Bài giảng cơ học môi trường liên tục chương 2 ts phạm văn đạt

Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ số của t

(II)

ν

τ23τ

σ ; ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang lúc này

được phân thành hai thành phần có phương

theo trục ox2 và ox3 được ký hiệu lần lượt

là: τ12; τ13 Tương tự như vậy, trên mặt có

31

Tại một điểm bất kỳ trong vật thể, khi tách ra một phân tố hình lập phương mà các mặt của phân tố này có phương pháp tuyến lần lượt trùng với phương các trục tọa độ của hệ trục ox x x1 2 3thì trên các mặt của phân tố này có các thành phần ứng suất (hình 2.4):

- 3 thành phần ứng suất pháp: σ11; σ22; σ33

- 6 thành phần ứng suất tiếp: τ12; τ21;τ23; τ32;τ31; τ13

Quy ước cách viết ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp có hai chỉ số thì chỉ số đầu tiên là chỉ

số của trục tọa độ có phương trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, chỉ số thứ 2 là chỉ

số của trục tọa độ có phương là phương của véctơ ứng suất

Quy ước dấu của các thành phần ứng suất:

- Đối với ứng suất pháp: Ứng suất pháp được coi là dương khi có hướng cùng với

hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt

32

- Đối với ứng suất tiếp:

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt trùng với chiều dương của 1 trục tọa độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều cùng (ngược) với chiều dương của trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó

+ Nếu hướng pháp tuyến ra ngoài của mặt cắt ngược với chiều dương của 1 trục tọa độ thì ứng suất tiếp được coi là dương (âm) nếu nó chiều ngược (cùng) với chiều dương của trục tọa độ cùng phương với ứng suất tiếp đó

2.1.2 Hệ thống ký hiệu ứng suất

Trong mục 2.1.1 là khi hệ trục tọa độ được ký hiệu là ox x x1 2 3, ngoài ra hệ trục tọa độ còn được ký hiệu là oxyz vì vậy hệ thống ký hiệu ứng suất có thể viết dưới các dạng khác nhau sau:

2.2 Các phương trình vi phân cân bằng

Khi cho môi trường chịu tác dụng của các ngoại lực:

- Lực thể tích: là các lực phân bố bên trong không gian của môi trường và được ký

hiệu: f ; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: fi

- Lực bề mặt: là các lực phân bố trên bề mặt của môi trường và được ký hiệu: f*; khi chiếu lên 3 trục tọa độ xi ký hiệu tương ứng là: *

i

f

Ta tưởng tượng chia môi trường ra thành các phần tử bằng các mặt phẳng vuông góc với các trục tọa độ, nếu căn cứ vào ngoại lực tác dụng thì có thể phân thành 2 loại phần tử:

34

- Phần tử loại 1: là các phần tử chỉ chịu tác dụng của lực thể tích;

- Phần tử loại 2: là phần tử chịu tác dụng cả lực thể tích và lực bề mặt

2.2.2 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 1

Xét tại một điểm bất kỳ trong vật

thể nghiên cứu, tách ra một phân tố có

kích thước dx dx dx1 2 3 Trên 8 mặt của

phân tố có các thành phần ứng suất như

hình 2.5 Xét cân bằng phân tố, chiếu

các phương trình cân bằng lên 3 trục

35

2 13

2 23

Trường hợp cân bằng tĩnh thì vế phải bằng “0”; trường hợp cân bằng độ vế phải là giá

trị trong ngoặc (chính là các thành phần lực quán tính)

2.2.2 Định luật đối ứng ứng suất tiếp

36

2.2.3 Phương trình cân bằng cho phân tố loại 2

Khi thỏa mãn các phương trình cân

bằng (2.5) thì mới chỉ có các phân tố bên

trong thỏa mãn điều kiện cân bằng Để vật

thể cân bằng thì ngoài các phân tố bên

trong thỏa mãn điều kiện cân bằng, các

phân tố nằm giáp ngoài biên cũng cần

phải được thoả mãn điều kiện cân bằng

Do đó những điểm nằm trên bề mặt của

vật thể sẽ phải cân bằng với các ngoại lực

tác dụng trên bề mặt của vật thể như hình

2.6 Phương trình cân bằng viết cho các

phân tố giáp với bề mặt vật thể:

Hình 2.6 Ứng suất trên trên phân tố loại 2

38

2.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt

40

2.4 Tenxơ ứng suất

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất tại các mặt của phân tố lập phương tại điểm đó Trạng thái ứng suất của một điểm sẽ lập thành tenxơ hạng 2 hay còn gọi là tenxơ ứng suất Ký hiệu:

- Mặt chính: là mặt có ứng suất tiếp bằng không

- Phương chính: là phương của mặt chính

44

Giải phương trình (2.19) sẽ tìm được 3 nghiệm σ σ σ1; ;2 3 tương ứng với 3 ứng suất chính: σ σ σ1; ;2 3 của bài toán

Quy ước là: σ ≥ σ ≥ σ1 2 3

* Phương chính: Muốn tìm phương chính của ứng suất chính nào thì thay giá trị ứng

suất chính tướng ứng vào 2 trong 3 phương trình của hệ (2.17) và kết hợp với phương trình:

l +m +n =1 (2.20)

Ví dụ muốn tìm phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1, bằng việc ta đi giải

hệ phương trình:

46

2.6 Ứng suất tiếp lớn nhất

Gọi véctơ pháp tuyến của mặt cắt có ứng suất tiếp lớn nhất là v có cosin chỉ phương là

(l,m,n) Các thành phần ứng suất trên mặt cắt nghiêng chiếu lên ba trục tọa độ là

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

1 2

3

49

2.7 Ứng suất trên mặt bát diện

Ứng suất trên các mặt nghiêng đều với các phương chính của của trạng thái ứng suất tại một điểm được gọi là ứng suất trên mặt bát diện

Trạng thái ứng suất trên các mặt chính là:

l.p m.p n.p

31

51

2.8 Một số ví dụ

Ví dụ 2.1: Tìm ứng suất chính và phương của các ứng suất chính của trạng thái ứng suất

cho bởi tenxơ:

59

11 12 2

68

2.9 Bài tập

Bài 2.1

Trên hình vẽ 2.9 biểu diễn mặt cắt ngang

của thân đê (OAB) chịu tác dụng của áp lực

nước trên bờ OB

1 Hãy xác định điều kiện biên biết

Bài 2.2

Trong dầm chịu uốn mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh=1xh) như hình vẽ 2.10 Ta có

ứng suất trong dầm như sau:

72

b) Ứng suất chính tại điểm K(2,0, 2 2 )

c) Ứng suất tiếp cực trị tại K

b) Tìm ứng suất tại điểm P(4;4;7) trên mặt phẳng: 2.x1 + x2 −2.x3 = 2

c) Tìm ứng suất tại điểm P(4;4;7) trên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu:

x +x + x =64 tại P

d) Tính ứng suất chính và phương ứng suất chính tại P

e) Xác định ứng suất tiếp lớn nhất tại P

74

Bài 2.6

Hãy xác định tenxơ lệch biến dạng và phương chính, ứng suất chính của tenxơ lệch

ứng suất cho bởi tenxơ ứng suất: