Lý thuyết + vdmh lý thuyết về phương trình mặt phẳng

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LÍ THUYẾT Oxyz phương trình dạng Ax  By  Cz  D 0 với A2  B  C  đuợc gọi VÍTrong DỤ MINH HỌA  khơng gian phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (P) :  n pháp tuyến ( A; B; C )  Mặt phẳng   P qua điểm pháp tuyến có dạng Nếu   P  : Ax  By  Cz  D 0 M o  xo ; yo ; zo   P  : A  x  xo   B  y   P  có cặp vectơ    n  ( A ; B ; C ) n nhận vectơ , 0 làm vectơ yo   C  z  z0  0   a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 )  P 2 với A  B  C  Có vecto khơng phương ,có giá song song   n  a, b   P nằm vectơ pháp tuyến xác định  Các trường hợp riêng mặt phẳng : 2 Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax  By  Cz  D 0 , với A  B  C  Khi đó:  D 0 (  ) qua gốc tọa độ A 0, B 0, C 0, D 0 ( ) song song với trục Ox  A 0, B 0, C 0, D 0 ( ) song song mp  Oxy  D D D x y z a  , b  , c  ( ):   1 A , B , C , D  a b c A B C Khi  Đặt  Vị trí tương đối hai mặt phẳng  ' ' ' ' Trong không gian Oxyz cho mp(  ) : Ax  By  Cz  D 0 (  ’): A x  B y  C z  D 0  (  ) cắt (  ’)   AB '  A ' B   BC '  B ' C CB ' C ' B  (  ) // (  ’)   AB '  A ' B   BC ' B ' C CB ' C ' B   AB '  A ' B  BC ' B ' C   CB ' C ' B  AD '  A ' D  (  ) ≡ (  ’)      n1.n2 0  A A ' B.B ' C.C ' 0     Đặc biệt: ( ) ( ’)  Góc hai mặt phẳng:  0o  90o  Gọi  góc hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D 0  Q  : A ' x  B ' y  C ' z  D ' 0     n P nQ A.A'  B.B ' C.C ' cos = cos(n P , nQ )     nP nQ A2  B  C A '2  B '2  C '2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh AD '  A ' D Hình học tọa độ Oxyz M  m;0;0  N  0; n;0  VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm , 1   3 P  0; 0; p  MNP  p m n p m n Với , , số dương thay đổi thỏa Mặt phẳng  qua điểm: A F  3;3;3   1 1 E ; ;  B  3   1 1 H   ; ;  C  3  D G  1;1;1 Lời giải Chọn B x y z   1 MNP   m n p Phương trình mặt phẳng là: 2 S : x  1   y     z  3 12 VÍ DỤ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu    mặt phẳng  P  : 2x  y  đường tròn C z  0  C Gọi  Q mặt phẳng song song với  P cắt  S theo thiết diện cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn giới hạn tích lớn Phương trình mặt phẳng  x  y  z  0  x  y  z  11 0 A   Q  x  y  z  0  x  y  z  0 B   x  y  z  0  x  y  z  0  x  y  z  17 0  x  y  z  0 1 C  1 1 D  1 1 E ; ;    3    1  MNP  qua  3  3m 3n p Mà: m n p Vậy mặt phẳng Lời giải Chọn A Mặt cầu  S có tâm I  1;  2;3 Gọi r bán kính đường trịn bán kính R 2 C  Q H hình chiếu I lên 2 Đặt IH  x ta có r  R  x  12  x Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 V  IH S  C    x. 12  x    12 x  x3  3 Vậy thể tích khối nón tạo  Gọi f  x  12 x  x với f  x  12  3x Ta có Bảng biến thiên : ;  x  0;  Thể tích nón lớn  f  x đạt giá trị lớn f  x  0  12  3x 0  x 2  x 2 16 Vmax   16  3 x IH 2 Vậy Mặt phẳng  Q  //  P  nên  Và d  I ;  Q   IH  Q : 2x  y  z  a 0 2.1       a 2     1 2  a 11   a  6  a  H  1; 2;3  VÍ DỤ 3: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm trực tâm ABC với A, B, C ba điểm nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C A 3x  y  z  0 Vậy mặt phẳng  Q B x  y  3z  14 0 C 3x  y  z  10 0 x y z   1 D có phương trình x  y  z  0 x  y  z  11 0 Lời giải Chọn B A  a;0;  , B  0; b;0  , C  0;0;c  Giả sử uuur uuur uuu r uuu r  AH   a; 2;3 ; BH  1;  b;3 ; BC  0;  b;c  ; AC   a;0; c  uuur uuu r  AH BC 0  2b  3c 0  r  uuur uuu  a  3c 0 BH AC   Do H trực tâm nên ta có:  x y z  ABC  :   1 H   ABC     1 a b c a b c Phương trình mặt phẳng Vì | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Do ta có hệ phương trình: Vậy phương trình mặt phẳng   2b  3c 0   a  3c 0  1    1 a b c  ABC  :   a 2b  2b   c   1  2b  b  2b 1  a 14  b 7  14 c   x y 3z   1  x  y  z  14 0 14 14 VÍ DỤ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x  y  z  0 mặt cầu  S có phương trình  x  1  P phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  P có phương trình 2   y     z  3 4 Tìm đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S Lời giải Chọn D Mặt cầu Gọi  Q  S I  1;  2;  3 bán kính R 2 mặt phẳng song song với mặt phẳng Phương trình  Q có tâm  Q tiếp xúc với  P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S  D  5 có dạng: x  y  z  D 0  S d  I ,  Q   R         3  D 12  22  22 2  D  11 6  D     D  11 6  D  11   D  17 Đối chiếu điều kiện suy D  17 A  2;  1;    d  có VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Ozyz cho điểm đường thẳng x y z   1 Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A , song song với phương trình đường thẳng d  P  lớn Khi khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng  P  vng góc với mặt phẳng sau đây? mặt phẳng A x  y  z  10 0 B x  y  3z  0 Vậy phương trình  Q x  y  z  17 0   x  y  z  17 0 Lời giải Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Gọi Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 K  x; y; z  hình chiếu vng góc A lên d Tọa độ K nghiệm hệ  x   y   x 1    y   z   y 1  x  y  z  0  z 1  K  1;1;1   Ta có  P  đạt giá trị Nên khoảng cách từ d đến  14 mặt phẳng  P  qua A vng góc với KA Khi chọn d   d  ,  P   d  K ,  P   KH KA  14 lớn VÍ DỤ 6: Trong khơng gian  S có phương  P  : x  by  cz  d 0  Oxyz  , cho hai điểm trình  S  :  x  5 A  0;8;2  , B  9;  7; 23 mặt cầu   y  3   z   72 qua điểm A tiếp xúc với mặt cầu Mặt  S phẳng cho  P  lớn Giá trị b  c  d khoảng cách từ B đến mặt phẳng  P VTPT   P  vng góc với mặt phẳng 3x  z  0 KA Vậy Lời giải Chọn C   P  : x  by  cz   8b  2c  0 nên ta 8b  2c  d 0  d  8b  2c  11b  5c  6 2 d  I ;  P   R P S    b  c Do tiếp xúc với mặt cầu nên  7b  23c  8b  2c   11b  5c     b  4c  d  B;  P     2  b  c  b2  c Ta có:  11b  5c  b  4c  b  4c  d  B;  P    4  d  B;  P   6  2 2 1 b  c 1 b  c  b2  c2 Vì A P Cosi  Svac  d  B;  P   6     16    b  c   b2  c2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  d  B;  P   18 Hình học tọa độ Oxyz c   b       11b  5c  6   b  c Dấu “=” xảy P 18 Vậy max b  c  d 3 b   c 4 d 0  Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 |