Ôn tập toán 26

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐHSP HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM TOÁN HỌC Câu Trong hàm số đây, hàm số đồng biến  ? x B y 2 A y sin x y log x C y  x D Câu Cho số phức z1 1  2i, z2 2  3i, z3 i Modul số phức z1  z2  z3 A B 34 C D Câu Bác An muốn gửi số tiền số tiền 50 triệu đồng vào ngân hang với lãi suất kép kì hạn tháng 0, 35% /tháng’ hỏi sau năm tháng số tiền lãi gốc mà bác An thu bao nhiêu? Biết lãi suất hang tháng không thay đổi A 50.881.164 Đồng B 50.881.146 Đồng C 50.881.140 Đồng D 50.881.160 Đồng x m Câu Giá trị thực m để phương trình A   ;    B x m   2;0  4 C x có hai nghiệm phân biệt 22 3;   D 2 3;     10 ;10  Câu Tổng tất nghiệm phương trình cos x  3cos x  0 đoạn 50 10 40 A B C D y  f  x Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ y -1 O x Đồ thị hình bên đồ thị hàm số đưới đây? 4 A y  x  3x  B y  x  x  C y  x  x  Câu Cho f  x  dx 6, f  x  dx 5  Tính f  x  dx  D y  x  x   B A Câu Cho hàm số A f  x  C D 11 x  1 x  x  Tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số C D Câu Gọi A, B hai điểm cực trị hàm số y  x  3x  Diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) A B B C D Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vuông cạnh a , SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy G trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách  SBD  từ G đến mặt phẳng 2a A 2a B a C a D Câu 11 Cho hình trụ có bán kính đáy a , thiết diện qua trục hình vng Diện tích xung quanh hình trụ 2 A 4 a B 2a C 2 a D 4 A  1; 2;1 , B  3;  1;  , C  0;0;3 , D  2;  3;0  Câu 12 Cho tứ diện ABCD có Thể tích tứ diện ABCD 11 11 22 22 A 42 B 42 C 42 D 42 2 S  :  x  1   y     z   4  Oxyz Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ cho mặt cầu Diện tích mặt cầu A 4 B 8 C 16 D 2  x 2  3t x y z    ,  d  :  y   2t  d1  : 2  z 3  t Oxyz  Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ cho  vng thẳng   góc với đường thẳng  Vectơ sau một vectơ phương đường  u   3;  4;1 u   3; 4;1 u  3; 4;1 u  3;  4;1 A B C D Câu 15 Cho tập hợp A có 12 phần tử Số hốn vị 12 phần tử tập hợp A 12! A B 11! C 13! D 12! Câu 16 Một hộp có 12 viên bi đánh số từ đến 12 Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để tổng số ghi viên bi số chẵn A 11 B 11 C 11 D 11 log  x 1   log  5x  1 2 x , x x x Câu 17 Gọi hai nghiệm phương trình Tổng 156 32 26 log log log log 25 25 25 25 A B C D 4  z  1   1 Câu 18 Có số phức z thỏa mãn điều kiện  z   A B C D Câu 19 Cho hàm số y sin x  Mệnh đề sau đúng? A.Hàm số hàm số lẻ B Hàm số hàm số chẵn 2x x y'  cos x  y '  cos x 1 2 x 1 x 1 C D y  f  x y  f ' x Câu 20 Cho hàm số xác định liên tục  Hàm số có đồ thị đoạn   1;1 hình vẽ Tính f  1  f   1 y 3 A B -1 O -1 O x C D x 1 x  x Câu 21 Tổng số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số A B C D SA   ABCD  , SA a Câu 22 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , , gọi M  SBD  trung điểm SC Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a a a a A B C D y ìï x = t ìï x = ïï ïï ï d1 : í y = d2 : ïí y = t2 ïï ïï ïï z = ïï z = Oxyz ỵ ỵ Câu 23 Trong khơng gian với hệ tọa độ , cho ba đường thẳng , , ìï x = ïï d3 : ïí y = ïï ïï z = t3 H ( 3;2;1) d d ỵ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cắt ba đường thẳng , , d3 A , B , C cho H trực tâm tam giác ABC 2x + 2y + z - 11 = A B x + y + z - = C 2x + 2y - z - = Câu 24 Cho hai đường thẳng song song D 3x + 2y + z - 14 = d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d đường thẳng lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác có ba đỉnh chọn từ 25 điểm phân biệt nói A C10C15 B C10C15 1 C C10C15  C10C15 1 D C10C15 C10C15 Câu 25 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y cos x  cos x Khi M  m bao nhiêu? M m  M m  A B Câu 26 C M m  D M m  A  1;1;1 B  0;1;  C   2;0;1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , ,  P : x  y  z  0 N  P 2 cho S 2 NA  NB  NC đạt giá trị nhỏ  3 3  N ; ;  N  ; ; 2 N 3;5;1 N  2;0;1      A  4  B C D  2  n 4  Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số Câu 27 Tập A gồm n phần tử Tìm điểm tập hợp chứa phần tử tập A Số k thỏa mãn để số tập hợp chứa k phần tử A lớn nhất: A k 7 B k 9 C k 10 D k 8 x    m  x  m 0 Câu 28 Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương trình có  0;1 nghiệm thuộc khoảng  3; 4  2; 4 A B C  2;  D  3;  II PHẦN TỰ LUẬN w   2i  z Câu 29 Cho số phức z 2  3i Tìm phần thực, phần ảo số phức Câu 30 Cho khối tứ diện ABCD có BC 3, CD 4, RABC RBCD RADC 90 Góc hai  ABC   ACD  ? đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng Câu 31 Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị đường cong  C hình bên Hàm số f  x đạt f  x1   f  x2  0 cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị  C ; M , N, K giao điểm  C với trục hoành; S diện tích hình phẳng gạch hình, S2 diện tích tam giác NBK Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường trịn Tính tỉ số S1 S2 ……………………… HẾT………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Trong hàm số đây, hàm số đồng biến  ? A y sin x x B y 2 y log x C y  x Lời giải D Chọn B f  x  2 x  ln  0x   Ta có x Vậy hàm số y 2 đồng biến  Câu Cho số phức z1 1  2i, z2 2  3i, z3 i Modul số phức z1  z2  z3 A Ta có: B 34 C Lời giải D z1  z2  z2 1  2i   3i  i 3  4i  z1  z2  z2  33   25 5 Câu Bác An muốn gửi số tiền số tiền 50 triệu đồng vào ngân hang với lãi suất kép kì hạn tháng 0,35% /tháng’ hỏi sau năm tháng số tiền lãi gốc mà bác An thu bao nhiêu? Biết lãi suất hang tháng không thay đổi A 50.881.164 Đồng B 50.881.146 Đồng C 50.881.140 Đồng D 50.881.160 Đồng Lời giải Chọn B Số tiền gốc lãi mà bác An thu sau năm tháng T 50.000.000   0,35%  50.881.146 x m Câu Giá trị thực m để phương trình A   ;    Chọn C B   2;0  Đồng x m 4  x có hai nghiệm phân biệt    3;  C Lời giải D 2 3;     x  m x m 22 x  x  m x  m 2 x  x   m   x  m 0  1 Phương trình Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt dương  m      m    12    m       m   m   m 22 m   m       Pt (1) có hai nghiệm phân biệt dương   10 ;10  Câu Tổng tất nghiệm phương trình cos x  3cos x  0 đoạn 50 10 40 A B C D Lời giải Chọn A  cos x 1  cos x  3cos x  0    cos x   Phương trình x    10 ;10   x    10 ,  8 ,  6 , 0, 2 , 10   S1 0 TH1 cos x 1  x k 2 Vì   x   k 2  cos x     x    k 2  TH2 x  * x *  7 25   29 23  k 2  x   , ; , 0, , ,  3 3     25 19   k 2  x   , , ,0   S  S3 0 3   Vậy tổng tất nghiệm phương trình S1  S  S3 0 y  f  x Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ y -1 x Đồ thị hình bên đồ thị hàm số đưới đây? 4 A y  x  3x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x  x  Lời giải Chọn D Từ đồ thị suy hàm số hàm số bậc bốn có hệ số a  , có hồnh độ điể cực trị x 0, x  1, x 1 Suy đồ thị đồ thị hàm số y  x  x  Câu Cho A 7 f  x  dx 6, f  x  dx 5  f  x  dx  Tính B C D 11 Lời giải Chọn D Ta có f  x  dx f  x  dx  f  x  dx 6  11 1 Câu Cho hàm số A f  x  x  1 x  x  Tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số B C Lời giải D Chọn B  x   x  x  0     x  ĐK: x 1 đồ thị hàm số đường tiệm cận đứng Câu Gọi A, B hai điểm cực trị hàm số y  x  3x  Diện tích tam giác OAB ( O gốc tọa độ) A B C Lời giải D Chọn A  x  y ' 3 x   y ' 0    x   Ta có Giả sử A  1;  1 , B   1;3  AB :  y 3  y   1 x  y 1   x  y  0  AB 2 5, d  O; AB    2 5  S OAB  AB.d  O; AB  1 Câu 10 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy G trọng tâm tam giác SAB Khoảng cách  SBD  từ G đến mặt phẳng 2a A 2a B a C Lời giải Chọn B d  G;  SBD   Ta có d  H ;  SBD    SG 2   d  G;  SBD    d  H ;  SBD   SH 3 HQ  BD   SHQ    SBD  Từ H hạ a D HI  SQ  d  H ;  SBD    HI Từ H hạ a 1 a 2a HQ  OA      HI   d  G;  SBD    2 HI SH HQ Ta có Câu 11 Cho hình trụ có bán kính đáy a , thiết diện qua trục hình vng Diện tích xung quanh hình trụ 2 A 4 a B 2a C 2 a D 4 Lời giải Chọn A Vì thiết diện qua trục hình vng  l h R a  S xq 2 Rl 2 a 2.a 4 a A  1; 2;1 , B  3;  1;  , C  0;0;3  , D  2;  3;0  Câu 12 Cho tứ diện ABCD có Thể tích tứ diện ABCD 11 11 22 22 A 42 B 42 C 42 D 42 Lời giải Chọn B      AB  2;  3;1 , AC   1;  2;  , AD  1;  5;  1   AB, AC    4;  5;  1 Ta có       AB, AC  AD 11   VABCD   42  AB, AC    2 S : x  1   y     z   4 Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu    Diện tích mặt cầu A 4 B 8 C 16 D 2 Lời giải Chọn C 2 Từ phương trình mặt cầu ta có R 2  S 4 R 4 16  x 2  3t x y z    ,  d  :  y   2t  d1  : 2  z 3  t Oxyz  Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ cho  vng thẳng   góc với đường thẳng  Vectơ sau một vectơ phương đường  u   3;  4;1 u   3; 4;1 u  3; 4;1 u  3;  4;1 A B C D Lời giải Chọn B   u d1  2;1;  , u d2  3; 2;1 Ta có       d1  ud , ud    3; 4;1  u     2   d2  Vì Câu 15 Cho tập hợp A có 12 phần tử Số hoán vị 12 phần tử tập hợp A 12! A B 11! C 13! D 12! Lời giải Chọn D P 12! Số hoán vị 12 phần tử tập hợp A 12 Câu 16 Một hộp có 12 viên bi đánh số từ đến 12 Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để tổng số ghi viên bi số chẵn A 11 B 11 C 11 D 11 Lời giải Chọn A  C122 66 Số phần tử không gian mẫu C 15 TH1 Hai viên bi lấy chẵn  số cách lấy hai viên bi C 15 TH2 Hai viên bi mang số lẻ  số cách lấy hai viên bi 15  15 P  66 11 Vậy xác suất để lấy hai viên bi có tổng hai số ghi bi chãn: x 1 x x1 , x2 hai nghiệm phương trình log    log   1 2 Tổng x1  x2 156 32 26 log log log log 25 25 25 25 A B C D Lời giải Chọn A  log 5  5x  1 log  x  1  0  log 52  x  1  log  x  1  0 Phương trình  x 6  x log  log  x  1 1 156     x 26    x1  x2 log 26 x   x log 25  log   1     25  25 Câu 17 Gọi    z  1   1 Câu 18 Có số phức z thỏa mãn điều kiện  z   A B C Lời giải Chọn A   z  1    1 z 1        z  12  z 0   z      1  1 i  z 1   z  1  z     z    1    1 i  z 1   z   z      i  1 i   z   z    z 1 1 i    z   i   z  Vậy có số phước phức thỏa mãn điều kiện D Câu 19 Cho hàm số y sin x  Mệnh đề sau đúng? A.Hàm số hàm số lẻ B Hàm số hàm số chẵn 2x x y'  cos x  y '  cos x 1 2 x 1 x 1 C D Lời giải Chọn B Vì sin   x  sin x  nên hàm số cho hàm số chẵn y  f  x y  f ' x Câu 20 Cho hàm số xác định liên tục  Hàm số có đồ thị đoạn   1;1 hình vẽ Tính f  1  f   1 y O -1 A O 1 C Lời giải -1 B x D Chọn D 1  S 2      y  f '  x  , x  1, x 1, Ox 2  Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bới 1  f '  x  dx  f  x    f  1  f   1  1 y x 1 x  x D Câu 21 Tổng số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số A B C Lời giải Chọn B x 1 x y   x  x   x  1  x   x    x  1 x   Ta có Vì đk x 1 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng mà có đường tiệm cận ngang y 0     SA   ABCD  , SA a Câu 22 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng cạnh a , , gọi M  SBD  trung điểm SC Khoảng cách từ M đến mặt phẳng a a a a A B C D Lời giải Chọn A S A B d  M ;  SBD   Ta có d  C ;  SBD    M H D O C SM 1   d  M ;  SBD    d  C;  SBD    d  A;  SBD   SC 2 AH  SO  AH   SBD   d  A;  SBD    AH Từ A hạ 1 1 a  2     AH  2 SA AO a a a Trong tam giác SAO vuông O có AH  d  M ;  SBD    a ìï x = t ìï x = ïï ïï ï d1 : í y = d2 : ïí y = t2 ïï ïï z = ï ïï z = ïỵ î Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba đường thẳng , , ìï x = ïï d3 : ïí y = ïï ïï z = t3 H ( 3;2;1) d d ỵ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm cắt ba đường thẳng , , d3 A , B , C cho H trực tâm tam giác ABC A 2x + 2y + z - 11 = B x + y + z - = C 2x + 2y - z - = D 3x + 2y + z - 14 = Lời giải Chọn A A ( a;0;0) B ( 1;b;0) C ( 1;0;c) Gọi , , uuu r uuu r uuu r uuur AB = ( 1- a;b;0) , BC = ( 0;- b;c) , CH = ( 2;2;1- c) , AH = ( - a;2;1) Yêu cầu tốn uuu r uuu r uuu r ïìï éAB,BCù.CH = ú ïï ê ë r uuu r û ïï uuu Û í AB.CH = ïï uuu r uuur ïï BC.AH = ïï ỵ ìï 2bc + 2c( a - 1) + ( 1- c) b( a - 1) = ïï Þ 9b2 - 2b3 = Û íï a = b + ïï ïï c = 2b ỵ éb = ê ê êb = ê ë Nếu b = 0suy A º B (loại) ỉ ỉ9 11 ữ ỗ ỗ ữ ữ A ;0 ;0 B 1; ;0ữ ỗ ỗ ữ ữ b= ỗ ỗ ÷ ÷ C ( 1;0;9) 2 ( ABC) è ø è ø Nếu , tọa độ , , Suy phương trình mặt phẳng 2x + 2y + z - 11 = Câu 24 Cho hai đường thẳng song song d1 , d Trên đường thẳng d1 lấy 10 điểm phân biệt, d đường thẳng lấy 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác có ba đỉnh chọn từ 25 điểm phân biệt nói A C10C15 B C10C15 1 C C10C15  C10C15 Lời giải: 1 D C10C15 C10C15 Chọn D Số tam giác lập thuộc vào hai loại sau d d Loại 1: Gồm hai đỉnh thuộc vào đỉnh thuộc vào 2 d Số cách chọn hai điểm 10 thuộc : C10 d Số cách chọn điểm 15 điểm thuộc : C15 Loại có: C10 C15  tam giác d1 hai đỉnh thuộc vào d2 d Số cách chọn điểm 10 thuộc : C10 d Số cách chọn hai điểm 15 điểm thuộc : C15 Loại 2: Gồm đỉnh thuộc vào Loại có: C10 C15  tam giác 1 Vậy có tất cả: C10C15  C10C15 tam giác thỏa yêu cầu toán Câu 25 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y cos x  cos x Khi M  m bao nhiêu? M m  M m  A B M m  C Lời giải D M m  Chọn A Ta có y 2cos x  cos x  Đặt t cos x   t 1  y 2t  t   y ' 2t  1  f   1 0, M  m 2   8 Vậy y ' 0  t  Câu 26  1 f     , f  1 2  4 A  1;1;1 B  0;1;  C   2;0;1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho , ,  P : x  y  z  0 Tìm điểm N  P 2 cho S 2 NA  NB  NC đạt giá trị nhỏ  3 N ; ;  A  4  B N  3;5;1 C Lời giải N   2;0;1 3  N  ; ; 2  D  2 Chọn A 3   5 I   1; ;  J  0; ;  2   4  Gọi I trung điểm BC J trung điểm AI Do  1 S 2 NA2  NI  BC 4 NJ  IJ  BC 2 Khi  P Do S nhỏ NJ nhỏ Suy J hình chiếu N   x t   NJ :  y   t    z   t Phương trình đường thẳng  x  y  z  0   x t  x       y  y   t 4     z   t z 4  Tọa độ điểm J nghiệm hệ:   n 4  Biết số tập hợp chứa phần tử A 20 lần số Câu 27 Tập A gồm n phần tử tập hợp chứa phần tử tập A Số k thỏa mãn để số tập hợp chứa k phần tử A lớn nhất: A k 7 B k 9 C k 10 D k 8 Lời giải Chọn B Số tập chứa k phần tử A là: Cnk Ta có: Cn4 20Cn2  n 4, n    K 18 k1 18 C C  k k 1 C18 C18 n! n! 20   n    n  3 240  n 18 4! n   ! 2! n   ! 18! 18!   k ! 18  k  !   k  1 ! 19  k  !   18! 18!    k ! 18  k  !  k  1 ! 17  k  ! Ta có: 19  k k 17 19   k   k 9 2  k  18  k x    m  x  m 0 Câu 28 Tìm tập hợp giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng  0;1 A  3; 4 B  2; 4 C  2;  D  3;  Lời giải Chọn C PP1: Giải tự luận x  3.2 x    m   m 0  1  x 1 m Ta có: x  3.2 x f  x  x  xác định  , có Xét hàm số x x 12 x.ln  x.ln  3.2 x.ln f  x    0, x   x    f  x nên hàm số đồng biến   x   f    f  x   f  1   f  x   f   2, f  1 4 Suy  1 có nghiệm thuộc khoảng  0;1 m   2;  Vậy phương trình PHẦN TỰ LUẬN w   2i  z Câu 29 Cho số phức z 2  3i Tìm phần thực, phần ảo số phức Lời giải Ta có w   2i  z   2i    3i  2  3i  4i  6i 8  i Do a 8, b  Vậy phần thực , phần ảo  Câu 30 Cho khối tứ diện ABCD có BC 3, CD 4, RABC RBCD RADC 90 Góc hai  ABC   ACD  ? đường thẳng AD BC 60 Tính cosin góc hai mặt phẳng Lời giải: Ta dựng AE   BCD  dễ dàng chứng minh BCDE hình chữ nhật Khi R  AD, BC  RADE 600 ta suy AE 3  VABCD 6 Mặt khác ta ý cơng thức tính nhanh: VABCD  S ABC S ACD sin   ABC  ,  ACD   AC Do đặt R   ABC  ,  ACD   α theo định lý Pythagoras ta suy AB  43; AD 6; AC 2 13 3 Khi đó: 43 1   43   12  sin α  cos α  43 13   Câu 31 Cho hàm số bậc ba y  f  x có đồ thị đường cong  C hình bên Hàm số f  x đạt f  x1   f  x2  0 cực trị hai điểm x1 , x2 thỏa Gọi A, B hai điểm cực trị đồ thị  C ; M , N, K giao điểm  C với trục hồnh; S diện tích hình phẳng gạch hình, S2 diện tích tam giác NBK Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn Tính tỉ số S1 S2 Lời giải Kết tốn khơng thay đổi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới) Do f  x hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ tâm đối xứng  C sang trái cho điểm uốn  O N   f '  x  k  x  a  Đặt x1  a, x2 a , với a  với k  1   f  x  k  x  a x  3   xM  a 3, xK a Có MAKB nội tiếp đường tròn tâm O  OA OM a 3   f  x1   OA2  x12  f   a  a  k   a  a  a  k  2a   Có  f  x  21  x  a2 x   2a   S1   a 3 2 a2  f  x  dx   x  x  2a  12  a S  S AMO   2 a 1 f   a  MO  a 2.a  a 2 S1 3  Vậy S2