Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LÍ THUYẾT Oxyz phương trình dạng Ax By Cz D 0 với A2 B C đuợc gọi VÍTrong DỤ MINH HỌA khơng gian phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình mặt phẳng (P) : n pháp tuyến ( A; B; C ) Mặt phẳng P qua điểm pháp tuyến có dạng Nếu P : Ax By Cz D 0 M o xo ; yo ; zo P : A x xo B y P có cặp vectơ n ( A ; B ; C ) n nhận vectơ , 0 làm vectơ yo C z z0 0 a (a1 ; a2 ; a3 ) b (b1; b2 ; b3 ) P 2 với A B C Có vecto khơng phương ,có giá song song n a, b P nằm vectơ pháp tuyến xác định Các trường hợp riêng mặt phẳng : 2 Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax By Cz D 0 , với A B C Khi đó: D 0 ( ) qua gốc tọa độ A 0, B 0, C 0, D 0 ( ) song song với trục Ox A 0, B 0, C 0, D 0 ( ) song song mp Oxy D D D x y z a , b , c ( ): 1 A , B , C , D a b c A B C Khi Đặt Vị trí tương đối hai mặt phẳng ' ' ' ' Trong không gian Oxyz cho mp( ) : Ax By Cz D 0 ( ’): A x B y C z D 0 ( ) cắt ( ’) AB ' A ' B BC ' B ' C CB ' C ' B ( ) // ( ’) AB ' A ' B BC ' B ' C CB ' C ' B AB ' A ' B BC ' B ' C CB ' C ' B AD ' A ' D ( ) ≡ ( ’) n1.n2 0 A A ' B.B ' C.C ' 0 Đặc biệt: ( ) ( ’) Góc hai mặt phẳng: 0o 90o Gọi góc hai mặt phẳng P : Ax By Cz D 0 Q : A ' x B ' y C ' z D ' 0 n P nQ A.A' B.B ' C.C ' cos = cos(n P , nQ ) nP nQ A2 B C A '2 B '2 C '2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh AD ' A ' D Hình học tọa độ Oxyz M m;0;0 N 0; n;0 VÍ DỤ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm , 1 3 P 0; 0; p MNP p m n p m n Với , , số dương thay đổi thỏa Mặt phẳng qua điểm: A F 3;3;3 1 1 E ; ; B 3 1 1 H ; ; C 3 D G 1;1;1 Lời giải Chọn B x y z 1 MNP m n p Phương trình mặt phẳng là: 2 S : x 1 y z 3 12 VÍ DỤ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu mặt phẳng P : 2x y đường tròn C z 0 C Gọi Q mặt phẳng song song với P cắt S theo thiết diện cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn giới hạn tích lớn Phương trình mặt phẳng x y z 0 x y z 11 0 A Q x y z 0 x y z 0 B x y z 0 x y z 0 x y z 17 0 x y z 0 1 C 1 1 D 1 1 E ; ; 3 1 MNP qua 3 3m 3n p Mà: m n p Vậy mặt phẳng Lời giải Chọn A Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 Gọi r bán kính đường trịn bán kính R 2 C Q H hình chiếu I lên 2 Đặt IH x ta có r R x 12 x Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 V IH S C x. 12 x 12 x x3 3 Vậy thể tích khối nón tạo Gọi f x 12 x x với f x 12 3x Ta có Bảng biến thiên : ; x 0; Thể tích nón lớn f x đạt giá trị lớn f x 0 12 3x 0 x 2 x 2 16 Vmax 16 3 x IH 2 Vậy Mặt phẳng Q // P nên Và d I ; Q IH Q : 2x y z a 0 2.1 a 2 1 2 a 11 a 6 a H 1; 2;3 VÍ DỤ 3: Trong không gian với trục hệ tọa độ Oxyz , cho điểm trực tâm ABC với A, B, C ba điểm nằm trục Ox, Oy, Oz (khác gốc tọa độ) Phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C A 3x y z 0 Vậy mặt phẳng Q B x y 3z 14 0 C 3x y z 10 0 x y z 1 D có phương trình x y z 0 x y z 11 0 Lời giải Chọn B A a;0; , B 0; b;0 , C 0;0;c Giả sử uuur uuur uuu r uuu r AH a; 2;3 ; BH 1; b;3 ; BC 0; b;c ; AC a;0; c uuur uuu r AH BC 0 2b 3c 0 r uuur uuu a 3c 0 BH AC Do H trực tâm nên ta có: x y z ABC : 1 H ABC 1 a b c a b c Phương trình mặt phẳng Vì | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Do ta có hệ phương trình: Vậy phương trình mặt phẳng 2b 3c 0 a 3c 0 1 1 a b c ABC : a 2b 2b c 1 2b b 2b 1 a 14 b 7 14 c x y 3z 1 x y z 14 0 14 14 VÍ DỤ 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x y z 0 mặt cầu S có phương trình x 1 P phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng P có phương trình 2 y z 3 4 Tìm đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S Lời giải Chọn D Mặt cầu Gọi Q S I 1; 2; 3 bán kính R 2 mặt phẳng song song với mặt phẳng Phương trình Q có tâm Q tiếp xúc với P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu S D 5 có dạng: x y z D 0 S d I , Q R 3 D 12 22 22 2 D 11 6 D D 11 6 D 11 D 17 Đối chiếu điều kiện suy D 17 A 2; 1; d có VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Ozyz cho điểm đường thẳng x y z 1 Gọi P mặt phẳng qua điểm A , song song với phương trình đường thẳng d P lớn Khi khoảng cách từ đường thẳng d tới mặt phẳng P vng góc với mặt phẳng sau đây? mặt phẳng A x y z 10 0 B x y 3z 0 Vậy phương trình Q x y z 17 0 x y z 17 0 Lời giải Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Gọi Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 K x; y; z hình chiếu vng góc A lên d Tọa độ K nghiệm hệ x y x 1 y z y 1 x y z 0 z 1 K 1;1;1 Ta có P đạt giá trị Nên khoảng cách từ d đến 14 mặt phẳng P qua A vng góc với KA Khi chọn d d , P d K , P KH KA 14 lớn VÍ DỤ 6: Trong khơng gian S có phương P : x by cz d 0 Oxyz , cho hai điểm trình S : x 5 A 0;8;2 , B 9; 7; 23 mặt cầu y 3 z 72 qua điểm A tiếp xúc với mặt cầu Mặt S phẳng cho P lớn Giá trị b c d khoảng cách từ B đến mặt phẳng P VTPT P vng góc với mặt phẳng 3x z 0 KA Vậy Lời giải Chọn C P : x by cz 8b 2c 0 nên ta 8b 2c d 0 d 8b 2c 11b 5c 6 2 d I ; P R P S b c Do tiếp xúc với mặt cầu nên 7b 23c 8b 2c 11b 5c b 4c d B; P 2 b c b2 c Ta có: 11b 5c b 4c b 4c d B; P 4 d B; P 6 2 2 1 b c 1 b c b2 c2 Vì A P Cosi Svac d B; P 6 16 b c b2 c2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh d B; P 18 Hình học tọa độ Oxyz c b 11b 5c 6 b c Dấu “=” xảy P 18 Vậy max b c d 3 b c 4 d 0 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 |