Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 2 Một số khái niệm cơ bản về tenxơ cung cấp cho người học những kiến thức như: Tenxơ trong hệ tọa độ descrates vuông góc; Trường vô hướng hay tenxơ hạng không; Vec tơ hay tenxơ hạng nhất. Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NiỆM VỀ TENXƠ Đại lượng vô hướng Đại lượng toán học học Đại lượng có hướng Đại lượng Tenxơ Là đại lượng mà với đơn vị đo chọn đặc trưng số như: nhiệt độ, khối lượng, … Là đại lượng đặc trưng giá trị theo đơn vị đo, phương chiều không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc chất điểm, … Đặc trưng cho trạng thái xác định vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, … CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Ten xơ đại lượng tổng quát, mà đại lượng vô hướng, đại lượng vec tơ trường hợp riêng Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ mô tả chúng 2.1.TENXƠ TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCRATES VNG GĨC 2.1.1 Hệ thống ký hiệu - Ký hiệu đặc trưng hay nhiều số là: , aij , aijk , - Qui ước sau: số chữ La tinh i,j, k lấy giá trị 1, 2, Do đó: ai biểu thị ba phần tử a1 , a2 , a3 aij biểu thị chín phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 aIjk biểu thị 27 phần tử a111 , a112 , , a333 Hệ thống phần tử phụ thuộc vào số, gọi hệ thống hạng nhất, bao gồm phần tử; aij hệ thống hạng hai bao gồm phần tử n Tổng quát, hệ thống phụ thuộc vào n số gồm phần tử CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.1.2 Quy ước số Trong biểu thức, số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo số từ đến Chỉ số gọi số câm, ta thay chữ số khác -Thí dụ: aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = akbk Chỉ số xuất lần gọi số tự do, chạy từ đến -Thí dụ, hệ thống gồm a1, a2, a3 2.1.3 Hệ đối xứng, hệ phản xứng -Một hệ gọi đối xứng nếu: aibj =ajbi Mở rộng cho hệ thống nhiều số, chẳng hạn aijk = aikj hệ thống aijk đối xứng qua hai số j, k Kí hiệu Kronecker trường hợp đặc biệt hệ đối xứng 1 với j=j 0 với i#j δij = CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Ký hiệu Levi-Chivita eijk hệ thống phản đối xứng với thành phần sau: 0 hai số eijk = hai số lập thành hoán vị chẵn 1, 2, − hai số lập thành hoán vị lẻ 1, 2, 2.2 Trường vô hướng hay tenxơ hạng không Trường vô hướng hàm vô hướng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) toạ độ điểm miền không gian x1 , x2 , x3 xác định hàm t tham số thời gian gradϕ = ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ e1 + e2 + e3 = ei ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi (2-1) Với ei vecto đơn vị trục oxi; Ký hiệu ∇ đọc “nabla” Ý nghĩa hình học: gradϕ vec tơ vng góc với mặt cho phương trình ϕ = const Vec tơ pháp tuyến đơn vị ν mặt điểm bề mặt CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ e3 e1 e2 gradϕ ∂x3 ∂x1 ∂x2 v= = + + gradϕ gradϕ gradϕ gradϕ Trong đó: ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ + + gradϕ = ∂x1 ∂x2 ∂x3 (2-2) (2-3) Ký hiệu ∆ gọi “toán tử Laplace” hay Laplacien với: ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∆ϕ = ∇∇ϕ = ∇ ϕ = + + 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 (2-4) Phương trình: ∇ ϕ = gọi phương trình điều hịa Nghiệm phương trình điều hịa gọi hàm điều hịa CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học mơi trường liên tục Phương trình: ∇ ∇ ϕ = ∇ ϕ = gọi phương trình điều hịa kép Nghiệm phương trình điều hịa gọi hàm điều hịa kép 2 Ví dụ:2-1 Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng qua ba điểm A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) cho trước hệ tọa độ vng góc hình vẽ Bài giải: Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C là: x y z + + =1 a b c Suy ra: x y z ϕ= + + a b c 1 gradϕ = e1 + e2 + e3 a b c (Hình 2-1) CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Do vậy: 1 e1 + e2 + e3 a b c gradϕ v= = 2 gradϕ 1 1 1 + + a b c v= bc a b +b c +c a 2 2 2 e1 + ca a b +b c +c a 2 2 2 e2 + Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều) r ±1 uur ±1 uur ±1 uur v= e1 + e2 + e3 3 ab a b +b c +c a 2 2 2 e3 CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.3 VEC TƠ HAY TENXƠ HẠNG NHẤT 2.3.1 Các thành phần vectơ Giả sử không gian thuộc hệ trục tọa độ Descartes vuông góc (Oxyz) có các vec tơ đơn vị là cho một vec tơ đặt tại điểm M Gọi các hình chiếu của vec tơ các trục x,y,z tương ứng là ax, ay, az Ta có thể viết: ur r ur ur a = ax.i + ay j + az.k (2-5) y a = a x + ay + a z (2-6) Các côsin chỉ phương của vec tơ a ký hiệu là l,m,n Ta có: r ur ur ur a ay ur ur l = cos(i, a); m = cos( j, a); n = cos(k , a) 2 l + m + n =1 (2-7) ax az z (Hình 2-1) x CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục 2.3.2 Biến đổi các thành phần của vec tơ xoay hệ trục tọa độ: a,Bảng các cosin chỉ phương: Giả sử xoay hệ trục (Oxyz) quanh O trở thành hệ trục mới (Ox’y’z’) có các vec r ur ur tơ đơn vị tương ứng là: i, j, k hình vẽ Ta có bảng cosin chỉ phương giữa hai hệ trục tọa độ sau: z Bảng 2-1 x y Z x’ l1 m1 n1 y’ l2 m2 n2 z’ l3 m3 n3 z' a y' y x x' Hi`nh (1-2) (Hình 2-3) Trong đó là cosin góc hợp bởi các trục x’,y’,z’ với trục x,y,z.Từ điều kiện trực giao của các trục này ta có : CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục * Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’): (2-8) * Đối với hệ trục cũ (x,y,z): (2-9) CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục b/ Sự thay đổi của các thành phần vec tơ: Gọi ( ) là hì nh chiếu của vec tơ hệ trục cũ (Oxyz);( ) là hì nh chiếu của vec tơ hệ trục mới (Ox’y’z’) thì ta có: Theo định nghĩ a ta lại có: Hay là: Suy ra: Hệ thức biểu diễn các hì nh chiếu của vec tơ tọa độ cũ (Oxyz) (2-10) hệ CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Một cách tương tự ta có thể tì m được các hì nh chiếu của vec tơ hệ tọa độ mới (Ox’y’z’) sau: �� = ��′ �1′ + ��′ �1′ + ��′ �1′ ൞�� = ��′ �2′ + ��′ �2′ + ��′ �2′ �� = ��′ �3′ + ��′ �3′ + ��′ �3′ (2-11) Các cosin chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ ,ký hiệu là (C): CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục ' ' ' Các cosin li , mi , ni chỉ phương lập thành một ma trận vuông cấp[3x3] gọi là ma trận biến đổi hệ trục tọa độ,ký hiệu là (C’): l1' C ' = l2' l3' [ ] m1' m2' m3' n1' n2' n3' Ma trận (C) (C’) hai ma trận trực giao [C ] = [ C ] = [ C ] ' −1 T Khi hệ trục tọa độ O’x1x2x3 quay góc θ ngược chiều kim đồng hồ quanh trục x3 tạo thành hệ trục tọa đồ O’x’1x’2x’3 lúc Ox3≡ Ox’3 lúc ma trận biến Đổi hệ trục tọa độ có dạng: cos θ C = − sin θ [ ] sin θ cos θ 0 0 0 (Hình 2-4) CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục Chú ý: biến đổi hệ trục tọa độ véctơ a khơng thay đổi có thành phần ve tơ a thay đổi Bài tập chương II Bài 2.1 Xác định hàng cuối ma trận cấp (3x3) cho để ma trận biến đổi hệ trục tọa độ: 3 − 5 0 1 c31 c32 c33 Bài 2.2 Cho ma trận biến đổi hệ trục tọa độ cij: Và véc tơ b(1,2,3) , c(2,1,1) Tìm véc thành phần vecto tổng a = b + c phép biến đổi hệ trục tọa độ 2 2 2 2 1 − 2 2 1 − CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục HẾT CHƯƠNG II ... a 2 2 2 e1 + ca a b +b c +c a 2 2 2 e2 + Trường hợp đặ biệt: a=b=c ( Mặt phẳng nghiêng đều) r ±1 uur ±1 uur ±1 uur v= e1 + e2 + e3 3 ab a b +b c +c a 2 2 2 e3 CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ... + gradϕ = ∂x1 ∂x2 ∂x3 ( 2- 2) ( 2- 3) Ký hiệu ∆ gọi “toán tử Laplace” hay Laplacien với: ∂ 2? ? ∂ 2? ? ∂ 2? ? ∆ϕ = ∇∇ϕ = ∇ ϕ = + + 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ( 2- 4) Phương trình: ∇ ϕ = gọi phương... : CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TENXƠ Cơ học môi trường liên tục * Đối với hệ trục mới(x’,y’,z’): ( 2- 8) * Đối với hệ trục cũ (x,y,z): ( 2- 9) CHƯƠNG II – MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ