Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n 0 vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: r r Nếu n vectơ pháp tuyến k n k 0 vectơ pháp tuyến r r r r r Nếu a, b cặp vectơ phương n a, b vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D 0 với A2 B C Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D 0 n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( ) Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A x x0 B y y0 C z z0 0 Các trường hợp đặc biệt Các hệ số D 0 Phương trình mặt phẳng Ax By Cz 0 A 0 By Cz D 0 B 0 Ax Cz D 0 C 0 Ax By D 0 A B 0 Cz D 0 qua gốc tọa độ O / / Ox Ox / /Oy Oy / /Oz Oz / / Oxy By D 0 Oxy / / Oxz Ax D 0 Oxz / / Oyz A C 0 B C 0 Tính chất mặt phẳng Oyz Trang 752 Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm ( a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc 0 ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z 1 a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; y A ; z A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A, ( )) Ax A By A Cz A D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0; ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) ( ) A1 B1 B1 C1 A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 0 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax By Cz D 0 ; ( S ) : ( x a ) ( y b ) ( z c ) R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d I , R ( ) không cắt ( S ) +) Nếu d I , R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d I , R cắt S ( x a ) ( y b) z c (C ) : Ax By Cz D 0 theo đường trịn có phương trình R Trang 753 Bán kính C r R d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức cos , n n A1 A2 B1 B2 C1C2 cos n , n n n A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m A1 x B1 y C1 z D1 n A2 x B2 y C2 z D2 0 với m n 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang 754 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Phương pháp r Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 0 Mặt phẳng ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp tuyến ( ) n [a , b ] Bài tập Bài tập 1: Cho mặt phẳng Q : x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN 2 A ( P ) : x y z 0 B ( P ) : x y z 0 C ( P) : x y z 2 0 D ( P ) : x y z 0 Hướng dẫn giải Chọn A ( P ) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng x y z D 0 ( D 2) Khi mặt phẳng ( P) cắt trục Ox, Oy điểm M ( D;0;0) , N (0; D;0) Từ giả thiết: MN 2 D 2 D 2 (do D 2) Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 có phương trình A x x0 B y y0 C z z0 0 Bài tập 2: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P) A x y z 0 B x y z 30 0 C x y z 0 D x y z 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có OA (OBC ) OA BC BC (OAM ) BC OM (1) AM BC Tương tự AB OM (2) Từ (1) (2) suy OM ( ABC ) hay OM ( P ) Trang 755 Suy OM (1; 2;5) vectơ pháp tuyến ( P) Vậy phương trình mặt phẳng P x y z 0 x y z 30 0 Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x y z 100 0 C B x y z 100 0 x y z 0 16 15 D x y z 1 16 15 Hướng dẫn giải Chọn B Theo đề ra, ta có ( BCD) qua H (7; 16; 15), nhận HA (1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD ( x 7) 2( y 16) 5( z 15) 0 x y z 100 0 Vậy ( BCD) : x y z 100 0 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z 0 cách ( ) khoảng A x y z 0; x y z 0 B x y z 0 C x y z 0; x y z 0 D x y z 0; x y z 0 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có A(0;0;3) ( ) Do ( ) / /( ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: x y z m 0 với m 3 Ta có d(( ), ( )) d( A,( )) | m 3| 3 m 6 | m |3 (thỏa mãn) m 0 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x y z 0 x y z 0 Bài tập 5: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x 3z 0, (Q) : x 3z 0 Mặt phẳng song song cách ( P) (Q) có phương trình là: A x z 0 B x z 0 C x z 0 D x z 0 Hướng dẫn giải Trang 756 Chọn A Điểm M ( x; y; z ) cách ( P) (Q) d ( M ;( P)) d ( M ;(Q)) x 3z x 3z | x 3z | | x 3z | 1 1 x z x z x z 0 x z 0 Vậy M thuộc ( ) : x z 0 Nhận thấy ( ) song song với ( P) (Q) Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( P) : ax by cz 46 0 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P) Giá trị biểu thức T a b c A B C D Hướng dẫn giải Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng ( P) Theo giả thiết, ta có: AB 3, AH 6, BK 3 Do A, B phía với mặt phẳng ( P) Lại có: AB BK AK AH Mà AB BK AH nên H K Suy A, B, H ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H (5;6; 1) Vậy mặt phẳng ( P) qua H (5;6; 1) nhận AB (2; 2; 1) vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x 5) 2( y 6) 1( z 1) 0 x y z 23 0 Theo ra, ta có ( P ) : x y z 46 0 nên a 4, b 4, c 2 Vậy T a b c Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H có vectơ pháp tuyến n IH Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình ( x 1) ( y 2) ( z 3) 12 mặt phẳng ( P) : x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P) cắt ( S ) theo thiết diện đường tròn (C ) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x y z 0 x y z 0 B x y z 0 x y z 11 0 C x y z 0 x y z 0 Trang 757 D x y z 0 x y z 0 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ( ) / /( P) nên ( ) : x y z d 0 (d 3) Mặt cầu S có tâm I (1; 2;3), bán kính R 2 Gọi H khối nón thỏa mãn đề với đường sinh IM R 2 Đặt x h d ( I , ( )) Khi bán kính đường trịn đáy hình nón r 12 x Thể tích khối nón V( H ) 12 x x với x Xét hàm số: f ( x ) 12 x x với x Khi f ( x) đạt giá trị lớn x 2 hay d ( I , ( )) 2 Ta có d ( I , ( )) 2 | 2.1 ( 2) d | 22 22 ( 1)2 d 6 2 d d 11 d Chú ý: Cơng thức tính thể tích hình nón: 1 V hS 2 R.h 3 Trong R bán kính đáy, h chiều cao Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S): x y ( z 1) 4 điểm A(2; 2; 2) Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng BCD A x y z 0 B x y z 0 C x y z 0 D x y z 0 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có mặt cầu S có tâm I (0;0;1) bán kính R 2 Do AB, AC , AD ba tiếp tuyến mặt cầu ( S ) với B, C , D tiếp điểm nên Trang 758 AB AC AD IA trục đường tròn ngoại tiếp BCD IB IC ID R IA ( BCD) Khi mặt phẳng BCD có vectơ pháp tuyến n IA (2; 2;1) Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp BCD J IA IJ BJ Ta có IBA vng B BJ IA nên 4 IB IB IJ IA IJ IJ IA IA Đặt J ( x; y; z ) Ta có IJ ( x; y; z 1); IA (2; 2;1) 4 8 13 Từ IJ IA suy J ; ; 9 9 8 13 Mặt phẳng ( BCD) qua J ; ; nhận vectơ pháp tuyến n (2; 2;1) có phương trình: 9 9 8 8 13 2 x 2 y z 0 x y z 0 9 9 9 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 12 mặt phẳng ( P) : x y z 11 0 Xét điểm M di động ( P) điểm A, B, C phân biệt di động S cho AM , BM , CM tiếp tuyến S Mặt phẳng ABC qua điểm cố định đây? 1 1 A ; ; 2 3 C ;0; 2 B (0; 1;3) D 0;3; 1 Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu S có tâm I (1;1;1) bán kính R 2 Xét điểm M (a; b; c) ( P); A( x; y; z ) ( S ) nên ta có hệ điều kiện: ( x 1) ( y 1) ( z 1) 12 2 AI AM IM a 2b 2c 11 0 ( x 1) ( y 1) ( z 1) 12 (1) 12 ( x a ) ( y b) ( z c ) (a 1) (b 1) (c 1) (2) a 2b 2c 11 0 (3) Lấy (1) (2) ta có: ( x 1) ( y 1) ( z 1) 12 ( x a) ( y b) ( z c) 12 (a 1) (b 1) (c 1) (a 1) x (b 1) y (c 1) z a b c 0 Trang 759 Vậy mặt phẳng qua ba tiếp điểm là: (Q) : (a 1) x (b 1) y (c 1) z a b c 0 Kết hợp với (3) suy mặt phẳng qua điểm cố định (0;3;-1) Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(a;0;0), B(0; b;0) C (0;0; c) với abc 0 là: x y z 1 a b c Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) Mặt phẳng ( P) thay đổi qua M , N cắt trục Oy, Oz B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c 0 Hệ thức đúng? B bc 3(b c) A b c 6 C bc b c D 1 b c Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng ( P) qua M (3;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với b, c 0 nên phương trình mặt phẳng ( P) theo đoạn chắn là: x y z 1 b c Mặt phẳng ( P) qua N (2; 2; 2) suy 2 1 1 b c b c Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm G 1; 4;3 Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC A x y z 1 12 B C 3x 12 y z 78 0 x y z 1 16 12 D x 16 y 12 z 104 0 Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C (0;0; c) x A xB xC xD xG y y B yC y D G (1; 4;3) trọng tâm tứ diện OABC yG A z z zC zD A B xG 0 a 4.1 0 b 4.4 0 c 4.3 a 4 b 16 c 12 Trang 760 Ta có phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: x y z 1 16 12 Bài tập 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1 có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A ( P) : x y z 14 0 B ( P ) : x y z 14 0 C ( P ) : x y z 11 0 D ( P) : x y z 14 0 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H trực tâm ABC BH AC AC (OBH ) AC OH 1 Ta có OB AC Chứng minh tương tự, ta có: BC OH 2 Từ (1), (2) ta có OH ( ABC ) Suy 1 1 2 OA OB OC OH 1 đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH OM 2 OA OB OC nên OH đạt giá lớn OM hay H M Khi OM ( ABC ) nên ( P) có vectơ pháp tuyến OM (1; 2;3) Vậy để biểu thức Phương trình mặt phẳng ( P) 1( x 1) 2( y 2) 3( z 3) 0 x y z 14 0 Bài tập 4: Trong không gian Oxyz , có mặt phẳng qua điểm M 4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với abc 0 giao điểm mặt phẳng ( P) trục toạ độ Khi ( P) có phương trình x y z 1 a b c Theo giả thiết ta có: M ( P ) 1 OC OB OA 4 1 a b c 1 | c | | b | | a | a 8, b 4, c 2 a 8, b 4, c a 16, b 8, c 4 Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn Trang 761 Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 Mặt phẳng x ay bz c 0 qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a 3b 2c A 16 B C 10 D Hướng dẫn giải Chọn D Mặt phẳng qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C 0;0; t với t có phương trình x y z 1 1 t 1 Mặt khác: VOABC OA.OB.OC t 1 6 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng x y z 1 x y z 0 1 Vậy a b 1, c Suy a 3b 2c 1 3.1 6 Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax By Cz D 0 ; P : Ax By C z D 0 Khi đó: ( P) cắt P A : B : C A : B : C ( P) / / P A B C D A B C D A B C D A B C D ( P ) P n( P ) n P n( P ) n P 0 ( P ) P AA BB CC 0 Chú ý: Nếu A 0 tương ứng A 0 Nếu B 0 tương ứng B 0 Nếu C 0 tương ứng C 0 Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : x y z 0 ( ) : x y mz 0 Tìm m để song song với Hướng dẫn giải Trang 762 Ta có ( ) / /( ) (vơ lý 1 1 m 2 2 ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng , song song với Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình mx (m 1) y z 10 0 mặt phẳng (Q) : x y z 0 Với giá trị m ( P) (Q) vng góc với nhau? A m B m 2 C m 1 D m Hướng dẫn giải Chọn C ( P) : mx (m 1) y z 10 0 có vectơ pháp tuyến n1 (m; m 1;1) (Q) : x y z 0 có vectơ pháp tuyến n2 (2;1; 2) ( P ) (Q) n1 n2 0 2m m 0 m 1 Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 mặt cầu tâm I ; bán kính R ( ) ( S ) khơng có điểm chung d ( I , ( )) R ( ) tiếp xúc với ( S ) d ( I , ( )) R Khi ( ) tiếp diện ( ) ( S ) cắt d ( I ;( )) R Khi O có tâm hình chiếu I bán kính r R d ( I ;( )) Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x y z x y 12 0 Mặt phẳng cắt S theo đường trịn có bán kính r 3? A x y z 26 0 B x y z 12 0 C 3x y z 17 20 0 D x y z 0 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình mặt cầu S x y z x y 12 0 Suy tâm I 3; 2;0 bán kính R 5 Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường trịn có bán kính r 3 h R r 25 4 Trang 763 Đáp án A loại h |18 26 | 4 26 14 Đáp án B loại h 4 Chọn đáp án C h 4 1 4 Đáp án D loại h Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2; mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x 2) ( y 2) ( z 1) 36 B ( x 1) ( y 2) ( z 2) 9 C ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 D ( x 1) ( y 2) ( z 2) 16 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có a d ( I ;( P )) | 2.1 2.2 | 22 22 12 3 Bán kính đường trịn giao tuyến là: r S 16 4 Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng P theo giao tuyến đường trịn nên ta có R a r 9 16 25 R 5 Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R 5 là: ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z 0 mặt phẳng ( ) : x y 12 z 10 0 Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y 12 z 78 0 B x y 12 z 26 0 C x y 12 z 78 0 D x y 12 z 26 0 Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3), bán kính R 12 22 32 4 Vì ( ) / /( ) nên phương trình ( ) có dạng: x y 12 z d 0, d 10 Vì ( ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) nên Trang 764 d ( I ,( )) R | 4.1 3.2 12.3 d | 42 32 ( 12) d 26 4 | d 26 |52 d 78 Do ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương nên chọn d 78 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : x y 12 z 78 0 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng : Ax By Cz D 0 d M0 , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , khoảng cách hai mặt phẳng Q : x y z 0 A P : x y z 10 0 B C D Hướng dẫn giải Chọn D Vì P / / Q nên d P , Q d A, Q với A P Chọn A 0;0;5 P d A Q 2.0 2.5 12 22 22 Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho A 1; 2;3 , B 3; 4; Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : x y mz 0 độ dài đoạn thẳng AB A m 2 B m C m D m 2 Hướng dẫn giải Chọn A uuur Ta có AB 2; 2;1 AB 2 22 12 3 1 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P d ( A, ( P )) | 2.1 m 3 1| 2 1 m | 3m | m2 (2) Trang 765 Vì AB d ( A, ( P)) | 3m | 5m m 9(m 1) m 2 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C (3; 2;2), D (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có AB (1; 1; 2), AC (2;0;1) [ AB; AC ] ( 1;3; 2) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) Vậy phương trình mặt phẳng ( ABC ) 1( x 1) 3( y 2) 2( z 1) 0 x y z 0 Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến ( ABC ) Suy DH d ( D, ( ABC )) | 1.1 3.1 2.1 | ( 1) 32 22 14 14 Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A a; b; c với a, b, c 0 Xét P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P) A a b2 c2 B a b c C a b c D a b c Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng P Khi d (O, ( P)) OH OA a b c Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng , có phương trình: : A1 x B1 y C1 z D1 0 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ur uu r Góc , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 ur uu r n1.n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 cos · , ur uu r A1 B12 C12 A22 B22 C22 n1 n2 o o · Chú ý: , 90 Bài tập Trang 766 Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; M điểm thuộc mặt phẳng : x y z 0 uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P 3MA 5MB MC A Pmin 20 B Pmin 5 C Pmin 25 D Pmin 27 Hướng dẫn giải Chọn D uur uur uur r Gọi điểm I x; y; z cho 3IA 5IB IC 0 3 x x x 0 x 23 Khi 3 y y y 0 y 20 I 23; 20; 11 z 11 3 z z z 0 uuur uuur uuuu r uuu r uur uuu r uur uuu r uur Xét P 3MA 5MB MC MI IA MI IB MI IC uuu r uur uur uur uuu r MI 3IA 5IB IC MI MI Pmin MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng Khi đó: Pmin d I , 23 20 11 22 1 2 27 Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;5; , B 5; 3;7 mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P) cho MA2 2MB lớn A M ( 2;1;1) B M (2; 1;1) C M (6; 18;12) D M ( 6;18;12) Hướng dẫn giải Chọn C Gọi I thỏa mãn IA IB 0 Khi IO OA 2( IO OB) 0 OI 2OB OA I (13; 11;19) 2 2 Ta có MA2 MB MA MB MI IA MI IB MI IA2 IB MA2 MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên ( P) Ta tìm M (6; 18;12) Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p ) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m n p 3 Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP A B C D 27 Hướng dẫn giải Trang 767 Chọn C Do M , N , P không trùng với gốc tọa độ nên m 0, n 0, p 0 Phương trình mặt phẳng ( MNP) là: Suy x y z 1 1 x y z 0 m n p m n p 1 1 2 2 m n p d (O, ( MNP)) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m , n , p ba số dương m n p 3 m n p 1 , ta có: m2 n p 1 1 3 2 m n p mn p 1 2 Suy m n p 9 p m n 1 9 m n p 3 p m n 1 3 m n p Vậy d (O, ( MNP)) 1 3 m n p 1 1 2 2 m n p Dấu "=" xảy m n p 1 Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x y z 0 mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 Giả sử M ( P ) N ( S ) cho MN phương với vectơ u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN 3 B MN 1 2 C MN 3 D MN 14 Hướng dẫn giải Chọn C S có tâm I ( 1; 2;1) bán kính R 1 Ta có: d ( I , ( P)) | 2.2 2.1 | 12 22 22 2 R Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng P góc MN NH uuuu r Vì MN phương với u nên góc có số đo khơng đổi · HN MNH vng H có HNM nên HN MN cos MN cos Do MN lớn HN lớn HN d ( I , ( P)) R 3 Trang 768 1 HN 3 Có cos cos(u , nP ) nên MN cos Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi P : ax by cz 0 (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M 0; 1; , N 1;1;3 không qua điểm H (0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T a 2b 3c 12 A 16 B C 12 D 16 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi K hình chiếu H lên ( P), E hình chiếu H lên MN Ta có d ( H ;( P )) HK d ( H ; MN ) HE , HK HE (không đổi) Vậy d ( H ;( P )) lớn K E , với E hình chiếu H lên MN 1 1 7 Suy E ; ; 3 3 1 1 Vậy mặt phẳng ( P) cần tìm mặt phẳng nhận HE ; ; làm vectơ pháp tuyến qua M 3 3 có phương trình x y z 0 a Suy b c 1 Vậy T 16 Trang 769