Bài giảng Cơ học môi trường liên tục: Chương 5 Lý thuyết đàn hồi cung cấp cho người học những kiến thức như: Công và thế của lực đàn hồi; Định luật Hooke tổng quát và các hằng số đàn hồi của vật liệu; Một dạng khác của định luật hooke tổng quát; Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục CHƯƠNG V - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Trong chương ta nghiên cứu hai mặt riêng biệt mơi trường liên tục mặt tĩnh học (trường ứng suất) mặt hình học (trường biến dạng), hai mặt có quan hệ với Sự phân bố ứng suất biến dạng mơi trường phụ thuộc vào quan hệ Xét quan hệ ứng suất biến dạng tức xét mặt vật lý môi trường Sự khác mặt vật lý dẫn đến nội dung khác lý thuyết học vật rắn biến dạng lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến lý thuyết đàn hồi dẻo Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất hàm biến dạng : σx = f1(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx); σy = f2(εx, εy, ); σz = f3(εx, εy, ); Txy= f4(εx, εy, ); (5.1) Tyz= f5(εx, εy, ); Tzx= f6(εx, εy, ); CHƯƠNG CHƯƠNG V V– – LÝ LÝ THUYẾT THUYẾT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Cơ Cơ học học môi môi trường trường liên liên tục tục Ths Phạm Văn Đạt Trong môn học ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất biến dạng quan hệ tuyến tính Do (5.1) viết thành : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx; σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx; (5.2) Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx Trong : - Các hệ số aij : Là số đàn hồi vật liệu - Trong (5.2) : Có tất 36 số đàn hồi Ta chứng minh vật liệu hoàn toàn đàn hồi đẳng hướng có số độc lập với 5.1 Công lực đàn hồi - Xét phần tử hình hộp có cạnh dx, dy, dz điểm M(x,y,z) Các mặt phân tử có ứng suất hình vẽ (H,5.1) Ứng với ứng suất phần tử có chuyển vị đường chuyển vị góc - Khi phần tử bị biến dạng nội lực sinh công CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục σx τxy P(x,y+dy,z) τxy + ∂τxy ∂x dx ∂ σx dx ∂ x σx + dy τxy dz y N(x+dx,y,z) Q(x,y,z+dz) dx τ xz + ∂τ xz dx ∂x x z 5.1.1 Số gia công ứng suất pháp sinh ra: - Ứng suất pháp mặt vng góc trục x : σx σx + dx, có độ dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx - Sau thời gian vơ bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia: δεx Số gia độ dãn dài tuyệt đối cạnh dx : δεx dx Số gia công σx sinh : (σx.dydz)( δεx.dx) Tương tự số gia công σy σz sinh : (σy.dxdz)( δεy dy) (a) (σz.dxdy)( δεy dz) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 5.1.2 Số gia công ứng suất tiếp sinh ra: - Xét thành phần Txy thời điểm t, góc trượt tỷ đối γxy Sau thời gian δt, góc trượt có số gia δγxy - Lực Txy : Txy.dy.dz - Moment Txy tác dụng mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx - Số gia cơng Txy sinh : (Txy.dydz.dx) δγxy -Tương tự số gia công ứng suất tiếp Tyz Tzx sinh : (Tyz.dzdx.dy) δγxz (b) (Tzx.dxdy.dz) δγzx - Số gia cơng phần tử hình hộp tổng số gia công ứng suất sinh (a+b): δT = (σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + zxδγzx )dxdydz (5.3) Ta có: dV = dxdydz : Thể tích phần tử trước biến dạng *Số gia cơng đơn vị thể tích (công riêng) δA : δA = = σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx (5.4) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục * Đối với vật thể hồn toàn đàn hồi lượng sinh biến dạng bảo toàn Nếu gọi W biến dạng đàn hồi tích lũy vật thể biến dạng độ lớn biến dạng đàn hồi cơng ngoại lực A Do ta có A=W (5.5) Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (5.5) gọi Từ (5.5) ⇔ δA = δW (5.6) Thế sinh biến dạng biến dạng mà có, biến dạng đàn hồi hàm số thành phần biến dạng : W = f(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx) - Trong miền đàn hồi trình biến dạng thuận nghịch nên δW vi phân toàn phần Nếu bỏ qua vô bé bậc cao khai triển số gia biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta : δW = ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W ∂W δε x + δε y + δε z + δγ xy + δγ yz + δγ zx (5 − 7) ∂ε x ∂ε y ∂ε z ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục So sánh (5-4) (5-7) ta có: σx = τ xy ∂W ∂W ∂W ;σ y = ;σ z = ; ∂ε x ∂ε y ∂ε z ∂W ∂W ∂W = ;τ yz = ;τ zx = ∂γ xy ∂γ yz ∂γ zx (5-8) - Từ (5.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất đạo hàm riêng biến dạng đàn hồi biến dạng tương ứng 5.2 Định luật Hooke tổng quát số đàn hồi vật liệu 5.2.1 Dựa vào định lý Green : Từ (5.2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục (5-8) ta có: ∂W ∂ 2W σx = ⇒ = a15 ∂ε x ∂ε x ∂γ yz (a) Từf (5-2) ta có: τ yz = a51ε x + a52ε y + a53ε z + a54γ xy + a55γ yz + a56γ zx Từ (5-8) ta có: τ yz ∂W ∂ 2W = ⇒ = a51 ∂γ yz ∂γ yz ∂ε x (b) - Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) (b) ta có : a15 = a51 - Tổng quát số đàn hồi (5.2) ta có: aij = aji Vậy số hệ phương trình (5.2) đối xứng qua đường chéo Do số cần xác định 36 - 15 = 21 hệ số 5.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng : - Vật thể đẳng hướng vật thể có tính chất đối xứng hồn tồn, mặt phẳng qua phần tử mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý vật liệu theo phương CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục Do phương trình (5.2) khơng thay đổi ta thay đổi hệ tọa độ : +Giả sử đổi chiều trục y ứng suất pháp σx phương trình thứ hệ (5.2) không thay đổi: σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx (c) Nhưng biến dạng góc γxy γyz đổi dấu đổi chiều trục y góc trượt trước làm góc vng nhỏ lại làm cho góc vng lớn lên ⇒ σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy a15γyz + a16γzx (d) Đồng (c) (d) ta có : a14 = −a14 ⇒ a14 = a15 = a15 = −a15 Tương tự đổi chiều trục z ta có a16 = CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Bằng cách chứng minh tương tự ta đến kết luận ba số cuối ba phương trình đầu hệ phương trình (5.2) Do aij = aji nên ba số đầu ba phương trình cuối hệ phương trình (5.2) * Hệ phương trình (5.2) trở thành : σx = a11εx + a12εy + a13εz σy = a21εx + a22εy + a23εz σz = a31εx + a32εy + a33εz (5.9) Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzx Tzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx Hệ phương trình (5.9) cho ta kết luận : - Các ứng suất pháp khơng có quan hệ với biến dạng góc - Các ứng suất tiếp khơng có quan hệ với biến dạng dài tương đối CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Xét phương trình thứ (4) hệ phương trình ( 5.9) : Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx (e) Nếu ta đổi chiều trục z Txy không đổi γyz γzx đổi dấu: Tyx = a44γxy - a45γyz - a46γzx (f) Đồng (e) (f) ta có : Do aij = aji ⇒ a54 = a64 = Tương tự ta có : a56 = a65 = Hệ phương trình (5.9) rút gọn sau: σx = a11εx + a12εy + a13εz σy = a21εx + a22εy + a23εz σz = a31εx + a32εy + a33εz Tyx = a44γxy (5.10) Tyz = a55γyz Tzx = a66γzx Bằng cách hoán vị vịng phương trình (3) hệ phương trình (5.10), ta có: x z y CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục Trong : ∇2 = S = σx + σy + σz (**) ⇔ (1 + µ) ⇔ - (1 + µ)∇2σx + + ⇔ - (1 + µ)∇2σx + + ⇔ (1 + µ)∇2σx + =0 Theo Hệ (1) ta có ⇔ = ∇2S = (1 + µ)∇2σx + =0 (1 + µ)∇2σy + =0 (1 + µ)∇2σz + =0 (5.24) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục (1 + µ)∇2Txy + =0 (1 + µ)∇2Tyz + =0 (1 + µ)∇2Tzx + =0 (5.25) Hệ phương trình (5.24) (5.25) phương trình để giải toán đàn hồi theo ứng suất, tổng hợp điều kiện mặt tĩnh học, hình học vật lý môi trường Giải (5.24) (5.25) có ứng suất sau tìm biến dạng theo định luật Hooke tìm chuyển vị theo hệ phương trình biến dạng Cauchy Hệ (5.24) (5.25) gọi hệ phương trình Beltrmi 5.6.2 Khi lực thể tích khơng phải số: ta nhận phương trình tương tự có vế phải khác : ∇2σx + ; ∇2σy + ; ∇2σz + ; (5.26) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục (5.26) : Phương trình Beltrami-Michell * Hệ : Trường hợp fx, fy, fz = const Từ phương trình (5.24) Beltrmi, ta suy hệ tính chất n0 ứng suất Xét phương trình (1) hệ phương trình (5.24) : (1 + µ) ∇2σx + = (1) Lấy đạo hàm bậc phương trình (1) theo x,y,z ta có : + (1 + µ)∇2 + (1 + µ)∇2 + =0 (1 + µ)∇2 + =0 (1 + µ) ∇2∇2σx + =0 ∇2S = Ta có : ∇2∇2σx = Tương tự ta có : ∇4σij = σij gồm có (σx, σy, σz, Txy, Tyz, Tzx) Theo hệ ∇2S = CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục → Ứng suất hàm điều hòa kép (trùng điều hòa, bi điều hòa) Vì ứng suất tỉ lệ với biến dạng nên biến dạng hàm điều hoà kép ⇒ Phát biểu : Các nghiệm ứng suất , chuyển vị, biến dạng tốn đàn hồi tuyến tính lực thể tích số hàm điều hòa kép: ∇4σij = ; ∇4ui = ; ∇4εij = (5.27) 5.7 Các phương pháp giải Phương pháp thuận : phương pháp trực tiếp tính tích phân phương trình Lamê (5.20) giải theo chuyển vị hay phương trình Beltrami (5.24) (5.25) hay Beltrami Michell (5.26) giải theo ứng suất với điều kiện biên xác định Phương pháp rõ ràng, minh bạch vê mặt toán học phức tạp thực 2.Phương pháp ngược : Theo phương pháp ta cho trước chuyển vị hay ứng suất thỏa mãn phương trình bản, điều kiện biên (2.22) tìm ngoại lực tương ứng với chuyển vị hay ứng suất cho trước Phương pháp để tìm nghiệm phải thử nhiều hàm chọn, cồng kềnh có khơng thực CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Phương pháp nửa ngược Saint - Venant : Theo phương pháp ta cho trước phần ngoại lực phần chuyển vị, tìm yếu tố cịn lại từ điều kiện biên, chúng phải thỏa mãn phương trình cân Phương pháp mềm dẻo, khắc phục khó khăn mang tính tốn học phương pháp thuận cồng kềnh phương pháp ngược Nguyên lý Saint-Venant : Nhiều toán lý thuyết đàn hồi giải hoàn toàn thỏa mãn điều kiện biên thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt cách giải toán thanh, tấm, vỏ Khi giải ta sử dụng nguyên lý Saint-Venant nguyên lý hiệu ứng cần cục ngoại lực.theo nguyên lý này, phần nhỏ vật thể có tác dụng hệ lực cân ứng suất phát sinh tắt dần nhanh đểm xa miền đặt lực Ví dụ : Khi dùng kìm để cắt 01 sợi dây thép, ta thấy sợi dây chổ cắt tác dụng hệ lực cân Dựa vào qui luật vật rắn tuyệt đối, nguyên lý cục phát biểu theo cách khác nhau: “Tại điểm vật rắn cách xa điểm đặt lực trạng thái ứng suất, biến dạng vật phụ thuộc vào cách tác dụng lực” CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Ví dụ : F : Diện tích mặt cắt ngang 5.8 Định lý nghiệm toán lý thuyết đàn hồi Một vấn đề đặt nghiệm toán lý thuyết đàn hồi giải theo chuyển vị hay ứng suất có khơng Có nghĩa ứng với tải trọng hay chuyển vị cho ta nhận hệ ứng suất hay chuyển hay ta nhận vài hệ nghiệm khác với điều kiện cho → * Nếu nhận vài hệ nghiệm nghiệm toán lý thuyết đàn hồi cho đa trị * Định lý nghiệm : Nếu thừa nhận trạng thái tự nhiên vật đinh luật độc lập tác dụng lực nghiệm toán lý thuyết đàn hồi Thực xét toán thứ lý thuyết đàn hồi Dưới tác dụng lực bề mặt , , Lực thể tích fx, fy, fz cho Giả thiết ta nhận hệ nghiệm ứng suất khác CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục σx, σy, σ z, Txy, Tyz, Tzx σx*, σy*, σz*, Txy*, Tyz*, Tzx* Cả hai hệ ứng suất phải thỏa mãn điều kiện cân tĩnh học Cauchy điều kiện biên tĩnh học (a) = σx.l + Tyx.m + Tzx.n = σx.l + Tyx.m + Tzx.n (b) Tương tự viết cho phương trình cịn lại Trừ phương trình tương ứng cho nhau, ta nhận hệ phương trình điều kiện Ví dụ viết cho phương trình thứ ta có : (Txy – Tyx) + (Tzx - Tzx)= (σx - σ x).l + (Tyx - Tyx).m + (Tzx - Tzx).n = (c) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học mơi trường liên tục 5.9 Ví dụ giải toán xoắn túy lăng trụ Xét thẳng, mặt cắt ngang không đổi, chịu xoắn tuý (h-1) y M M 1) Hệ phương trình bán Sử dụng phương pháp nửa ngược Saint- Venant giả thiết: a) Các phương trình cân Navier τzy τzx x CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục b) Điều kiện biên - Trên mặt pháp tuyến (l,m,0) - Trên mặt cắt ngang hai đầu (z=o, z=l) c) Các liên hệ Cauchy, định luật hooke d) Phương trình Beltrami - Michell CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục 2) Chuyển vị góc xoắn y Trong số v t y r M u Chuyển vị theo phương bán kính r: x Chuyển vị theo phương vng góc với bán kính r (u): 3) Sử dụng hàm Prandl để giải tốn xoắn đặt : Ta có: Suy phương trình xác định hàm Prandtl =C x CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Hằng số C xác định sau: Suy Ta có: Suy ra: C= 4) Một số trường hợp đặc biệt * Thanh có mặt cắt ngang hình elip Phương trình chu vi: Chọn hàm Prandtl có dạng từ =C suy hay CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Suy hàm Prandtl Các ứng suất mặt cắt là: số C xác định từ điều kiện cân Suy ; ; ứng suất lớn hai đầu bán trục ngắn Góc xoắn tỉ đối là: Trị số gọi mômen chống xoắn mặt cắt ngang hình elip * mặt cắt hình trịn : a=b=d/2 CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Bài tập Chương V Bài 5.1 Tại điểm vật thể đàn hồi tuyến tính cho tenxơ ứng suất: 4 Tσ = 2 1 ( kN / cm ) −4 Cho biết: E = 2.10 (kN / cm ); µ = 0,25 Hãy xác định: 1- Biến dạng dài theo phương v(2,-1,3) 2- Biến dạng phương biến dạng Bài 5.2 Cho tenxơ biến dạng điểm vật thể đàn hồi tuyến tính 2 Tε = 3 1 Cho biết: −3 0 −2 0 .10 2 E = 2.10 ( kN / cm ); µ = 0,25 CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Hãy xác định: 1- Phương ứng suất 2- ứng suất tiếp lớn Bài 5.3 Cho chuyển vị: x +ν( x − y ) νxy xz u= ;v = ; w =− 2a a a Tìm biến dạng chứng tỏ chúng thỏa mãn phương trình liên tục Bài 5.4 Cho dầm conson mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) chịu uốn mơmen Mo hình vẽ b Mo z O M o = EJ y / a y h x x nằm mặt phẳng (xoz) Giả sử ứng σx =σy = 0;σz = −Ex / a;τxy =τ yz =τzx = suất dầm là: Hãy tìm biến dạng chuyển vị CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục HẾT CHƯƠNG V ... ( 3λ + 2ν ) ν ( λ +ν ) ( 5- 15) CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục Đặt: λ +ν λ = ;µ = E ν ( 3λ + 2ν ) ν ( λ +ν ) ( 5- 16) Thay ( 5- 16) vào ( 5- 15) ta (σ x − µ (σ y + σ z )... Từ (5. 2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a 15? ?yz + a16γzx CHƯƠNG V – LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Cơ học môi trường liên tục ( 5- 8) ta có: ∂W ∂ 2W σx = ⇒ = a 15 ∂ε x ∂ε x ∂γ yz (a) Từf ( 5- 2)... có: τ yz = a51ε x + a52ε y + a53ε z + a54γ xy + a 55? ? yz + a56γ zx Từ ( 5- 8) ta có: τ yz ∂W ∂ 2W = ⇒ = a51 ∂γ yz ∂γ yz ∂ε x (b) - Vì giá trị đạo hàm khơng phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh