skkn mới nhất skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đạo hàm

Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong việc đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THPT, việc rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh có vai trị quan trọng Việc giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, hình thành kĩ vận dụng kiến thức học vào tình mới, có khả phát giải vấn đề, có lực độc lập suy nghĩ biết lựa chọn phương pháp tối ưu Trong trình giảng dạy mơn tốn, dạng tốn liên quan tới đồ thị hàm đạo hàm, thấy nhiều em học sinh không làm tập làm có tính chất áp dụng cơng thức đơn giản Trong tốn liên quan tới đồ thị hàm đạo hàm phần kiến thức quan trọng ln có mặt đề thi Trung học phổ thông quốc gia (THPT QG) năm gần Hơn nữa, việc thay đổi hình thức thi THPT QG mơn tốn từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm Bộ GD&ĐT tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn việc dạy giáo viên việc học học sinh Hình thức thi trắc nghiệm địi hỏi cần có cách tiếp cận so với hình thức thi tự luận Việc đọc đồ thị hàm số thường đơn giản việc đọc giải vấn đề liên quan tới đồ hàm số phức tạp nhiều Do cần phải có hướng ơn tập tốt cho học sinh vấn đề Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nâng cao chất lượng môn nên thân chọn đề tài: Rèn luyện kĩ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm 1.2 Mục đích nghiên cứu Lự chọn đề tài này, mục đích nghiên cứu : Để học sinh thấy mối liên hệ đồ thị hàm số với vấn đề liên quan tới hàm số Từ có kĩ giải tốt tốn tương tự, đặc biệt có hiệu cao kì thi THPT QG 2018 - 2019 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà hướng đến đề tài là: Học sinh lớp 12, trực tiếp hai lớp giảng dạy : 12A3 12A4 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế: Tôi tiến hành lập phiếu thơng tin khảo sát tình hình học sinh việc giải tốn tính đơn điệu cực trị hàm số có liên quan đế đồ thị hàm số hai lớp trực tiếp giảng dạy 12A3 12A4 - Phương pháp thu thập thông tin: Tôi tiến hành thu thập thông tin liên quan đến đề tài thông qua viết mạng Internet, SGK Giải tích 12 Sau chọn lọc thơng tin phù hợp với đề tài Đồng thời thu thập thơng tin phản ứng học sinh toán liên quan tới hàm số - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tiến hành thống kê thơng tin, số liệu để xử lí kết thu thập được, phục vụ cho việc phân tích, đánh giá q trình nghiên cứu Giáo viên: Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Sự tương giao đồ thị hàm số với trục hoành Giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành ( ) nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm Ví dụ minh họa: Hàm số có đồ thị hình bên Suy phương trình có bốn nghiệm (Có tập nghiệm ) 2.1.2 Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số Bảng Hàm số đạt cực tiểu Hàm số đạt cực đại Bảng Hàm số đạt cực tiểu Hàm số đạt cực đại 2.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị Cho hàm số có đồ thị số thực dương Khi : + Đồ thị hàm số tịnh tiến đồ thị theo trục lên đơn vị + Đồ thị hàm số tịnh tiến đồ thị theo trục xuống đơn vị + Đồ thị hàm số tịnh tiến đồ thị theo trục sang phải đơn vị + Đồ thị hàm số tịnh tiến đồ thị theo trục sang trái đơn vị + Đồ thị hàm số gồm hai phần: - Phần 1: Phần không nằm bên trục - Phần 2: Phần đối xứng với phần bên trục qua + Đồ thị hàm số gồm hai phần: - Phần 1: Phần không nằm bên trái trục - Phần 2: Phần đối xứng phần qua trục 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Mơn tốn mơn nhà trường phổ thơng, có ý nghĩa quan trọng, lẽ học sinh không trang bị vốn kiến thức tốn học mà qua cịn góp phần rèn luyện cẩn thận, xác Việc dạy tốn nhà trường phổ thơng đặt thách thức lớn với giáo viên Bởi có thực tế đáng báo động tình trạng học sinh ngại học toán, thờ với với việc giải tốn trắc nghiệm có hình thức giải Và phủ nhận nguyên nhân số giáo viên chưa thực tạo đột phá việc đổi phương pháp dạy học nên hiệu thực chưa cao Vậy dạy cho hay, đạt hiệu cao, tạo hứng thú say mê cho học sinh thực vấn đề cần phải giải Trước yêu cầu đó, địi hỏi người giáo viên dạy tốn vừa phải nỗ lực để nâng cao trình độ chun mơn vừa phải nỗ lực trau dồi, củng cố thường xuyên kiến thức khoa học khác phương pháp, hình thức dạy học đại vào trình dạy học Để từ biết cách khơi gợi, lơi học sinh hăng say học tập, thích phát biểu ý kiến xây dựng Qua thực tế giảng dạy thân lớp: 12A3 12A4 lớp lực tư tốn em cịn nhiều hạn chế dẫn đến việc em khó khăn việc giải tốn có tính lạ, đặc biệt giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Kết khảo sát cụ thể sau: Khi chưa hướng dẫn cách giải toán liên quan tới hàm đạo hàm Lớp Số HS biết cách làm Số HS cách làm SL % SL % 12A3 (41 HS) 05 12.2 36 87.8 12A4 (44 HS) 05 11.4 39 88.6 Từ kết ta thấy, tình trạng học sinh khơng tự giải vấn đề chiếm tỷ lệ cao Nguyên nhân thực trạng là: Về phía học sinh: Do tâm lí đa số em ngại học toán, lực tính tốn cịn nhiều hạn chế, chí nhiều em gốc kiến thức số mảng Một phần việc giải tốn liên quan tới hàm đạo hàm khó có tài liệu viết vấn đề cách chi tiết Về phía nguyên nhân khách quan: sở vật chất, tài liệu minh họa, đồ dùng dạy học để phục vụ cho môn học chưa thực phong phú, đa dạng, sinh động Mặt khác, kiến thức số tiêt học nhiều dẫn đến em mệt mỏi, giảm hứng thú Về phía giáo viên: thân nhận thấy việc đầu tư thay đổi, vận dụng linh hoạt phương pháp dạy học áp dụng cách thường xuyên, liên tục Xuất phát từ thực trạng trên, lựa chọn đề tài vừa giúp em không nắm vững nội dung kiến thúc học mà cịn có kĩ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Đồng thời hướng tới hiệu làm cao kì thi THPT QG tới 2.3 Giải pháp cách thức thực skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm 2.3.1.Dạng : Tìm khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ 1: Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Cách thực :  Chỉ khoảng mà hàm sô nhận giá trị dương (âm) ?  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn D Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên sau: Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số - Nếu khoảng đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) đồng biến - Nếu khoảng đồ thị hàm số nằm trục hồnh (có thể tiếp xúc) nghịch biến - Nếu khoảng đồ thị hàm số vừa có phần nằm trục hồnh vừa có phần nằm trục hồnh loại phương án Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm bên trục hồnh Ví vụ 2: Cho hàm số Hàm số đồ thị hình bên Hàm số có đồng biến khoảng A B C D Cách thực :  Chỉ khoảng mà hàm sô nhận giá trị dương (âm) ?  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Chọn C Cách 1: Tính chất: có đồ thị đối xứng với qua nên nghịch biến đồng biến Ta thấy với Suy Khi Cách 2: nên nghịch biến đồng biến đồng biến biến khoảng Dựa vào đồ thị hàm số và ta có Ta có Hàm số đồng biến Ví vụ 3: Cho hàm số Hàm số đồ thị hình vẽ bên Hàm số khoảng A B y có y = f '( x ) đồng biến O -1 C D x Cách thực :  Chỉ khoảng mà hàm sô nhận giá trị dương (âm) ?  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn C Đặt nên Lập bảng xét dấu hàm số Lưu ý: Cách xét dấu skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm B1: Xét dấu  : ta có ngược lại tức khoảng cịn lại B2 : xét dấu (trong trái ngồi cùng) B3 : lập bảng xét dấu nhân dấu ta bảng Ví vụ 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình bên Hàm số đồng biến khoảng khoảng sau ? A B C D Cách thực :  Chỉ khoảng mà hàm sô nhận giá trị dương (âm) ?  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng (như hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị, suy Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với nằm phía đường thẳng nên ) đồ thị hàm số hàm số đồng biến 2.3.2 Dạng : Tìm cực trị hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số xác định có đồ thị hàm số đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số đạt cực đại B Hàm số đạt cực tiểu C Hàm số có cực trị skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm D Hàm số đạt cực đại Cách thực :  Chỉ điểm mà hàm số đổi dấu qua  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn A Giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm qua Ví dụ 6: Cho hàm số Biết có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ Hàm số đạt cực đại điểm ? A B C D Cách thực :  Chỉ điểm mà hàm số đổi dấu qua  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn B Cách 1 :  ; f '(x) Cách 2 : Đồ thị hàm số phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang phải đơn vị Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ giá trị hàm số dương sang âm qua điểm g'(x) đổi dấu từ skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Ví dụ 7: Cho hàm số Đồ thị hàm số Hàm số A C có đạo hàm hình vẽ bên đạt cực tiểu điểm B D Cách thực :  Chỉ điểm mà hàm số đổi dấu qua  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có Suy số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng Dựa vào đồ thị ta suy Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đạt cực tiểu Chú ý: Cách xét dấu bảng biến thiên sau: Ví dụ khoảng thấy đồ thị hàm nằm phía đường nên mang dấu ta Ví dụ 8: Cho hàm số có đạo hàm  đồ thị hàm số hình vẽ Xét hàm số Mệnh đề sau đúng? A Hàm số có sáu cực trị B Hàm số có năm cực trị C Hàm số có bốn cực trị skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm D Hàm số có ba cực trị Cách thực :  Chỉ điểm mà hàm số đổi dấu qua  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: Nhận xét: Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có ba cực trị Ví dụ 9: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồng thời đồ thị hàm số hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số A B C D Cách thực :  Chỉ điểm mà hàm số đổi dấu qua  Thiết lập mối liên hệ đồ thi hàm số yêu cầu toán đề ?  Hướng dẫn giải: Chọn C Dựa vào đồ thị, ta có Bảng biến thiên hàm số skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Xét Bảng biến thiên hàm số Vậy hàm số Chú ý: Dấu có điểm cực trị xác định sau: Ví dụ chọn   Theo giả thiết Từ suy khoảng Nhận thấy nghiệm đơn nên nghiệm Nghiệm nghiệm kép nên nghiệm này, bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm đến trình xét dấu 2.3.3 Luyện tập Bài 1: Cho hàm số Đồ thị hàm số hình bên Hàm số nghịch biến khoảng khoảng sau? A B C D đổi dấu qua không đổi dấu qua không ảnh hưởng Lời giải Chọn C Cách Dựa vào đồ thị, suy Ta có Xét Vậy nghịch biến khoảng Cách Ta có skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 10 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Theo đồ thị ta có: Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn C Chú ý: Dấu xác định sau: Ví dụ ta chọn suy Khi Nhận thấy nghiệm Bài 2: Cho hàm số nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Hàm số đồ thị hình vẽ Hàm số khoảng nghịch biến A B C có có D Lời giải Chọn B Cách Ta có Hàm số nghịch biến Vậy hàm số có khoảng nghịch biến Cách Ta có skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 11 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu xác định sau: Ví dụ xét khoảng  Với  Từ suy dấu Nhận thấy nghiệm Bài 3: Cho hàm số thị hình bên Hàm số khoảng ? A khoảng mang nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu Hàm số B có đồ nghịch biến C D Lời giải ; Chọn D Ta có Hàm số nên nghịch biến  Trường hợp 1:  Trường hợp 2: Kết hợp hai trường hợp ta Chọn D skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 12 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Cách Ta có Bảng biến thiên Cách Vì Suy dấu phụ thuộc vào dấu Yêu cầu toán cần Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình bên Đặt khẳng định sau ? A B C D Lời giải Chọn C Ta có Số nghiệm phương trình đường thẳng Dựa vào đồ thị, suy số giao điểm đồ thị hàm số (như hình vẽ bên dưới) Bảng biến thiên skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 13 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Dựa vào bảng biến thiên Chọn C Chú ý: Dấu xác định sau: Ví dụ xét khoảng thấy đồ thị hàm số nằm phía đường thẳng nên dấu Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình bên Hỏi ta mang hàm số đồng biến khoảng khoảng sau? A B C D Lời giải Chọn B Ta có Số số giao điểm đường thẳng nghiệm phương trình đồ thị hàm số (như hình vẽ bên ) Dựa vào đồ thị, suy Yêu cầu toán (vì phần đồ thị đường thẳng nằm phía ) Đối chiếu đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn Bài 6: Cho hai hàm số Hai hàm số có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số Hàm số đồng biến khoảng đây? A B C D Lời giải skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 14 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Chọn B Cách 1: Đặt , Ta có Để hàm số đồng biến với Vì Cách 2: Kẻ đường thẳng nên chọn B cắt đồ thị hàm số Khi ta có , Do Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có Dựa vào đồ thị, , ta có , , ; Suy Do hàm số đồng biến Bài 7: Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số Số điểm cực trị hàm số A B C D Lời giải Chọn A Ta thấy đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành cắt thực hai điểm Bảng biến thiên skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 15 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn A Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị có điểm chung với trục hồnh cắt băng qua ln trục hồnh có điểm nên có hai cực trị  Cắt băng qua trục hồnh từ xuống điểm cực đại  Cắt băng qua trục hồnh từ lên điểm cực tiểu Bài 8: Cho hàm số thị hàm số A C xác định có đồ hình vẽ Hàm số có điểm cực trị? B D Lời giải Chọn A Cách 1: có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương lên đơn vị Khi đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm, ta chọn đáp án A Cách 2: Số cực trị hàm số nghiệm bội lẻ phương trình Dựa vào đồ thị hàm ta thấy phương trình có nghiệm đơn Bài 9: Cho hàm số có đạo hàm hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số : A B C D Lời giải Chọn B Ta có: Khi Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ có đồ thị Dựa vào hình vẽ ta thấy phương trình có ba nghiệm đơn skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 16 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm Ta lập bảng xét dấu sau Dựa vào bảng xét dấu ta thấy dấu Vậy có hai điểm cực tiểu Bài 10: Cho hàm số đồ thị đạo hàm hàm số A thay đổi từ sang hai lần đồ thị hình bên Tìm số điểm cực trị B C D Lời giải Chọn B Ta có Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đối chiếu với đáp án, ta chọn B Chú ý: Dấu xác định sau: Ví dụ xét khoảng   Từ suy mang dấu Nhận thấy nghiệm nghiệm đổi dấu; nghiệm khoảng nên nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm bội chẵn (lí dựa vào đồ thị ta skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 17 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm thấy tiếp xúc với trục hoành điểm có hồnh độ ) nên qua nghiệm khơng đổi dấu 2.4 Hiệu thực nghiệm * Đối với học sinh: Đa số học sinh nắm kĩ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm, khơng cịn lúng túng xử lí dạng tốn * Đối với hoạt động dạy học: - Việc củng cố kiến thức học có hiệu cao hơn, khắc sâu kiến thức kĩ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm cho học sinh - Học sinh chủ động tham gia xây dựng *Đối với thân giáo viên : có thêm kinh nghiệm giảng dạy, tăng thêm động lực để tạo hứng thú học tập cho học sinh Kết qủa cụ thể qua lớp trực tiếp giảng dạy sau: Khi chưa áp dụng Sau áp dụng Số HS Số HS biết Số HS không Số HS biết Lớp lúng túng cách làm biết cách làm cách làm làm SL % SL % SL % SL % 12A3 05 12.2 36 87.8 25 61 16 39 (41 HS) 12A4 05 11.4 39 88.6 23 52,3 21 47.7 (44 HS) PHẦN 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Việc đổi phương pháp giảng dạy mơn tốn nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh yêu cầu cần thiết có vai trị quan trọng q trình giảng dạy giáo viên Đối với dạng toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm việc rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh mảng kiến thức quan trọng cần giáo viên dạy ý để định hướng cho em ôn tập đạt hiệu cao Với kinh nghiệm giải pháp thân giảng dạy dạng tốn này, tơi hi vọng nguồn tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp để từ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn tốn 3.2 Kiến nghị Nhìn chung, việc thực đổi phương pháp giáo dục việc làm riêng Bản thân giáo viên đứng lớp phải trăn trở, lựa chọn phương pháp dạy học cho phù hợp để truyền đạt kiến thức cách hiệu gây gứng thú học tập cho học sinh Để làm điều đó, theo tơi thân giáo viên cần phải thường xuyên học hỏi, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ Đối với tổ chuyên môn, cần tổ chức buổi thảo luận chuyên đề vấn đề khó xuất đề thi trắc nghiệm Đối với nhà trường cần trang bị thêm sở vật chất: Máy chiếu, phần mềm vẽ hình, trọn đề Tất skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 18 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm điều kiện nguồn động viên, kích thích say mê, sáng tạo hoạt động dạy học nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy giáo viên XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam kết : Đây SKKN thân tôi, không copy (Tác giả ký ghi rõ họ tên) Hoàng Minh Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2008) Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục (2000) Trần Thành Minh, Giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Giáo dục (2003) Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (2003) Các viết trang mạng Internet như: Toanmath.com, mathvn.com, diendantoanhoc.net, toanhocbactrungnam.vn DANH MỤC skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 19 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Hoàng Minh Thành Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên - Trường THPT Cẩm Thủy T T Kết đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; (A, B, Tỉnh ) C) Cấp đánh giá xếp loại Tên đề tài SKKN Năm học đánh giá xếp loại Rèn luyện kỹ giải toán tập hợp số phức cho học sinh Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2010-2011 Rèn luyện kĩ giải hệ phương trình phương pháp hàm số Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2015-2016 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham Giáo viên: Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy download by : skknchat@gmail.com 20 skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham skkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.hamskkn.moi.nhat.skkn.ren.luyen.ky.nang.giai.bai.toan.lien.quan.den.do.thi.cua.ham.dao.ham