40 bài toán mức độ 3 + 4 vận dụng + vận dụng cao

40 BÀI TOÁN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM LŨY THỪA, MŨ LOGARIT CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MỨC ĐỘ + 4: VẬN DỤNG + VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT Câu Cho ba số thức a;b;c khác Đồ thị hàm số y log a x, y log b x, y log c x cho hình vẽ A b  c  a B c  a  b C a  b  c D c  b  a Câu Cho n số nguyên dương, tìm n cho: l log a 2019  22 log a A 2019 2019   n log n a 2019 10102 2019 log a 2019 B 2018 C 2017 2017 Câu Cho a, b số thực f  x  a ln  D 2016  x   x  bx sin 2018 x  Biết f 5logc 6, tính giá trị   log biểu thức P  f  c với  c 1  A P   B P 6 C P 4 D P 2 Câu Đặt a log12 6, b log12 Hãy biểu diễn log theo a b b a a C D 1 a b b 1 Câu Cho ba số thực dương x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với A b a 1 B số thực dương a  a 1 log a x, log a y, log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tính giá trị 1959 x 2019 y 60 z   biểu thức P  y z x A 2019 Câu Cho f  x   A 1008 B 60 C 2019 2018 x   S  f Giá trị    2017  2018x  2018 B 2016 C 2017 D 4038   f     2017   2016  f   2017  D 1006 Câu Cho số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn x  y  z 1 Giá trị nhỏ biểu thức P  xy  yz  zx   A P   x  y  z  xy  yz  B P 5 Câu Cho  x  y  Đặt m  A m  C P 3 D P   y x   ln  ln  Mệnh đề sau đúng? y  x  1 y 1 x  B m  C m 4 D m  Câu Cho số a, b  thỏa mãn log a  log b 1 Giá trị lớn biểu thức P  log a  log b A log  log B log  log C  log  log3  D log  log Câu 10 Cho a b số thực dương khác Biết đường thẳng song song với trục tung mà cắt đồ thị y log a x, y log b x trục hoành A, B H ta có 3HA = 4HB (hình vẽ bên) Khẳng định sau đúng? A a 3b 1 B 3a 4b C a 4b3 1 Câu 11 Cho log ab b 3  a  0, b  0, ab 1 Tính log A B – ab D a b3  a  2 b  C – 10 D – 16 Câu 12 Cho a, b, c  Biết biểu thức P log a  bc   log b  ac   log c  ab  đạt giá trị nhỏ m log b c n Tính giá trị m  n A m  n 12 B m  n  25 C m  n 14 D m  n 10  4a  2b   Câu 13 Cho a,b hai số thực dương thỏa mãn log   a  3b  Tìm giá trị nhỏ  a b  biểu thức T a  b A B C D Câu 14 Cho đồ thị hàm số y e x hình vẽ, ABCD hình chữ nhật thay đổi cho B C thuộc đồ thị hàm số cho, AD nằm trục hoành Giá trị lớn diện tích hình chữ nhật ABCD là: A e B e C e D e Câu 15 Cho hàm số y  log  ln x  Khẳng định sau đúng? A Hàm số đạt cực tiểu x e B Tập xác định hàm số  1;   C Hàm số nghịch biến khoảng  1; e  D Hàm số đồng biến  e;      Câu 16 Cho biểu thức A log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log      Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây? A  log 2017;log 2018  B  log 2019;log 2020  C  log 2018;log 2019  D  log 2020;log 2021 2x x Câu 17 Cho hàm số f  x  3  2.3 có đồ thị hình vẽ sau Có mệnh đề mệnh đề sau? A (1) Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số (C) có hồnh độ x log (2) Bất phương trình f  x   có nghiệm (3) Bất phương trình f  x  0 có tập nghiệm   ;log  (4) Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số (C) điểm phân biệt B C D 3  1 Câu 18 Tích 2017!     1 cặp sau?   1           2017  2017 viết dạng a b ,  a; b  cặp A (2018;2017) B (2019;2018) Câu 19 Cho f  x     4x Tính tổng S  f   x  2019  2 A S  3032 B S  3023 C (2015;2014) C   f     2019  3026 Câu 20 Cho a,b số thực dương thỏa mãn D (2016;2015) D  2018  f   f  1  2019  3029 log a log Hỏi giá trị nhỏ biểu thức b P 4a  b  log  4a  b3  A log B 4  log C   log 3 ln ln D – Câu 21 Số 6303268125 có ước số nguyên? A 420 B 630 C 240 D 720 Câu 22 Xét số thực x; y thỏa mãn x  y  log x2  y  x  y  1 Giá trị lớn Pmax biểu thức P 2 x  y A  10 B 19  11 C  65 Câu 23 Xét số thực dương x; y thỏa mãn log Pmax biểu thức P  A x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 C Câu 24 Xét số thực dương x; y thỏa mãn log A 11  10 3x  y 1 x y 6 B Pmax biểu thức P  D D 3 x y  x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá trị x  y  xy  2 3x  y 1 x y 6 B C D Câu 25 Cho số thực a,b thỏa mãn điều kiện  b  a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P log a A  3b  1  8log 2b a  a B 3 C D   2017 x  x   bx sin 2018 x  với a,b số thực Câu 26 Cho hàm số f  x   a  1 ln f  log  6 Tính f   5log  A B – C D   Câu 27 Cho hàm số f  x  ln    Biết f    f  3   f  2018  ln a  ln b  ln c  ln d với a,b,c,d  x  số nguyên dương a,c,d số nguyên tố a  b  c  d Tính P a  b  c  d A 1986 B 1698 C 1689 D 1968 Câu 28 Cho a ; b độ dài hai cạnh góc vng, c độ dài cạnh huyền tam giác vng Trong  c  b  1  c  b  1 Kết luận sau đúng? A log c b a  log c  b a 2  log c b a   log c  b a  B log c b a  log c  b a  log c b a   logc  b a  C log c b a  log c  b a   log c b a   log c  b a  D log c b a  log c  b a   log c b a   log c  b a  Câu 29 Cho log 12  x;log12 24  y, log 54 168  axy  a,b,c số nguyên Tính giá trị bxy  cx biểu thức S a  2b  3c A B 19 Câu 30 Giả sử f  x  ln C 10 D 15 1 x  a b  Tập giá trị a, b thỏa mãn đẳng thức f  a   f  b   f   1 x   ab  A   a  1;   b  B   a 0;   b 0 C a b 0 D a  1;0 b  Câu 31 Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn log a b  ;log c d  Nếu a  c 9 b  d nhận giá trị A 85 B 71 C 76 Câu 32 Cho x, y số thực thỏa mãn  x  3 D 93 2   y  1 5 Giá trị nhỏ biểu thức y  xy  x  y  P x  y 1 A B C 114 11 D Câu 33 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a  b 7 ab Đẳng thức sau đúng? A log a b log a  log b B log  a  b  log a  log b C log a b 2 log a  log b D log a b log a  log b Câu 34 Ông An đầu tư vào thị trường nông sản số tiền xn , lợi nhuận ông xác định hàm số y  2e  x  log x Gọi x0 số tiền ông cần đầu tư để lợi nhuận thu lớn Tính giá e.x0  log  e  1 x0  trị biểu thức P log A P  ln B P  3ln C P  Câu 35 Xét số thực dương x, y thỏa mãn log trị Pmax biểu thức P  A 3ln 3 D P  ln x y x  x  3  y  y  3  xy Tìm giá x  y  xy  2 5x  y  x  y 3 B C D Câu 36 Trong tất cặp  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2  x  y   1 Tìm m để tồn cặp  x; y  cho x  y  x  y   m 0 A 13  13  C  13   B 13  D   13   13   Câu 37 Số 2017201820162017 có chữ số: A 147278481 B 147278480  Câu 38 Cho hàm số y    2018  khoảng (1;2) C 147347190 3x D 147347191 x e   m  1 e 1 Tìm điều kiện tham số m để hàm số đồng biến A 3e  m 3e3  B m 3e  C m  3e  D 3e3  m 3e    2017 Câu 39 Cho f  x  a.ln x x  x   b.x  2018 với a, b   Biết f  log  log e   2019 Tính giá trị f  log  ln10   A 2017 B 2020 Câu 40 Cho  x; y 1 thỏa mãn C 2018 D 2019 20181 x x  2019  Gọi M, m GTLN, GTNN 2018 y y  y  2020 2 biểu thức P  x  y   y  x   25 xy, M + m bao nhiêu? A 391 16 B 383 16 C 136 D 25 HƯỚNG DẪN GIẢI 1-B 2-A 3-A 4-B 5-D 6-A 7-D 8-A 9-A 10 - C 11 – D 12 – A 13 – B 14 - A 15 – D 16 - D 17 – B 18 - A 19 – D 20 – C 21 – D 22 – C 23 – C 24 – C 25 – D 26 – B 27 – C 28 – A 29 – D 30 – A 31 – D 32 – D 33 - A 34 – B 35 - D 36 – D 37 - A 38 – B 39 - A 40 – A Câu Chọn B Phương pháp: Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số để xét tính đơn điệu hàm số suy tính chất so sánh a, b, c Cách giải: Ta thấy đồ thị hàm số y log c x xuống   c  Đồ thị hàm số y log a x, y log b x lên hay hàm số đồng biến  a  1; b  Đồ thị hàm số y log a x nằm đồ thị hàm số y log b x  a  b Câu Chọn A Phương pháp: Biến đổi VT để xuất log a 2019 Sử dụng công thức 13  23  33   n3  n  n  1 Cách giải: 2 Ta có: VT 1 log a 2019  log a 2019   n2 log a 2019 13.log a 2019  23 log a 2019   n3 log a 2019  13  23   n3  log a 2019 VP 10102.20192.log a 2019 3 2 Có VT = VP      n  log a 2019 1010 2019 log a 2019 2 n  n  1  10102.20192   n  n   2020.2019   n 2019   0;    n  n 2020.2019 n  n  0n     n  2020   0;   Câu Chọn A Phương pháp: + Chứng minh 5logc 6logc + Biến đổi f  x  theo f   x  tính P Cách giải: log Đặt t 5 c  ln t log c 6.ln  2017 Ta có: P  f   t  a ln a ln 2017 t 1  t  ln 5.ln log c 5.ln  t 6log c ln c  t   t  bt sin 2018   t    bt sin 2018 t   a ln 2017   t   t  bt sin 2018 t    f  t      Câu Chọn B Phương pháp: Biểu diễn số theo hai giá trị giả thiết qua công thức thường sử dụng Cách giải: Ta có: log12 log12 Vậy log  12 1  log 12 a  log 12 1  a log12 b  log12  a Câu Chọn D Phương pháp: Bước Gọi q công bội cấp số nhân d công sai cấp số cộng Sử dụng giả thiết để thiết lập hệ phương trình mối liên hệ x,y,z q hệ log a x, log a y, log a z d Sử dụng kết để chứng minh q = Bước Khi q = x = y = z Thay vào biểu thức để nhận giá trị cần tính Cách giải: Bước 1: Gọi q công bội cấp số nhân d công sai cấp số cộng Khi theo giải thiết ta có  y qx  1 , hệ cho cấp số cộng hệ cho cấp số nhân   z qy q x log Từ (2) ta có:  log a a log  log a y log a x  d a z log a y  d  2 y log a x  d 2 log a y log a x  d  (3) z log a y  d 3log a z log a y  d log a x  2d Thay (1) vào (3) ta có: 2log a  qx  log a x  d 2log a x  2log a q log a x  d d 2log a q  log a x        3log a z log a y  d log a x  2d 3log a  q x  log a x  2d 6log a q  2log a x 2d   Thay (4) vào (5) ta nhận log a q 0  q 1 Bước Thay q = vào (1) ta nhận x = y = z 1959 x 2019 y 60 z   1959  2019  60 4038 Do P  y z x Câu Chọn A Phương pháp: Tính f(x) f(1 – x) tìm mối liên hệ f(x) f(1 – x) Cách giải: f  x   2018 x 2018 x  2018 2018 20181 x 2018 2018 2018x f 1 x     1 x x 2018 2018  2018 2018  2018.2018 2018  2018 x  2018 2018x f  x  f 1 x  2018 x 2018  1 x 2018  2018 2018  2018 x   Ta có: S  f    2017    f     2017       f   2017   2016    f     2017         f   2017     f 1     2017     2006  f   2017    f   2017    2015   f       2017      f   2017   1008  f   2017     f       2017     1009   f   2017    1008   1008   f 1   f 1   2017   2017   1    (có 1008 số 1) = 1.1008 = 1008 Câu Chọn D Phương pháp: Biến đổi điều kiện cho trước biểu thức P đặt ẩn phụ tìm giá trị nhỏ hàm thu Cách giải: 2 Từ gt ta có: x  y  z 1   x  y  z   xy  yz  zx 1   x  y  z  1  xy  yz  zx Thay vào biểu thức P ta có: P  xy  yz  zx    xy  yz  zx    x  y  z 2  xy  yz   xy  yz  zx    xy  yz  zx  xy  yz   xy  yz  zx   Ta có:  x  y  z  0  x  y  z   xy  yz  xz  0    xy  yz  zx  0   xy  yz  zx   Dấu “=” xảy  x  y  z 0 x  y  z 1 Lại có xz  x z  1 1 x  z     y     xz   2 2 Hay giá trị nhỏ xz   x  z (vì tích âm nên hai số trái dấu)   y 0  x  y  z 0  y 0  1    2 Vậy  xy  yz  zx     xảy   x  y  z 1   x  z   x  2  x  z  x 1      z     y 0    x    z   Đặt t xy  yz  xz  t  1 tìm giá trị nhỏ P t   t  1 t 3 Xét f  t  t   f  t  2t   t  1 t 3  t  3  2t  t  3   t  3  2t  12t 18t   t  3 2   t 1  t    t  3 Thấy f  t   0t  nên giá trị nhỏ f  t    1;   f   1 1   Vậy minP =     y 0  y 0   1    x  x  2     1  z  z  2   Câu Chọn A Phương pháp: Biến đổi biểu thức cho theo m sau xét hàm đặc trưng đánh giá trường hợp xảy theo m Cách giải: Ta có: m   y x   ln  ln   * với  x  y  y  x  1 y 1 x  1 t  t Xét hàm số f  t  ln  0t   0;1   t  1  f  t   t  1 t t 1 t  1 t 10  f  t  hàm đồng biến (0;1) nên với y  x f  y   f  x  y x  y x   ln 0  ln  ln  0 m0 1 y 1 x y  x  1 y 1 x   ln Ta có:  *  ln y x x y  ln my  mx  mx  ln my  ln  1 1 y 1 x 1 x 1 y Xét hàm đặc trưng g  u  mu  ln g  u  m  u ;0  u  1 u h u  mu  mu    u 1 u  u 1 u  u 1 u  Vì m  nên h  u  tam thức bậc hai  u  nên u   u    dấu g  u  dấu h  u   h u  0  h  u  0  g  u  0 Nếu hay g  u hàm nghịch biến (0;1) nên g  x  g  y   x  y (mâu thuẫn gt x  y ) nên (1) xảy h  u  có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) Xét h  u  0   mu  mu  0  mu   u  1  m    có hai nghiệm phân biệt thuộc u 1 u  (0;1) Xét   u   2u  1 0  u   tm  ,  u  có   u   2 u 1 u   u  u2  BBT   u  trên(0;1) u    u     u +  Từ BBT để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0;1) m > Câu Chọn A 2 2 Phương pháp: Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:  ax  by   a  b   x  y  Cách giải: Với a, b  1;log a  log b 1  P2  log a  log b   log 2.log a  log 3.log b   log3  log 3  log a  log b   log  log  Vậy P  log  log Câu 10 Chọn C 11 Cách giải: Giả sử H  x0 ;0  , x0 1, x0  Khi tọa độ điểm A  x0 ;log a x0  , B  x0 ;log b x0  3HA 4 HB  log a x0 4 log b x0  3log a x0  log b x0 (vì A B nằm khác phía so với Ox)  log a x0 4   log a b   3log a b   log a b3   b3 a   a 4b3 1 logb x0 3 Câu 11 Chọn D Phương pháp: Sử dụng công thức hàm logarit: log a b  b ;log a  bc  log a b  log a c;log a   log a b  log a c;log a b n n log a b logb a c Cách giải: Ta có: log ab b 3   3log b a  1  log b a   log  ab  a    log b  ab a  log log b  ab  3   log b a  log b b  1  log a b  ab b 2 log ab a  log ab b 2    12   12  16 log a ab  log a b 1 Câu 12 Chọn A Phương pháp: Đặt log a c x;log b c  y;log a b z  x, y , z  a, b, c  1  x  yz để tìm GTNN P  m  n Cách giải: Đặt log a c x;log b c  y;log a b z  x, y, z  a, b, c  1  x  yz P log a  bc   log b  ac   log c  ab  log a b  log a c   1   log b c     log a b  log a c log b c  4  1  4   Cosi  z  x   y    z     x     y      10 z x y  z  x  y 12 Pmin  z 1 m 10  10   x 2  log b c  y 2    m  n 12 n    y 2  Câu 13 Chọn B Phương pháp: Biến đổi giả thiết để sử dụng hàm đặc trưng Xét tính chất hàm đặc trưng từ tìm mối liên hệ a,b Biến đổi biểu thức T đánh giá T theo đẳng thức Cách giải:  4a  2b   Ta có: log   a  3b   log  4a  2b    log  a  b  a  3b   a b   log5  4a  2b     4a  2b   log  a  b   5a  5b   log  4a  2b     4a  2b   log  5a  5b    5a  5b  Xét hàm f  x  log5 x  x, x   f  x     0x   f  x  hàm đồng biến tập xác x ln định Khi đó: f  4a  2b    f  5a  5b   4a  2b  5a  5b  a  3b  15  5  Xét T a  b   3a  b   b 10b2  30b  25  10b     10  2  Vậy Tmin  a     b   Câu 14 Chọn A Phương pháp: +) Biểu diễn tọa độ đỉnh A,B,C,D theo ẩn x +) Tính diện tích hình chữ nhật theo x sau tìm giá trị lớn diện tích cách dùng hàm số  x x Cách giải: Gọi D  x;0   C  x; e  ; A   x;0  ; B  x; e Khi AB e  x ; AD 2 x  S ABCD 2 x.e  x 2  với x  2 2 x x x x Xét hàm số y 2 x.e , x   y 2.e  x.e 2.e   x  0  x  2 BBT y 2 x.e  x , x  x y +   13 y   Từ BBT suy max y  y  x   e  2 Câu 15 Chọn D Phương pháp: A xác định A 0, log a b xác định  a 1; b  +) Tìm TXĐ hàm số +) Sử dụng điều kiện tính đồng biến nghịch biến hàm số Cách giải: x    Ta có: y  log  ln x  có đk ln x  log ln x 0   2 log  ln x     y   2 log  ln x  x.ln x.ln log  ln x  x 1  x e nên TXD D  e;     x e  0x  e nên hàm số đồng biến  e;   Câu 16 Chọn D Phương pháp: Dựa vào đánh giá bất đẳng thức log x  xx  1, với hàm số logarit    Cách giải: Ta có: A log 2017  log 2016  log 2015  log   log   log     log  2017  log 2016   log  2017   log 2020  A  log 2020 Áp dụng bất đẳng thức log x  xx  1, ta có   2015  log 2014  log   log   log    2015  2014  log   log   log    2015  2014  2013       2017.2014 Khi log 2016  log 2015  log   log   log       log  2016  2017.2014 4   A   log 2020;log 2021 Vậy A  log  2017   log 2021   Câu 17 Chọn B Phương pháp: - Giải phương trình f  x  0 - Quanh sát đồ thị hàm số, đánh giá đồng biến, nghịch biến số giao điểm đồ thị hàm số với đường thẳng y = 2x x x x x Cách giải:  2.3 0     0  2  x log 3 x  0x   Mệnh đề (1) 14 Quan sát đồ thị hàm số ta thấy: +) Bất phương trình f  x   vô số nghiệm  Mệnh đề (2) sai +) Bất phương trình f  x  0 có tập nghiệm  log 2;    Mệnh đề (3) sai +) Đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số (C) điểm  log 2;0   Mệnh đề (4) sai Vây có tất mệnh đề Câu 18 Chọn A Phương pháp: Quy đồng, tính phân số để đưa tính số hạn Cách giải:  1 Ta có: 2017!     1   1           2017  2017  3 2017!.2    2    2018         2017  2017 1 1 20182017 2017! 20182017 a b   a; b   2018; 2017  2016 2017 Câu 19 Chọn D Phương pháp: Chú ý quan trọng toán giá trị ngoặc có tổng 1, từ xác định tổng hai giá trị có giá trị khơng đổi để tính tổng Cách giải: Ta có: f  x    f  x  f 1 x    Khi f    2019  4x 41 x  f  x    4x  41 x  4x 41 x 4x 4x      1 x 1 x x x x    2.4  4  2  4x  2018    f  1; f    2019   2019    Vậy S  f    2019    f     2019   2017  f  1 …và f  1   2019  2018 3029  2018  f     f  1   2019  Câu 20 Chọn C Phương pháp: Tìm mối liên hệ biến giả thiết, đưa khảo sát hàm số với điều kiện ẩn Cách giải: Ta có: 2 log a log  log a log  b b Đặt t 4a  b3 b3  256 b3 b3 256    3 b6 2 b Khi P  f  t  t  log t  f  t  1   3 a   a b b b3 b3 256 12  t   12;   2 b6  0t 2 t.ln  f  t  hàm đồng biến  12;    f  t   f  12  Vậy giá trị nhỏ P Pmin 12  log 12 12  4.log  3.2  4   log  Câu 21 Chọn D 15 Phương pháp: Sử dụng cơng thức tính ước ngun số Giả sử A a m b n A có số ước nguyên  m  1  n  1 Cách giải: Ta có 6303268125 54.35.7 3.112 Suy 63032681252 có   1   1   1   1 720 ước số nguyên Câu 22 Chọn C Phương pháp: Dựa vào giả thiết, đánh giá đưa tổng bình phương, từ biểu thức P đưa hạng tử tổng bình phương áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki tìm giá trị lớn 2 Cách giải: Vì x  y   y log x2  y f  x  hàm số đồng biến tập xác định 2 2 Khi đó: log x2  y2  x  y  log x2  y  x  y   x  y x  y  13  13    x  x  y  y 0   x  x  1   y  y      x  1   y    4 2   2 Xét biểu thức P ta có: P 2 x  y 2  x  1  y  7    x  1  y  P  2 2 2  3   65   2 x   y    x   y      Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:               65 Pmin   7 65  65  65    P    P    2 2   P   65  max 2 Câu 23 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x y  x  x    y  y  3  xy  1 x  y  xy  2 x  y  xy    x  3x  y  y  xy  log  x  y   log  log  x  y   3x  y log  log  x  y    3x  y log  log  3x  y   3x  y log x 3 x Đặt f  t  log t , t   f  t    y  xy    x  y  xy x 2  y  xy    x  y  xy   y  xy    x  y  xy      0t   f  t  đồng biến  0;   t ln    f  3x  y   f  x  y  xy    3x  y x  y  xy   x  y  xy  12 x  12t  0 16 2   x  y    x  y     y  1 0  2 x  y 5 Khi P  3x  y 1 2x  y   x  y  0 1  1  x  y 6 x  y 6 x  y    x  y  0  Vậy Pmax =   y  0  x 2   y 1 Câu 24 Chọn C Phương pháp: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trình, từ đánh giá giá trị lớn biểu thức Cách giải: log x y  x  x    y  y  3  xy  1 x  y  xy  2 x  y  xy    x  3x  y  y  xy  log  x  y   log  log  x  y   3x  y log  log  x  y    3x  y log  log  3x  y   3x  y log x 3 x Đặt f  t  log t , t   f  t    y  xy    x  y  xy x 2  y  xy    x  y  xy   y  xy    x  y  xy      0t   f  t  đồng biến  0;   t ln    f  3x  y   f  x  y  xy    3x  y x  y  xy   x  y  xy  12 x  12t  0 2   x  y    x  y     y  1 0  2 x  y 5 Khi P  3x  y 1 2x  y   x  y  0 1  1  x  y 6 x  y 6 x  y    x  y  0  Vậy Pmax =   y  0  x 2   y 1 Câu 25 Chọn D Phương pháp: Chứng minh  3b  1 b Biến đổi đặt t log a b, đưa hàm số f  t  tìm GTNN hàm số Cách giải:  3b   0  9b  12b  0   3b  1 9b   log a  3b  1 b  3b  1 log a b 2 log a b 17 8log 2b  a log 2a  b a  log a b  1 Đặt t log a b, ta có P 2t   t  1  1 f t TXD: D  \  1 Ta có: f  t  2  f  3 2.3  16  t  1 0   t  1 8  t 3  7  f  t  7  P 7 22 Câu 26 Chọn B Phương pháp: Biến đổi f   x  theo f  x  Cách giải:   f  x   a  1 ln 2017 x  x   bx sin 2018 x     f  x    a  1 ln 2017 x  x   bx sin 2018 x  f   x    a  1 ln 2017  x     x  x    bx sin    bx sin 2018   x  2017  a  1 ln 2017  x  x   bx sin 2018 x  a  1 ln    a  1 ln 2017 x  2018 x  x 1  bx sin 2018 x x   f  x     f  x    f   x   f  x    f   5log   f  5log    f  log5      Câu 27 Chọn C b Phương pháp: Phân tích, sử dụng cơng thức log a  bc  log a b  log a c; log a   log a b  log a c c   a 1; b, c   Cách giải: Xét hàm số f  x  [2;2018] ta có:  x2     f  x  ln    ln   ln  x  1 ln  x  ln  x  1  ln x  ln  x  1  x   x   f    f  3   f  2018 ln1  2ln  ln  ln  2ln  ln   ln 2017  2ln 2018  ln 2019 ln1  ln  ln 2018  ln 2019  ln  ln  ln 2019  ln  ln 673 ln  ln  ln 6733  ln1009 18 a 3 b 4     tm   P a  b  c  d 1689 c  673  d 1009 Câu 28 Chọn A Phương log a pháp: Sử dụng công log a b  thức   a, b 1 , log b a a  b c , f  x log a f  x   log   a 1, f  x  , g  x    g  x Cách giải: log b c a  log c  b a  log  c  b   log a  c  b  1   a log a  c  b  log a  c  b  log a  c  b  log a  c  b  Có a c  b  c  b   c  b    c  b   a2 c b  log a  c  b   log a  c  b  log a  c  b   log a  log c b a  log c  b a  a2 log a  c  b    log a  c  b  2 c  b2 2 log c b a.log c  b a log a  c  b  log a  c  b  Câu 29 Chọn D Phương pháp: Sử log a b  log a c log a dụng công thức log a b.log b c log a c, log a b  log a c log a  bc  , b (giả sử biểu thức cho có nghĩa) c Cách giải: xy log 12.log12 24 log 24 log  7.24a  a.log 24  log 24a  log 7 log 54 168    log 24b.12c  7.24 a  b c b c   b.log 24  c.log 12 log 24  log 12 log  24 12  7.24a 168  b c  24 12 54  a 1  a 1   3b  2c 1   3b b c c  3 2.3 b  c 3  a 1  b   tm  c 8   S a  2b  3c 1      3.8 15 Câu 30 Chọn A Phương pháp: +) Tìm TXĐ hàm số +) Sử dụng công thức log a x  log a y log a xy  x, y  0;0  a 1 Cách giải: Đk: 1 x     x 1 1 x 19 f  a   f  b  ln   a    b  ln   a  b   ab 1 a 1 b  ln ln 1 a 1 b   a  b   ab 1 a 1 b a b 1 a  b    ab ln  ab   a  b  f  ln a b  ab   a  b    ab  1  ab  a b   f  a  f  b  f   a, b    1;1   ab  Câu 31 Chọn D x Phương pháp: log a b x  a b 5 Cách giải: log a b   b a ;log c d   d c 4  2 Do b, d số nguyên  đặt a  x , c  y  x, y     a  c  x  y   x  y  9  x  y 1  x 5  x 5        2  x  y 9  y 2  y 4 b 53 125  b  d 93  d 2 32 Câu 32 Chọn D Phương pháp: 2 Từ phương trình  x  3   y  1 5 x  y x  y  vào P Phân tích tử theo mẫu rút gọn Đặt ẩn phụ Sử dụng bất đẳng thức Buniacopxki để tìm điều kiện ẩn phụ sử dụng BĐT Cauchy để đánh giá GTNN P Cách giải: Từ giả thiết: x  x   y  y  5  x  y  x  y  P y  xy  x  y  y  xy  x  y  x  y   x  y 1 x  y 1 P x  y  xy  x  y  x  x  y  1  y  x  y  1  4  x  y  x  y 1 x  y 1 x  y 1 Đặt y x  y  P t  t 1 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có   x  3   y  1       x  3   y  1  25    x  3   y  1 5   x  y  5  t 10 Áp dụng BĐT Cauchy ta có t   4 4  P 3 Dấu “=” xảy  t    t 1 t 1 t 1 20