Ôn tập toán 19

TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ĐỀ THI ĐÁNH GIÁ NÂNG LỰC ĐH SƯ PHẠM HÀ NỘI MƠN TỐN Mã đề thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm) Câu x Tìm đạo hàm hàm số y  x A y   ln  Câu B y  x ln  x C y   x ln  Cho hai số phức z1 1  2i , z2   i Tìm số phức z z1 z2 A z 5i B z  5i C z 4  5i x D y   x D z   5i Câu Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất khơng thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 10 năm Câu Gọi S  tổng   tất ln x  ln mx  x  m A S 14 Câu Câu giá trị nguyên m để bất phương trình  nghiệm với x thuộc  Tính S B S 0 C S 12 D S 35  3    ;10  Số nghiệm thực phương trình 2sin x  0 đoạn là: A 12 B 11 C 20 D 21 Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? y 2 1 O x 1 A y  x  x  Câu Cho hàm số f  x B y  x  3x  C y  x  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a ; b D y  x  x  f  a   , f  b   b T f  x  dx a A T  C T 6 B T 2 D T  Tính Câu Cho hàm số y  f  x có báng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho là: A B C D Câu Cho hàm số y  x ln x Chọn khẳng định khẳng định sau: A Hàm số đạt cực tiểu x e B Hàm đạt cực đại x e 1 x x e e C Hàm đạt cực tiểu D Hàm đạt cực đại Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên: a √3 A a √2 B 2a √ C a D Câu 11 Cho hình nón có bán kính đáy cm, góc đỉnh 60 Tính thể tích khối nón 3 cm3 A B 3 cm Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D   4;  2;9  B D   4; 2;9  Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm qua điểm A có phương trình x  1 A  2 C I  1; 0;  1  y   z  1 3 8 cm3 D 3 cm3 C A  1;0;3 D  4;  2;9  B  2;3;   C   3;1;  , Tìm A  2; 2;   x  1 B  , 2 D D  4; 2;   Mặt cầu  S tâm I  y   z  1 3 x  1  y   z  1 9 x  1  y   z  1 9 C  D  Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com M  1;  3;  Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm , đường thẳng d : x2 y z   5  mặt phẳng  P  : x  z  0 Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d song song với  P  x  y 3 z    1 2 A  : x  y 3 z    1 2 B  :  x  y 3 z    2 C  : x  y 3 z 4   1 D  : Câu 15 Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh? 2 A C10 B A10 C 10 10 D Câu 16 Hộp A có viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Hộp B có viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy có màu 91 44 88 45 A 135 B 135 C 135 D 88 x x x1 Câu 17 Phương trình  2 có nghiệm âm? A B C Câu 18 Cho số phức z a  bi a b A  thỏa mãn B y  f  x  sin x Câu 19 Cho hàm số A  a, b    y   y 4 Câu 20 Cho hàm số f  x z z D  z  2  z  i  C số thực Tính D Đẳng thức sau với x ? B y  y  0 C y  y 0 D y  y tan x liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích phần   A ,  B  A  Câu 21 Hàm số A Tích phân B y log3  x  x   2;   cos x f  5sin x  1 dx C D  nghịch biến khoảng nào? B    ;0  C  1;    D  0;1 Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt đáy đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB 4a , AD 3a , SB 5a Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SBD  12 41 a 41 A B 41 a 12 12 61 a 61 C D 61 a 12 S : x  1   y  1   z  1 1 Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    điểm A(2; 2; 2) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) M thuộc mặt phẳng cố định có phương trình A x  y  z – 0 B x  y  z  0 C 3x  y  z – 0 D 3x  y  z – 0  O  Số tam giác có đỉnh Câu 24 Cho đa giác 40 đỉnh A1 A2 A40 nội tiếp đường tròn 40 đỉnh gấp lần số hình chữ nhật có đỉnh 40 đỉnh trên? A 20 B 37 C 52 D 40  1;1 Câu 25 Cho hàm số y 2 x  x  m Trên  hàm số có giá trị nhỏ  Tính m ? A m  B m  C m  D m  2 S : x   y  3   y   4 Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   Xét hai điểm M , N di động  S 2 cho MN 1 Giá trị nhỏ OM  ON B   A  10 C   x  1  x  x    thành đa thức  Câu 27 Hệ số x khai triển C14 C14 A B C C14 6 Câu 28 Cho phương trình m    2021; 2021 A 2022 ln  x  m   e x  m 0 D   D 4C14 , với m tham số thực Có giá trị nguyên để phương trình cho có nghiệm? B 4042 C 2019 D 2021 II PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm) Câu 29: Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 nghiệm phức phương trình z  z  36 0 Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD có diện tích 16cm , diện tích mặt bên cm Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2 Câu 31: Cho hàm số f ( x ) ax  bx  cx  g ( x) mx  nx có đồ thị hình bên Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số (phần gạch chéo hình vẽ) HƯỚNG DẪN GIẢI Câu x Tìm đạo hàm hàm số y  x y  x ln  A y   ln  B Chọn A  x   x ln    Câu ln  x D y   x x Cho hai số phức z1 1  2i , z2   i Tìm số phức z z1 z2 A z 5i B z  5i C z 4  5i Lời giải Chọn A Ta có Câu x  a   a ln a x Dạng tổng quát C y   x Lời giải D z   5i z1.z2   2i     i    i  4i  2i   5i  5i = Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ra? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 10 năm Lời giải Chọn B Gọi x số tiền gửi ban đầu N 6,1  6,1    x x         100   100  Theo giả thiết N N 6,1        N log  1,061 11,  100  Vậy sau 12 năm người thu số tiền thỏa yêu cầu Câu S Gọi tổng tất giá trị nguyên m để bất phương trình ln  x   ln  mx  x  m  A S 14 nghiệm với x thuộc  Tính S B S 0 C S 12 D S 35 Lời giải Chọn C Ta có: 2 7 x  mx  x  m   m  x  x   m 0  1     ln  x   ln  mx  x  m  mx  x  m   mx  x  m     1 ,   Bất phương trình cho với x   bất phương trình với x   Xét   m  x  x   m 0  1  1 trở thành  x 0  x 0 Do m 7 khơng thỏa mãn + Khi m 7 ta có  1 với x   + Khi m 7 ta có m  7  m  m      ' 0  m 5  m 9  m 5   4    m  0  2 Xét mx  x  m    trở thành  x   x  Do m 0 khơng thỏa mãn + Khi m 0 ta có   với x   + Khi m 0 ta có m  m  m      '  m    m   m    4  m  Từ Câu     m   3; 4;5 ta có  m 5 Do m  Z nên Từ S 3   12  3    ;10  Số nghiệm thực phương trình 2sin x  0 đoạn là: A 12 B 11 C 20 D 21 Lời giải Chọn A    x   k 2   x  7  k 2 sin x   Phương trình tương đương: , ( k  )  3  2 61  k 2    k 2 10  k  6 12 , k   + Với , k   ta có , k   k 5 , k   Do phương trình có nghiệm x  7 3 7 4 53  k 2    k 2 10  k  6 12 , k   + Với , k   ta có , k    k 4 , k   Do đó, phương trình có nghiệm x + Rõ ràng nghiệm khác đôi một,  7   k 2   k 2  k  k   6 (vơ lí, k , k  )  3    ;10  Vậy phương trình có 12 nghiệm đoạn Câu Đường cong hình bên đồ thị bốn hàm số Hàm số hàm số nào? y 2 1 O x 1 A y  x  x  B y  x  3x  C y  x  x  Lời giải Chọn B Từ đồ thị loại đáp án A C Dựa vào hai điểm cực trị hàm số ta chon đáp án Câu f  x Cho hàm số D y  x  x  B có đạo hàm liên tục đoạn  a ; b f  a   , f  b   b T f  x  dx a A T  C T 6 Lời giải B T 2 D T  Chọn D b Ta có: Câu T f  x  dx a Cho hàm số y  f  x  f  x b a  f  b   f  a   có báng biến thiên sau: Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số cho là: A B C D Lời giải Tính Chọn B Nhìn bảng biến thiên ta thấy x=0 hàm số không xác định nên x=0 TCĐ đồ thị hàm số lim f  x  3  y 3 x   TCN đồ thị hàm số lim f  x  1  y 1 x   TCN đồ thị hàm số Vậy hàm số có tiệm cận Câu Cho hàm số y  x ln x Chọn khẳng định khẳng định sau: A Hàm số đạt cực tiểu x e B Hàm đạt cực đại x e 1 x x e e C Hàm đạt cực tiểu D Hàm đạt cực đại Lời giải Chọn C D  0;  Tập xác định: y ln x  x ln x  x y 0  ln x   x  e Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu x e Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a chiều cao a Tính khoảng cách từ tâm O đáy ABCD đến mặt bên: a √3 A a √2 B 2a √ C Lời giải Chọn B a D Gọi M trung điểm CD Kẻ OH vng góc SM Ta chứng minh:   OH   SCD   d O,  SCD  OH a OM SO a OM  ; OH   2 OM  SO Câu 11 Cho hình nón có bán kính đáy cm, góc đỉnh 60 Tính thể tích khối nón 3 cm3 A 8 cm3 D 3 cm3 C Lời giải B 3 cm Chọn C A B C H Cắt hình nón mặt phẳng qua trục, ta thiết diện tam giác ABC cân đỉnh A hình nón   Do góc đỉnh hình nón BAC 60 , suy HAC 30 Bán kính đáy R HC 2 cm  HC AH  2 cm tan 30 Xét AHC vuông H , ta có 3 V   R AH  3 cm Thể tích khối nón: Câu 12 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D   4;  2;9  B D   4; 2;9  C Lời giải A  1;0;3 D  4;  2;9  , B  2;3;   C   3;1;  , Tìm D  4; 2;   D Chọn A D x; y; z  Gọi  Để ABCD hình bình hành  x    AB DC   1;3;      x;1  y;  z    y   D   4;  2;9   z 9    Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm qua điểm A có phương trình x  1 A   x  1 C I  1; 0;  1  y   z  1 3  x  1 D A  2; 2;   x  1 B   y   z  1 9 Mặt cầu  y   z  1 3  y   z  1 9  S tâm I Lời giải Chọn D R IA   22  ( 2) = Vậy phương trình mặt cầu  x  1 2  y   z  1 9 M  1;  3;  Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm , đường thẳng d : x2 y z   5  mặt phẳng  P  : x  z  0 Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với d song song với  P  x  y 3 z    1 2 A  : x  y 3 z    2 C  : x  y 3 z    1 2 B  :  x  y 3 z 4   1 D  : Lời giải Chọn C  ud  3;  5;  1 d Đường thẳng có vectơ phương   P  có vectơ pháp tuyến n  2;0;1 Mặt phẳng  P  nên có vectơ phương Đường thẳng  qua M vng góc với d song song với      u  ud , n    5;  5;10  u1  1;1;   hay x  y 3 z    2 Vậy phương trình đường thẳng  là: Câu 15 Có cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh? 2 A C10 B A10 C 10 10 D Lời giải Chọn A Mỗi cách chọn hai học sinh từ nhóm gồm 10 học sinh tương ứng với tổ hợp chập 2 tập có 10 phần tử Vậy số cách chọn học sinh từ 10 học sinh C10 Câu 16 Hộp A có viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Hộp B có viên bi trắng, viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi, tính xác suất để hai viên bi lấy có màu 91 44 88 45 A 135 B 135 C 135 D 88 Lời giải Chọn B Số phần tử không gian mẫu: 15.18 270 Số cách chọn từ hộp viên bi sau cho viên bi màu là: 4.7  5.6  6.5 88 88 44  Vậy xác suất cần tìm 270 135 10 x x x1 Câu 17 Phương trình  2 có nghiệm âm? A B C Lời giải D Chọn B  x     1 L   2  2x x  x  3  3 x x x    2   2.4        0 x x x1     2  2 Ta có:  2  x log 2 Vậy phương trình cho khơng có nghiệm âm  a, b    Câu 18 Cho số phức z a  bi a b A  thỏa mãn B z z  z  2  z  i  C Lời giải số thực Tính D Chọn B  a, b    Ta có z a  bi +)  a  3 z   z   a   bi  a   bi  2  b2   a  1  b2   a  3  b  a  1  b   4a  0  a 2 +)  z    z  i   a  bi    a  bi  i    a    bi   a   b  1 i  a  a    b  b  1   a  2b   i  z  2  z  i  số thực  a  2b  0 Thay a 2 tìm b  Vậy a  b 0 y  f  x  sin x Câu 19 Cho hàm số A y   y 4 Đẳng thức sau với x ? B y  y  0 C y  y 0 Lời giải Chọn B y 2 cos x , y  4sin x y   y sin 2 x  cos 2 x 1  3cos 2 x y  y 4sin x  4sin x 0 y  y 8sin x 11 D y  y tan x y tan x 2 cos x Câu 20 Cho hàm số f  x sin x 2sin x cos x liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích phần   A ,  B  A  Tích phân cos x f  5sin x  1 dx C Lời giải B D  Chọn A Theo giả thiết ta có f  x  dx 3 1 f  x  dx  suy f  x  dx  1 Đặt t 5sin x   dt 5cos x dx  Khi Câu 21 Hàm số A 4 1 cos x f  5sin x  1 dx  f  t  dt  f  x  dx   1 1 y log3  x  x   2;   nghịch biến khoảng nào? B    ;0   1;   C Lời giải D Chọn B Hàm số y log3  x  x  y  2x   x  x  ln Ta có Bảng biến thiên: có tập xác định D    ;0    2;    Khi y 0  x 1 12  0;1    ;0  Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y nghịch biến Câu 22 Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt đáy đáy ABCD hình chữ nhật Biết AB 4a , AD 3a , SB 5a Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  SBD  12 41 a 41 A B 41 a 12 12 61 a 61 C D 61 a 12 Lời giải Chọn A S 5a D C 3a 4a A B Ta có: Ta có SA  SB  AB   5a    4a  3a d  C ,  SBD   d  A,  SBD   h Tứ diện ASBD có cạnh AB, AD, AS đơi vng góc với AB 4a, AD 3a, AS 3a nên ta có 1 1 1 41 12 a 41  2  2 2 2 2  h 2 h AB AD AS 16a 9a 9a 144a 41 12a 41 d  C ,  SBD    41 Vậy 2 S : x  1   y  1   z  1 1 Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu    điểm A(2; 2; 2) Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) M thuộc mặt phẳng cố định có phương trình A x  y  z – 0 B x  y  z  0 C 3x  y  3z – 0 D 3x  y  z – 0 Lời giải Chọn B 13 M A I  S có tâm I  1;1;1 bán kính R 1  S Do IA      R nên điểm A nằm mặt cầu 2 AMI vuông M : AM  AI  IM     M thuộc mặt cầu  S  có tâm A bán kính 2 S  :  x     y     z   2  Ta có phương trình M   S    S  Ta có  x  1   y  1   z  1 1  I  2 x   y   z          Tọa độ M thỏa hệ phương trình  2  x  y  z  x  y  z  0  I    2  x  y  z  x  y  z  10 0  x  y  z  0  x  y  z  0 Ta có  O  Số tam giác có đỉnh Câu 24 Cho đa giác 40 đỉnh A1 A2 A40 nội tiếp đường tròn 40 đỉnh gấp lần số hình chữ nhật có đỉnh 40 đỉnh trên? A 20 B 37 C 52 D 40 Lời giải Chọn C Số tam giác có đỉnh 40 đỉnh là: C40 Đa giác cho có 40 đỉnh nên có 20 đường chéo qua tâm O Mỗi hình chữ nhật thỏa đề tương ứng với tổ hợp chập 20 đường chéo ngược lại Vậy số hình chữ nhật có đỉnh 40 đỉnh đa giác là: C20 Suy số tam giác gấp số hình chữ nhật là: C40 : C20 52  1;1 Câu 25 Cho hàm số y 2 x  x  m Trên  hàm số có giá trị nhỏ  Tính m ? A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn C 14 Xét   1;1 có y 6 x  x  x 0    1;1   x 1   1;1 y 0  x  x 0 Khi y   1   m y    m y  1   m ; ; y   m Ta thấy   m    m   m nên   1;1 y  Theo ta có   1;1 nên   m   m  2 S : x   y  3   y   4 Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu   Xét hai điểm M , N di động  S 2 cho MN 1 Giá trị nhỏ OM  ON B   A  10 D   C  Lời giải Chọn A  S I  0;3;   , bán kính R 2    2 OM  ON  OI  IM  OI  IN Mặt cầu có tâm Ta có:    2OI IM  IN       (vì M , N di động  S  nên IM IN R )      OI NM cos OI , NM  2OI NM  10 2OI NM   Dấu xảy OI , NM ngược hướng   2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức OM  ON  10  x  1  x  x    thành đa thức  Câu 27 Hệ số x khai triển C14 C14 A B C C14 Lời giải 6 D 4C14 Chọn B Xét khai triển 1  x 1  x  x      x  10  4  4 6 10  10 k 10  k C10 k 0  2x  k 4 C  k k k 10 x k 0 1 26 C14  C14  C14 4 Vậy hệ số x Câu 28 Cho phương trình m    2021; 2021 ln  x  m   e x  m 0 , với m tham số thực Có giá trị ngun để phương trình cho có nghiệm? 15 A 2022 B 4042 C 2019 Lời giải D 2021 Chọn D Điều kiện: x  m   x  m et  t ln  x  m   x  m et t  m e x Đặt , ta có hệ phương trình sau:  Suy x  t et  e x  e x  x et  t Xét hàm số f  x  e x  x , có  * f  x  e x   0, x    f  x  đồng biến khoảng   ;   Ta thấy  * có dạng f  x   f  t   x t x x Khi ta có phương trình x  m e  m e  x Xét hàm số g  x  e x  x , có g  x  e x  1; g  x  0  e x 1  x 0 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm m 1 m    2021; 2021  m   1; 2; ; 2020; 2021 m Mà  nên ta có Tức có 2021 số nguyên m thỏa mãn đề Câu 29: Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 nghiệm phức phương trình z  z  36 0 Tính tổng T  z1  z2  z3  z4 Lời giải  z 9  z 3    z   z 2i Ta có : z  z  36 0 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm : z1 3 , z2  , z3 2i , z4  2i 16  T  z1  z2  z3  z4 10 Câu 30: Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD có diện tích 16cm , diện tích mặt bên cm Tính thể tích V khối chóp S ABCD Lời giải S D A C O B M 2 Ta có S ABCD  AB 16 cm  AB 4 cm  AO 2 cm Gọi M trung điểm AB Khi SM  AB S SAB  SM AB 8 cm  SM 4 cm SA  SM  AM 2 13 cm SO  SA2  AO 2 11 cm 1 32 11 V  S ABCD SO  16.2 11  cm 3 3 2 Câu 31: Cho hàm số f ( x) ax  bx  cx  g ( x) mx  nx có đồ thị hình bên Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số (phần gạch chéo hình vẽ) Lời giải 17 Phương trình hồnh độ giao điểm:  ax  bx  cx  mx  nx  ax  (b  m) x  (c  n ) x  0 Đặt h( x) ax  (b  m) x  (c  n) x  Vì h( x ) 0 có nghiệm x 2, x  1, x 1 nên h( x) a( x  1)( x  1)( x  2) a ( x  1)( x  2) Mà ta có h(0) 2a 4  a 2 Suy h( x) 2( x  1)( x  2) 2 37 S  h( x) dx  2( x  1)( x  2) dx  1 1 Vậy diện tích hình phẳng 18