Đang tải... (xem toàn văn)
Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ số của t
CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Chương 2: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 2.1 Ứng suất 2.1.1 Ứng suất, Nội lực P P3 P Pi (II) P2 Pi P P (I) x 2 K 0 Pn A x 2 P1 x 1 0 P x 3 Pn x 1 x 3 Hình 2.1 Ứng suất tại một điểm 27 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Ứng suất trung bình tại điểm K: ptb = ∆P ∆A (2.1) Ứng suất tại điểm K: pv = lim ∆P (2.2) ∆A→0 ∆A τν Pν ν σν Pν1 x 2 Pν x 2 Pν3 Pν1 0 x 1 0 x 1 a) x3 b) x3 Hình 2.2 Các thành phần ứng suất tại một điểm Ứng suất tại điểm K chiếu lên các trục tọa độ (hình 2.2a): 28 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT pv = pv1 + pv2 + pv3 (2.3) Ứng suất tại điểm K phân ra hai thành phần (hình 2.2b): pv = σv + τv (2.4) trong đó: σ v : có phương hướng theo phương pháp tuyến của mặt cắt ngang và được gọi là ứng suất pháp; τv :có phương tiếp tuyến với mặt cắt ngang và được gọi là ứng suất tiếp x2 τ12 x 2 σ22 x τ 2 32 σ11 σ τ31 τ23 τ21 τ13 33 0 x 1 0 x 1 0 x 1 x 3 x 3 x 3 Hình 2.3 Ứng suất trên các mặt 29 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Trong trường hợp đặc biệt khi hệ trục x2 ox1x2x3 có 1 trục là vuông góc với mặt cắt σ22 ngang (chẳng hạn trục ox1) thì ứng suất pháp theo phương trục ox1 được ký hiệu là σ11 τ13 τ21 σ11; ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang lúc này τ32 σ33 được phân thành hai thành phần có phương theo trục ox2 và ox3 được ký hiệu lần lượt dx2 τ12 τ23 τ31 τ12 là: τ12; τ13 Tương tự như vậy, trên mặt có σ33 phương pháp tuyến là trục ox2 có các thành τ31 τ32 σ11 phần ứng suất: σ22 ; τ21 ; τ23 ; trên mặt có τ23 τ13 x1 phương pháp tuyến là trục ox3 có các thành phần ứng suất: σ33; τ31; τ32 (hình 2.4) τ21 x3 dx1 σ22 Hình 2.4 Ứng suất trên các mặt của phần tố lập phương 30 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT Tại một điểm bất kỳ trong vật thể, khi tách ra một phân tố hình lập phương mà các mặt của phân tố này có phương pháp tuyến lần lượt trùng với phương các trục tọa độ của hệ trục ox1x2x3thì trên các mặt của phân tố này có các thành phần ứng suất (hình 2.4): - 3 thành phần ứng suất pháp: σ11; σ22; σ33 - 6 thành phần ứng suất tiếp: τ12 ; τ21 ; τ23 ; τ32 ;τ31; τ13 Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ số của trục tọa độ có phương là phương của véctơ ứng suất Quy ước dấu của các thành phần ứng suất: - Đối với ứng suất pháp: Ứng suất pháp được coi là dương khi có hướng cùng với hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt 31 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT - Đối với ứng suất tiếp: + Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt trùng với chiều dương của 1 trục tọa độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều cùng (ngược) với chiều dương của trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó + Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt ngược với chiều dương của 1 trục tọa độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều ngược (cùng) với chiều dương của trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó 2.1.2 Hệ thống ký hiệu ứng suất Trong mục 2.1.1 là khi hệ trục tọa độ được ký hiệu là ox1x2x3, ngoài ra hệ trục tọa độ còn được ký hiệu là oxyz vì vậy hệ thống ký hiệu ứng suất có thể viết dưới các dạng khác nhau sau: 32 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT σ11 σ12 σ13 σxx σxy σxz σx τxy τxz σ21 σyx σyy σyz τyx σy τyz σ31 σ22 σ23 σzx σzy σzz ; τzx τzy σz ; (B) (C) σ32 σ33 (A) 2.2 Các phương trình vi phân cân bằng Khi cho môi trường chịu tác dụng của các ngoại lực: - Lực thể tích: là các lực phân bố bên trong không gian của môi trường và được ký hiệu: f ; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi - Lực bề mặt: là các lực phân bố trên bề mặt của môi trường và được ký hiệu: f *; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi* Ta tưởng tượng chia môi trường ra thành các phần tử bằng các mặt phẳng vuông góc với các trục tọa độ, nếu căn cứ vào ngoại lực tác dụng thì có thể phân thành 2 loại phần tử: 33 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT - Phần tử loại 1: là các phần tử chỉ chịu tác dụng của lực thể tích; - Phần tử loại 2: là phần tử chịu tác dụng cả lực thể tích và lực bề mặt 2.2.2 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 1 Xét tại một điểm bất kỳ trong vật x 2 τ12+ τ12 thể nghiên cứu, tách ra một phân tố có x1 kích thước dx1dx2dx3 Trên 8 mặt của σ11 τ12 phân tố có các thành phần ứng suất như dx2 τ13 σ11 + σ11 hình 2.5 Xét cân bằng phân tố, chiếu x1 các phương trình cân bằng lên 3 trục dx1 tọa độ ta có: x 3 τ13 + τ13 x1 x1 Hình 2.5 Ứng suất trên trên phân tố loại 1 34 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT ∂σ11 ∂τ12 ∂τ13 d2u + + + f1 = 0 ρ 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 dt ∂τ21 ∂σ22 ∂τ23 d2v + + + f2 = 0ρ 2 (2.5) ∂x1 ∂x2 ∂x3 dt ∂τ31 ∂τ32 ∂σ33 d2w + + + f3 = 0ρ 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 dt Trường hợp cân bằng tĩnh thì vế phải bằng “0”; trường hợp cân bằng độ vế phải là giá trị trong ngoặc (chính là các thành phần lực quán tính) 2.2.2 Định luật đối ứng ứng suất tiếp τ12 = τ21 τ23 = τ32 (2.6) τ 31 = τ13 35 CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC TS PHẠM VĂN ĐẠT 2.2.3 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 2 Khi thỏa mãn các phương trình cân x 2 bằng (2.5) thì mới chỉ có các phân tố bên trong thỏa mãn điều kiện cân bằng Để vật dx2 σ33 v thể cân bằng thì ngoài các phân tố bên trong thỏa mãn điều kiện cân bằng, các f1* phân tố nằm giáp ngoài biên cũng cần phải được thoả mãn điều kiện cân bằng τ31 Do đó những điểm nằm trên bề mặt của vật thể sẽ phải cân bằng với các ngoại lực σ11 τ12 f2* tác dụng trên bề mặt của vật thể như hình * τ32 x 1 2.6 Phương trình cân bằng viết cho các f3 dx1 phân tố giáp với bề mặt vật thể: τ21 τ23 τ13 σ22 x 3 Hình 2.6 Ứng suất trên trên phân tố loại 2 36