� �� ൞ �� �11 ൞�12 �13 �21 �22 �23 Bảng C �31 �32 ൩ �33 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG 3.2.1 Đặt vấn đề: Cho vật thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng ngoại lực gồm: Lực bề mặt (là lực phân bố diện tích) có cường độ f * với hình chiếu lên trục toạ độ x1 , x2 , x3 : f*i ( f *1 , f *2 , f *3 ) Lực thể tích lực phân bố thể tích vật thể, có cường độ f với hình chiếu lên trục tọa độ x1, x2, x3 f1, f2 , f3 - Chia nhỏ vật thể thành phân tố mặt song song mặt phẳng toạ độ, nhận phân tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại - nằm bên S) phân tố hình tứ diện (phân tố loại - nằm sát mặt ngồi S) (Hình 3-2) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Tại điểm M(x,y,z) ta lấy phân tố hình hộp có cạnh dx,dy,dz Lực tác dụng lên phân tố gồm: Ngoại lực thể tích có hình chiếu trục tọa độ : X.dτ, Y.dτ ; Z.dτ Nội lực ứng suất mặt phân tố Các ứng suất hàm số liên tục tọa độ điểm M(x,y,z) biểu diễn hình Ở mặt phân tố vng góc với trục x qua điểm (x+dx; y,z) ta có ứng suất : ∂σx ∂τyx ∂τzx σx + ∂x dx , τyx + ∂x dx ; τzx + ∂x dx Ở mặt phân tố vng góc với trục y qua điểm (x; y+ dy,z) ta có ứng suất τxy + ∂τxydy ; σy + ∂σydy ; τzy + ∂τzy dy ∂y ∂y ∂y CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Ở mặt phân tố vng góc với trục z qua điểm (x; y,z+ dz) ta có ứng suất : τxz + ∂τxz dz ; τzy + ∂τzy dz ; ∂z ∂z σz + ∂σzdz ∂z (Hình 3-3) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Xét cân phân tố Chẳng hạn phương trình chiếu lên trục x là: ΣX = (σx + ∂σxdx )dydz - σx dydz+(τxy + ∂τxydy )dxdz-τxy dxdz +(τxz + ∂τxz ∂x ∂y ∂z dz )dxdy-τxzdxdy + Xdxdydz =0 Sau rút gọn chia cho dτ = dxdydz ta : ��� ���� ���� �2� ەەەەەۓ+ + + � = 0(= � ) �� �� �� �� ۖ ۖ ���� ��� ���� �2 � + + + � = 0(= � ) (3-5) �� �� �� �� ەە۔ ۖ �� �� �� � � �� �� � ۖ + + + � = 0(= � ) �� ەەە �� �� �� Trong trường hợp cân tĩnh : vế phải phương trình khơng Trong trường hợp cân động ; vế phải phương trình lượng ngoặc u,v,w thành phần chuyển vị điểm M theo phương ,y,z, phương trình gọi phương trình cân Navier-Cauchy CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 3.2.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp Ta viết phương trình cân mơ men phân tố, chẳng hạn phương trình Σmx =0 ta : Σmx = (τyz dydz)dx -(τzy dxdy)dz =0 ��� = ��� Suy : τyz = τzy ൞��� = ��� (3-6) Tương tự ta có: ��� = ��� Hệ thức biểu thị định luật đối ứng ứng suất tiếp 3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện cân phân tố loại 2) (Hình 3-4) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngồi ν với cosin phương li = cos(ν, xi) Xét cân phân tố tứ diện, phương trình tổng hình chiếu lực tác dụng lên trục tọa độ σ 11l1 + σ 12l2 + σ 13l3 = f1* * σ l + σ l + σ l = f 21 22 23 σ l + σ l + σ l = f * 32 33 3 31 (3-7) Cơ học: Hệ phương trình (3.5) (3.7) điều kiện cân tồn thể mơi trường Tốn học: Hệ (3.5) hệ phương trình vi phân với ẩn số ứng suất, (3.7) điều kiện biên để xác định số tích phân phương trình vi phân 3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGHIÊNG Cân phân tố tứ diện hình 3-4, khác mặt cắt nghiêng có thành phần ứng suất pν1 , pν2 , pν3 Pháp tuyến ν mặt cắt nghiêng có cosin phương li CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học mơi trường liên tục 3.3.1.Ứng suất tồn phần σ 11l1 + σ 12l2 + σ 13l13 = pv1 σ 21l1 + σ 22l2 + σ 23l3 = pv σ l + σ l + σ l = p 32 33 v3 31 (3-8) Hay viết dạng ma trận: (Hình 3-5) pv1 σ 11 σ 12 σ 13 l1 l p = σ σ σ 22 23 v 21 pv σ 31 σ 32 σ 33 l3 Ứng suất toàn phần: pv = (3-9) (p ) +(p ) +(p ) v1 v2 v3 (3-10) CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Điều kiện để (3.18) nghiệm tầm thường là: �� − � ��� ��� �� − � ��� อ= ȁ� ȁ = อ ��� ��� ��� �� − � (3-19) khai triển (2.19) ta phương trình bậc ứng suất σ : σ3 - I1σ2 +I2σ -I3=0 (3-20) Trong : I1 = (σx + σy + σz ) �� �2 = ൞� �� �� �3 = อ��� ��� ��� �� �� ൞+ ൞��� ��� �� ��� ��� ��� อ �� ��� �� ൞+ ൞ �� ��� ��� �� ൞ (3-21) Cơ học môi trường liên tục Phương trình (3.20) ln có ba nghiệm ứng suất chính, theo qui ước σ1 > σ2 > σ3 Lần lượt thay ứng suất vào hai ba phương trình (3.17), kết hợp với phương trình (3.18) ta nhận cosin phương ứng suất tương ứng Chẳng hạn để tìm phương tương ứng với ứng suất σ1 ta phải giải hệ phương trình sau: ൞�� − �1 ൞ � + ��� � + ��� � = ൞��� � + ൫ �� − �1 ൯ � + ��� � = � + � + �2 = (3-22) Giải hệ (3-22) l,m,n ta giá trị : l1 , m1 , n1 cô sin phương phương thứ tương ứng với ứng suất chinh σ1 Chú ý : *Người ta chứng minh mặt điêm xét vng góc với * Ba hàm (S,H,A) không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tọa độ Người ta gọi hàm bất biến ten xơ ứng suất CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục VD 3-1- Tìm ứng suất phương trạng thái ứng suất cho tenxo �� = ൭2 Bài giải: 2 2൞ (KN/cm ) Tính hệ số I1, I2 , I3 ەەەەەۓ � ۖ�2 = ൞ � ��� ەە۔ ۖ ەەە �1= �� + �� + �� ��� �� ��� �� ൞+ ൞ ൞+ ൞ �� ��� �� ��� �� ��� ��� �3= อ��� �� ��� อ ��� ��� �� Xác định ứng suất Phương trình xác địn ứng suất là: σ3 - 8σ2 + 7σ + 24 = (a) ��� �� ൞ CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Nghiệm (a) : σ1 = 6,275 kN/cm2 ; σ2 = 3,0kN/cm2 ; σ3 = 1,275 kN/cm2 Xác định phương ứng suất Phương trình thứ ( tương ứng với σ1 = 6,275 kN/cm2) Thay σ1 vào hai phương trình đầu (3-17) kết hợp với (3-18) ta có : ൞4 − 6,275൞ � + � + � = ൞2 � + ൞0 − 6,275൞ � + � = � + �2 + �2 = hay −2,275 � + � + � = ൞ � − 6,275 � + � = � + �2 + �2 = CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học mơi trường liên tục Giải hệ phương trình (b) ta : l1 = ± 0,645 ; m1 = ± 0,411 ; n1 = ± 0,645 Phương thứ hai ( tương ứng với σ2 = 3,0 kN/cm2) Thay σ2 vào hai phương trình đầu (3-17) kết hợp với (3-18) ta có : ൞4 − 3൞ � + � + � = ൞2 � + ൞0 − 3൞ � + � = � + �2 + �2 = hay � + � + � = ൞2 � − � + � = � + �2 + �2 = Giải hệ phương trình (b) ta : l2 = ± 0,707 ; m2 = ± 0,000 ; n2 = ± 0,707 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Phương thứ tương ứng với σ3 = -1,275 kN/cm2 Thay σ3 vào hai phương trình đầu (2.11) kết hợp với (2.12) ta có : ൞4 + 1,275 ൞ � + � + � = 5,275 � + � + � = ൞2 � + ൞0 + 1,275 ൞ � + � = hay ൞2 � + 1,275 � + � = (b) � + �2 + �2 = � + �2 + �2 = Giải hệ phương trình (b) ta : l3= ± 0,291 ; m3 = ± 0,911 ; n3 =± 0,291 2� Ví dụ 2-2: Cho ten xơ ứng suất �� = ൞2�� �3 2�� −2� �3 −2�൞ (kN /cm2) �2 Hãy tính ứng suất điểm P(2,2,1) mặt cắt cho phương trình: 2x-y+2z =4 Bài giải : Tại điểm P ten xơ ứng suất : �� = ൭8 −2 −2൞ (kN /cm ) Các cô sin phương pháp tuyến v điểm P mặt phẳng cho phương trình 2x-y+2z =4 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 2 -1 2 = ; m = = ; n= = 22+(-1)2+22 22+(-1)2+22 22+(-1)2+22 Các thành phần ứng suất ứng suất toàn phần pv viết dạng ma trận l= ��� ൞ ��� ൞ = ൭8 ��� −2 10 ەەۇ3ۊ1ەە −2൞ ەەۈ− ۋ3 = ەە൞ ൞(kN/cm ) 4 ەەۉ3ەەەەەەی Ứng suất toàn phần là: pv = pxv2+p2yv+p2zv = (10/3)2+42+42 = 6,566 kN/cm2 Ứng suất pháp là: σv = pxvl + pyv m + pzvn= (10/3).(2/3) + 4.(-1/3) + (2/3) = 32/9 = 3,556 kN/cm2 Ứng suất tiếp τv = p2v-σ2v = (6,566)2-(3,566)2 = 5,52 kN/cm2 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Ví dụ 3-3 Cho ten xơ ứng suất �� = ൭2 2 2൱ (kN /cm ) Viết ten xơ lệch ứng suất tìm giá trị ,phương ten xơ lệch Bài giải Ứng suất trung bình : σtb = (4+0+4) = = 2,67 (kN/cm2) 3 Ten xơ lệch ứng suất − 2,67 �� = ൭ ەەەەەۓ � ۖ�2 = ൱ � ��� ەە۔ ۖ ەەە − 2,67 1,33 ൱=൭ − 2,67 −2,67 �1= �� + �� + �� = ��� �� ��� �� ��� ൱+ ൱ ൱+ ൱ �� ��� �� ��� �� ൱ = −14,33 �� ��� ��� �3= อ��� �� ��� อ= −4,513 ��� ��� �� ൱ 1,33 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Phương trình xác định giá trị là: σ3 -S.σ2 +H.σ -A =0 Hay là: σ3 - 14,33.σ +4,513 =0 Giải phương trình nhận ta có giá trị là: 3,933 kN/cm2 ; 0,315 kN/cm2 ; -3,618 kN/cm2 Xác định phương ten xơ độ lệch Phương tương ứng với giá trị 3,933 tìm từ phương trình ൱1,33 − 3,933 ൱ � + � + � = ൱2 � + ൱−2,67 − 3,933 ൱ � + � = � + � + �2 = −2,603 � + � + � = hay ൱ � − 6,603 � + � = � + �2 + �2 = CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Nghiệm phương trình : ±0,577; ± 0,392; ± 0,717 Phương tương ứng với giá trị 0,315 tìm từ phương trình : ൱1,33 − 0,315 ൱ � + � + � = ൱2 � + ൱−2,67 − 0,315 ൱ � + � = �2 + �2 + �2 = hay 1,015 � + � + � = ൱2 � − 2,985 � + � = �2 + �2 + �2 = Nghiệm hệ phương trình là: -0,705; ±0,003; ±0,709; Phương tương ứng với giá trị -3,618 tìm từ phương trình ൱1,33 + 3,618 ൱ � + � + � = ൱2 � + ൱−2,67 + 3,618 ൱ � + � = � + �2 + �2 = CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục 4,948 � + � + � = hay ൱2 � + 0,948 � + � = � + �2 + �2 = Nghiệm hệ phương trình là: -0,399; 0,900; -0,171; 3.6 Ứng suất tiếp cực trị Vị trí mặt có ứng suất tiếp cực trị mặt có pháp tuyến nghiêng góc 45 so với trục ứng suất τ max = σ −σ3 σ − σ1 σ1 − σ 2 ;τ max = ;τ max = ; 2 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Bài tập chương III Bài 3.1 Tìm ứng suất phương trạng thái ứng suất cho tenxơ: 4 ( kN / cm ) Tσ = 2 1 4 Bài 3.2 Cho tenxơ ứng suất 2 x Tσ = 2 xy z3 xy −2z z3 − z ( kN / cm ) y2 Hãy tính ứng suất điểm P(2,2,1) mặt cắt cho phương trình: 2x-y+2z=4 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục Bài 3.3 Cho tenxơ ứng suất: Tσ 4 = 2 1 2 1 2 ( kN / cm ) 4 1- Viết tenxơ lệch ứng suất tìm giá trị chính, phương tenxơ lệch 2- Tìm ứng suất tiếp lớn Bài 3.4 Cho tenxơ ứng suất điểm O vật thể đàn hồi: Tσ = − − −3 2 −3( kN / cm ) Hãy xác định ứng suất tiếp cực trị ứng suất mặt nghiêng với phương điểm O CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục x O Bài 3.5 Trên hình vẽ biểu diễn mặt cắt ngang thân đê (AOB) chịu tác dụng áp lực nước bờ OB β y q=γy 1- Hãy viết điều kiện biên biết: A B y 2- Giả sử tính ứng suất thân đề là: σx = −γy p γ 2γ σy = − x + − p tgβ tg β tg β y γ τxy =τ yx = − x tg β σz =τxz =τzx =τ yz =τzy = Hãy thử xem với điều kiện hệ ứng suất thỏa mãn phương trình cân Tìm tải trọng tác dụng nên bờ OA, OB CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học môi trường liên tục HẾT CHƯƠNG III ... CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học mơi trường liên tục 3. 3.1.Ứng suất tồn phần σ 11l1 + σ 12l2 + σ 13l 13 = pv1 σ 21l1 + σ 22l2 + σ 23l3 = pv σ l + σ l + σ l = p 32 33 v3 31 ( 3- 8)... σ 12l2 + σ 13l3 = f1* * σ l + σ l + σ l = f 21 22 23 σ l + σ l + σ l = f * 32 33 3 31 ( 3- 7) Cơ học: Hệ phương trình (3. 5) (3. 7) điều kiện cân tồn thể mơi trường Tốn học: Hệ (3. 5) hệ phương... (10 /3) .(2 /3) + 4. (-1 /3) + (2 /3) = 32 /9 = 3, 556 kN/cm2 Ứng suất tiếp τv = p2v-σ2v = (6,566) 2- (3, 566)2 = 5,52 kN/cm2 CHƯƠNG III – LÝ THUYẾT VỀ ỨNG SUẤT Cơ học mơi trường liên tục Ví dụ 3- 3 Cho ten