BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n 0 vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: r r Nếu n vectơ pháp tuyến k n k 0 vectơ pháp tuyến r r r r r Nếu a, b cặp vectơ phương n a, b vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D 0 với A2 B C Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D 0 n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( ) Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A x x0 B y y0 C z z0 0 Các trường hợp đặc biệt Các hệ số D 0 Phương trình mặt phẳng Ax By Cz 0 A 0 By Cz D 0 B 0 Ax Cz D 0 C 0 Ax By D 0 A B 0 Cz D 0 qua gốc tọa độ O / / Ox Ox / /Oy Oy / /Oz Oz / / Oxy By D 0 Oxy / / Oxz Ax D 0 Oxz / / Oyz A C 0 B C 0 Tính chất mặt phẳng Oyz Trang 324 Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm ( a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc 0 ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z 1 a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho điểm A x A ; y A ; z A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A, ( )) Ax A By A Cz A D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0; ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 +) ( ) ( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /( ) A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) ( ) A1 B1 B1 C1 A2 B2 B2 C2 +) ( ) ( ) A1 A2 B1 B2 C1C2 0 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax By Cz D 0 ; ( S ) : ( x a ) ( y b ) ( z c ) R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: +) Nếu d I , R ( ) không cắt ( S ) +) Nếu d I , R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d I , R cắt S ( x a ) ( y b) z c (C ) : Ax By Cz D 0 theo đường trịn có phương trình R Trang 325 Bán kính C r R d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức cos , n n A1 A2 B1 B2 C1C2 cos n , n n n A12 B12 C12 A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 0 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m A1 x B1 y C1 z D1 n A2 x B2 y C2 z D2 0 với m n 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA B CÁC DẠNG BÀI TẬP Trang 326 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Phương pháp r Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 0 Mặt phẳng ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp tuyến ( ) n [a , b ] Bài tập Bài tập 1: Cho mặt phẳng Q : x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN 2 A ( P ) : x y z 0 B ( P ) : x y z 0 C ( P) : x y z 2 0 D ( P ) : x y z 0 Bài tập 2: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P) A x y z 0 B x y z 30 0 C x y z 0 D x y z 1 Bài tập 3: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy, Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x y z 100 0 C B x y z 100 0 x y z 0 16 15 D x y z 1 16 15 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z 0 cách ( ) khoảng A x y z 0; x y z 0 B x y z 0 C x y z 0; x y z 0 D x y z 0; x y z 0 Bài tập 5: Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x 3z 0, (Q) : x 3z 0 Mặt phẳng song song cách ( P) (Q) có phương trình là: A x z 0 B x z 0 C x z 0 D x z 0 Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( P) : ax by cz 46 0 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P) Giá trị biểu thức T a b c A B C D Trang 327 Dạng Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H có vectơ pháp tuyến n IH Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình ( x 1) ( y 2) ( z 3) 12 mặt phẳng ( P) : x y z 0 Viết phương trình mặt phẳng song song với ( P) cắt ( S ) theo thiết diện đường tròn (C ) cho khối nón có đỉnh tâm mặt cầu đáy hình trịn (C) tích lớn A x y z 0 x y z 0 B x y z 0 x y z 11 0 C x y z 0 x y z 0 D x y z 0 x y z 0 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S): x y ( z 1) 4 điểm A(2; 2; 2) Từ A kẻ ba tiếp tuyến AB, AC , AD với mặt cầu ( B, C , D tiếp điểm) Phương trình mặt phẳng BCD A x y z 0 B x y z 0 C x y z 0 D x y z 0 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 1)2 12 mặt phẳng ( P) : x y z 11 0 Xét điểm M di động ( P) điểm A, B, C phân biệt di động S cho AM , BM , CM tiếp tuyến S Mặt phẳng ABC qua điểm cố định đây? 1 1 A ; ; 2 B (0; 1;3) 3 C ;0; 2 D 0;3; 1 Dạng Phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp Phương trình mặt phẳng ( ) qua ba điểm A(a;0;0), B(0; b;0) C (0;0; c) với abc 0 là: x y z 1 a b c Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M (3;0;0), N (2; 2; 2) Mặt phẳng ( P) thay đổi qua M , N cắt trục Oy, Oz B (0; b;0), C (0;0; c) với b, c 0 Hệ thức đúng? Trang 328 B bc 3(b c) A b c 6 C bc b c D 1 b c Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm G 1; 4;3 Phương trình mặt phẳng cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC A x y z 1 12 B C 3x 12 y z 78 0 x y z 1 16 12 D x 16 y 12 z 104 0 Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M (1; 2;3) cắt trục Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C khác với gốc tọa độ O cho biểu thức 1 có giá trị nhỏ 2 OA OB OC A ( P) : x y z 14 0 B ( P ) : x y z 14 0 C ( P ) : x y z 11 0 D ( P) : x y z 14 0 Bài tập 4: Trong khơng gian Oxyz , có mặt phẳng qua điểm M 4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 Mặt phẳng x ay bz c 0 qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a 3b 2c A 16 B C 10 D Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax By Cz D 0 ; P : Ax By C z D 0 Khi đó: ( P) cắt P A : B : C A : B : C ( P) / / P A B C D A B C D A B C D A B C D ( P ) P n( P ) n P n( P ) n P 0 ( P ) P AA BB CC 0 Chú ý: Trang 329 Nếu A 0 tương ứng A 0 Nếu B 0 tương ứng B 0 Nếu C 0 tương ứng C 0 Ví dụ: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) : x y z 0 ( ) : x y mz 0 Tìm m để song song với Hướng dẫn giải Ta có ( ) / /( ) (vơ lý 1 1 m 2 2 ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng , song song với Bài tập Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P có phương trình mx (m 1) y z 10 0 mặt phẳng (Q) : x y z 0 Với giá trị m ( P) (Q) vng góc với nhau? A m B m 2 C m 1 D m Dạng Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 mặt cầu tâm I ; bán kính R ( ) ( S ) khơng có điểm chung d ( I , ( )) R ( ) tiếp xúc với ( S ) d ( I , ( )) R Khi ( ) tiếp diện ( ) ( S ) cắt d ( I ;( )) R Khi O có tâm hình chiếu I bán kính r R d ( I ;( )) Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x y z x y 12 0 Mặt phẳng cắt S theo đường trịn có bán kính r 3? A x y z 26 0 B x y z 12 0 C 3x y z 17 20 0 D x y z 0 Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 2; mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x 2) ( y 2) ( z 1) 36 B ( x 1) ( y 2) ( z 2) 9 Trang 330 C ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 D ( x 1) ( y 2) ( z 2) 16 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z 0 mặt phẳng ( ) : x y 12 z 10 0 Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y 12 z 78 0 B x y 12 z 26 0 C x y 12 z 78 0 D x y 12 z 26 0 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng : Ax By Cz D 0 d M0 , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Bài tập Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , khoảng cách hai mặt phẳng Q : x y z 0 A P : x y z 10 0 B C D Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho A 1; 2;3 , B 3; 4; Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : x y mz 0 độ dài đoạn thẳng AB A m 2 B m C m D m 2 Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C (3; 2;2), D (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Bài tập 4: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A a; b; c với a, b, c 0 Xét P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P) A a b2 c2 B a b c C a b c D a b c Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp Cho hai mặt phẳng , có phương trình: Trang 331 : A1 x B1 y C1 z D1 0 : A2 x B2 y C2 z D2 0 ur uu r Góc , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 ur uu r n1.n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 cos · , ur uu r A1 B12 C12 A22 B22 C22 n1 n2 o o · Chú ý: , 90 Bài tập Bổ sung sau Dạng Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2;0 , C 3; 1; M điểm thuộc mặt phẳng : x y z 0 uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P 3MA 5MB MC A Pmin 20 B Pmin 5 C Pmin 25 D Pmin 27 Bài tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3;5; , B 5; 3;7 mặt phẳng ( P ) : x y z 0 Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P) cho MA2 2MB lớn A M ( 2;1;1) B M (2; 1;1) C M (6; 18;12) D M ( 6;18;12) Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p ) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m n p 3 Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP A B C D 27 Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x y z 0 mặt cầu ( S ) : x y z x y z 0 Giả sử M ( P ) N ( S ) cho MN phương với vectơ u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN 3 B MN 1 2 C MN 3 D MN 14 Bài tập 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi P : ax by cz 0 (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M 0; 1; , N 1;1;3 không qua điểm H (0;0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T a 2b 3c 12 A 16 B C 12 D 16 Trang 332