Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 7 Bài toán phẳng trong hệ tọa độ cực cung cấp cho người học những kiến thức như: Các phương trình cơ bản; Các phương trình hình học; Các phương trình vật lý; Giải bài toán theo ứng suất; Tính tác dụng của một lực tập trung vào biên của tấm bán vô hạn đàn hồi (Bài toán PhơLamăng). Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục CHƯƠNG VII – BÀI TỐN PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC Khi giải toán phẳng lý thuyết đàn hồi, số trường hợp dùng tọa độ độc cực tiện lợi tọa độ Descartes, ví dụ nghiên cứu trạng thái ứng suất, biến dạng ống dày, đĩa quay, cong, miền cạnh lỗ tròn tấm… Trong tọa độ cực, vị trí điểm xác định góc cực θ vectơ bán kính r 7.1 Các phương trình Các phương trình vi phân cân : Giả sử có vật thể chịu lực song song với mặt phẳng Tại điểm A(r,θ,z), ta cắt phân tố giới hạn mặt - mặt trụ đồng trục cách khoảng dr - mặt phẳng chứa trục z tạo với góc dθ - mặt phẳng song song mặt phẳng oxy cách đơn vị CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục Hình 7.1 + Ký hiệu: r trục theo hướng bán kính, θ trục qua điểm xét A(r,θ,z) vng góc với r, ứng suất mặt ký hiệu sau: - Các mặt nhận r làm pháp tuyến: + Trên mặt qua điểm A(r,θ,z) có thành phần ứng suất: σr, Trθ + Trên mặt qua điểm A(r,θ + dθ,z), khai triển theo Taylor có thành phần ứng suấ: tuyến , - fr, fθ : Lực thể tích hướng tâm tiếp tuyến tác dụng lên đơn vị tiếp CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Xét cân phân tố chịu lực hình 7.1 : Vì biến dạng bé nên Sau bỏ qua nguyên lượng vô bé chia cho r.dr.dθ ta được: (7.1) Tương tự chiếu lực lên phương θ ta (7.2) + Định luật đối ứng ứng suất tiếp : Trθ = Tθr (7.3) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Các phương trình hình học: Chuyển vị điểm A(r, θ) theo phương r, θ u, v Chuyển vị điểm B(r+dr, θ) theo phương là: Chuyển vị điểm C(r, θ+dθ) theo phương là: Biến dạng dài tương đối theo phương r, θ là: εr, εθ Hình 7.2 * Trước tiên xét biến dạng u gây giữ nguyên góc θ Sau biến dạng ABCD trở thành A’B’C’D’: +Các biến dạng dài tương đối: ; ; +Biến dạng góc: (a) CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục * Xét biến dạng chuyển vị v gây giữ nguyên dr Sau biến dạng ABCD trở thành A’’B’’C’’D’’: (Hình 7.3) + Biến dạng dài: = + Biến dạng góc: γ2 = (B’’A’’M – NA’’M) (b) = Có số hạng (NA”M) = điểm γ2 quay toàn phân tố ABCD CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Cộng (a) (b) ta có quan hệ biến dạng chuyển vị tọa độ cực: (7.4) Các phương trình vật lý: Trong tọa độ cực, có phương trình định luật Hooke tọa độ Descartes cách thay x, y r, θ: a Biểu thức biến dạng qua ứng xuất: εr = (σr – μσθ) εθ= (σθ – μσr) γrθ = Trθ = (7.5a) Trθ CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục b Biểu thức ứng suất qua biến dạng: σr = (εr – μεθ) σθ = (εθ – μεr) (7.5b) Trθ = G.γrθ Ở toán biến dạng phẳng thay E, μ E1, μ1 theo cách đặt: ; 7.2 GIẢI BÀI TOÁN THEO ỨNG SUẤT - Phương trình LeVy 2(σx + σy) = phương trình giải tốn phằng theo ứng suất hệ tọa độ Descartes Ta biểu diễn phương trình hệ tọa độ cực: (σx + σy) = σx + σy = σr + σθ = S (σr + σθ) = (7-6) * Liên hệ thành phần tọa độ Descartes tọa độ cực: r2 = x2 + y2 (a) tgθ = (b) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục (a) = 2r = 2x = = 2r (b) = cosθ = 2y = = = sinθ ==- = = = =- = (c) = * Như vậy, hàm f(x,y) bất kỳ, tọa độ cực: = = + = cosθ - = + = sinθ - cosθ - CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục = sinθ - Sau biến đổi ta nhận được: = cos2θ - + + + = sin2θ - + + + Lấy tổng hai biểu thức ta được: f= + = = + + + + (7.7) Thay (7.7) vào (7.6) ta có : (7.8) Cũng tương tự hệ tọa độ Descartes trường hợp lực thể tích 0, lấy ứng suất thỏa mãn phương trình cân (7.1), (7.2): CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục (7.9) Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất tọa độ cực Thay (7.9) vào (7.8) ta có: =0 ( 2φ) = (7.10) (7.10): Phương trình trùng điều hịa tốn phẳng tọa độ cực CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục Ví dụ 1: Cho cong mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh): Lấy b=1, chịu tác dụng mômen Mo mặt cắt đầu nằm mặt phẳng cong hình vẽ Hãy xác định trạng thái ứng suất Bài giải : Đây trường hợp cong phẳng chịu uốn túy Do mômen uốn không đổi theo chiều dài nên ứng suất khơng phụ thuộc vào góc cực Ta chọn hàm ứng suất theo (7-8) , nghĩa là: ϕ(r)= Alnr+ Br2lnr + Cr2 +D Khi ứng suất theo (7-9) : (Hình 7-5) CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Các số A,B,C xác định từ điều kiện biên sau : * Tại biên cong : r = a ⇒ σr =0 r = b ⇒ σθ =0 (a) a ⌠ ⌡ ⌠ ⌡ *Tại đầu : L ực dọc N: N = σθdF = σθ1.dr = (b) b a ⌠ ⌡ ⌠ ⌡ Mômen uốn M: M= σθrdF = σθ.1.r.dr = -Mo b Thay (7-13) vào điều kiện (a), (b), (c) ta : (d) (c) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục Giải hệ phương trình (d) A, B, C ta : b A = - 4Mo a2b2ln a K B = - 2Mo (b2 - a2) K (e) C = Mo [(b2 - a2) +2(b2lnb - a2lna)] K b Trong : K = (b2 - a2) -4a2b2(ln )2 a Thay giá trị A, B,C (e) vào (7-13) ta : CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục 7.3 Tính tác dụng lực tập trung vào biên bán vô hạn đàn hồi (Bài tốn PhơLamăng) Giả sử có mơi trường đàn hồi giới hạn mặt phẳng gọi không gian bán vô hạn đàn hồi Trên mặt phẳng chịu tác dụng tải trọng phân bố theo đường thẳng Để giải toán ta cắt phân tố giới hạn hai mặt phẳng song song vng góc với đường tải trọng cách đơn vị (H7.6) Hình 7.6 CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục Như ta đưa toán khơng gian thành tốn phẳng Trong trường hợp khơng gian bán vô hạn giới hạn mặt phẳng song song gần xem vơ hạn đàn hồi Nếu mỏng ta coi toán toán trạng thái ứng suất phẳng Xét mỏng vô hạn đàn hồi chịu lực tập trung tác dụng biên Do tính đối xứng qua trục x nên hàm ứng suất φ(r, θ) hàm chẵn θ nên σr, σθ hàm chẵn θ Chọn φ(r, θ) = C.r.θsinθ (7.11) C số phải xác định cho hàm φ(r, θ) thỏa mãn phương trình trùng điều hịa điều kiện biên: Theo (6.9) ta có: (7.12) Trθ = Qua (7.12) cho thấy mặt phẳng vng góc với bán kính r có ứng suất pháp σr σθ = Trθ = Mặt vng góc với khơng có ứng suất CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Xác định số C cách tính tổng hình chiếu lên trục lực pháp tuyến tác dụng lên nửa vòng tròn tâm Σx = với dF = r.dθ.1 dày tấm) (7.13) Thay (7.13) vào (7.12) ta có: σθ = Trθ = (7.14) (1 bề CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Từ (7.14) cho thấy: +Tại điểm đặt lực P: r = σr = ∞ Thực tế chịu lực tập trung điểm đặt lực có ứng suất cục lớn làm cho khu vực điểm xung quanh điểm đặt lực bị chảy dẻo +Ở ta không xét khu vực mà áp dụng nghiệm rút ngồi khu vực nói + Tính chất nghiệm σr: d.cosθ = r Từ (7.14) (a) (7.15) Công thức (7.15) cho thấy ứng suất σr tất điểm vòng tròn Vòng tròn gọi đường đẳng suất Hình 7.7 Ví dụ: cấu kiện chịu nén tâm CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Tính hệ tọa độ Descartes: Ta có: Nhân vế phương trình với l Mà: Nhân vế phương trình với m Ta có: y y f*y θ n σy P σr o τ yx σr σr τ xy f*x β θ r σr σx τ xy x x Hình 7.8 x σx y τ yx σr CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục ; (7-16) CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục Thay σr = - cosθ từ (7.14) vào (7.16) ta có: σx = - cos3θ = - σy = - sin2θcosθ = - Txy = - sinθcos2θ = - (7.17) Tính chất nghiệm (7.17): * Trong trường hợp có nhiều lực tập trung hình vẽ, để tính ứng suất điểm ta áp dụng nguyên lý cộng tác dụng để tính (7.18) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục P1 P2y1 P Pn o σx θn θ2 y τ xy τ yx y x y1 σ max σy y3 y2 x y1 Hình - 7.9 CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục BÀI TẬP CHƯƠNG 7.1.Hãy xác định ứng suất nêm có chiều dày =1 , góc đỉnh = 2α chịu tác dụng lực tập trung P đỉnh làm với trục nêm góc β Chỉ dẫn : Chọn hàm ứng suất ϕ có dạng : ϕ(r,θ ) = Arθsinθ +Brθcosθ Trong A, B số 7-2 Hãy xác định ứng suất nêm hình có mơmen Mo tác dụng đỉnh nêm Chọn hàm ứng suất dạng: ϕ(r,θ)=Arθsinθ + Brθsin2θ Trong A ,B số δ CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục 7-3.Cho nêm chịu lực hình Hãy xác định trạng thái ứng suất nêm γ=const Lấy hàm ứng suất dạng :ϕ(r,θ )= r3 (Acos3θ + Bsin3θ + Ccosθ +D sinθ ) Trong A,B,C,D số HÌNH (7-18) CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục KẾT THÚC MƠN HỌC ! ... yx σr CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục ; ( 7- 16) CHƯƠNG VII-BÀI TỐN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục Thay σr = - cosθ từ (7. 14) vào (7. 16)... cân (7. 1), (7. 2): CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học mơi trường liên tục (7. 9) Trong đó: φ(r, θ): Là hàm ứng suất tọa độ cực Thay (7. 9) vào (7. 8) ta có: =0 ( 2φ) = (7. 10) (7. 10):... sinθ = =- = = = =- = (c) = * Như vậy, hàm f(x,y) bất kỳ, tọa độ cực: = = + = cosθ - = + = sinθ - cosθ - CHƯƠNG VII-BÀI TOÁN PHẲNG TRONG TỌA ĐỘ CỰC Cơ học môi trường liên tục = sinθ - Sau