Chương 2 tổ hợp xác suất mức độ 4

[1D2-2.1-4] (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn Câu 36: Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2100  n       1.2 2.3 3.4  n 1  n    n 1  n   A n 99 B n 100 C n 98 Lời giải D n 101 Chọn C k k1 Áp dụng công thức kCn nCn  với k n, ta có  k 1  k   Cnk22  k 1  n   Cnk11  n 1  n   Cnk Do Cnk Cnk22   k  1  k    n  1  n   Áp dụng ta có VT  Cn22  Cn32   Cnn22  n  1  n      n2  Cn12  Cn22  Cn32   Cnn22   n  n2  n C  n 1  n   2  n 1  n      Do 2n 2 2100  n 98 Câu 48: [1D2-5.3-4] Một bảng vuông gồm 100 100 ô vuông đơn vị Chọn ngẫu nhiên hình chữ nhật Tính xác suất để chọn hình vng (trong kết lấy chữ số phần thập phân) A 0, 0134 B 0, 0133 C 0, 0136 D 0, 0132 Lời giải Chọn B Giả sử bảng vuông gồm 100 ô vuông xác định đường thẳng x 0, x 1, , x 100 y 0, y 1, , y 100 hệ trục Oxy Mỗi hình chữ nhật tạo đường thẳng khác x a; x b  a, b 100  hai 2 đường thẳng khác y c; y d  c, d 100  nên có C101.C101 hình chữ nhật 2 Vậy n    C101.C101 Gọi A: biến cố “Ô chọn hình vng” *Trường hợp 1: Ơ có kích thước 11 có 100 100 104 hình vng *Trường hợp 2: Ơ có kích thước 2 : Mỗi tạo thành đường thẳng khác x a; x b  a, b 100  hai đường thẳng khác y c; y d  c, d 100  cho b  a d  c 2 Vậy có 99 99 992 hình vuông Tương tự *Trường hợp n  n 100  : Ơ chọn có kích thước n n có  101  n  100  100  1  100   Vậy n  A 1002  992   22  12  338350 n  A  338350  2 0, 0133 Suy P  A   n    C101 C100 Câu 30: [1D2-4.3-4] (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Người ta sử dụng sách Toán, sách Vật Lí, sách Hóa Học (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho 12 học sinh, học sinh sách khác loại Trong số 12 học sinh có hai bạn Thảo Hiền Tính xác suất để hai bạn Thảo Hiền có phần thưởng giống 19 A B C D 18 11 22 66 Lời giải Chọn C Gọi x , y , z số Tốn – Lý, Lý – Hóa, Hóa – Toán  x  y 8  x 3   Từ giả thiết ta có:  y  z 9   y 5  x  z 7  z 4   Chia 12 phần thưởng có: C12 C9 C4 cách Số cách chia cho hai bạn Thảo, Hiền có phần thưởng: Cùng nhận sách Toán – Lý có: C10 C5 C4 cách 3 Cùng nhận sách Lý – Hóa có: C10 C7 C5 cách Cùng nhận sách Hóa – Tốn có: C10 C8 C5 cách C101 C59 C44  C103 C73 C55  C102 C83 C55 19  Khi xác suất cần tìm là: P  C123 C95 C44 66 Tài liệu chia sẻ Website VnTeach.Com https://www.vnteach.com Câu 45: [1D2-5.2-4] (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ 4n  đỉnh đa giác 4n  ; n   đỉnh Xác suất ba đỉnh chọn ba đỉnh tam giác tù A 3(2n  1) 4n  B 3(2n  1) 2(4n  1) C (4n  1)C42n (4n  1)C42n 1 D 2(4n  1)C42n C43n 1 Lời giải Chọn ngẫu nhiên đỉnh có C n 1 cách Giả sử chọn tam giác ABC với góc A nhọn, B tù C nhọn Chọn đỉnh lấy làm đỉnh A có 4n  cách Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn, chia 4n   2n đỉnh Để tạo thành tam giác tù hai đỉnh cịn lại chọn nằm bên trái bên phải Do đường tròn thành hai phần Mỗi bên có: 2 Vậy có tất cả: (4n  1).2.C2 n 2.(4n 1).C2 n tam giác tù Nhưng ứng với tam giác vai trò tạo thành là: (4n  1).C2 n Vậy xác suất cần tính là: (4n  1).C22n 3(2n  1)  C43n 1 2(4n  1) Câu 46 [1D2-5.5-4] (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-2019) Gọi A tập số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số khác Lấy ngẫu nhiên từ tập A số Tính xác suất để lấy số mà có chữ số khác 1400 560 1400 2240 A B C D 19683 6561 6561 6561 Lời giải Ta có:  9 59049 Gọi B biến cố cần tìm xác suất Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số khác C9 TH1 Có chữ số chữ số a, b, c lặp lần 5! Xếp chữ số a, a, a, b, c có cách, (vì 3! hốn vị vị trí mà a, a, a chiếm chỗ tạo 3! số n ) 5! Suy trường hợp có C9  số tự nhiên 3! TH2 Có chữ số a, b, c , chữ số lặp lần Chọn chữ số lặp: có C3 cách, giả sử a, b 5! Xếp chữ số a, a, b, b, c có cách, (vì 2! hốn vị vị trí mà a, a chiếm chỗ 2! 2!2! hoán vị vị trí mà b, b chiếm chỗ tạo số n ) 5! Suy trường hợp có C9  số tự nhiên 2!2! 5! 5! 3 12600 số Do ta có B C9   C9  3! 2!2! B 12600 1400   Kết luận: P  B    59049 6561 Cách 2: Lưu Thêm Gọi A tập số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số khác Xét phép thử: “ Chọn ngẫu nhiên số từ A ”  n    9 TH1: Có chữ số lặp lần, chữ số lại khác +) Chọn chữ số khác có cách ( gọi a ) +) Xếp chữ số a vào vị trí có C5 cách +) Chọn chữ số từ chữ số cịn lại xếp vào vị trí cịn lại có A8 cách  Có 9.C53 A82 5040 (số) TH2: Có chữ số, chữ số lặp lần +) Chọn chữ số từ chữ số có C9 (gọi a , b ) 2 +) Xếp chữ số: a , a , b , b vào vị trí có C5 C3 cách +) Xếp chữ số cịn lại có cách  Có C92 C52 C32 7560 (số)  n  B  5040  7560 12600 Kết luận: P  B   Câu 27: n  B  12600 1400   n    6561 [1D2-5.2-4] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ tập hợp A  1, 2,3, , 2019 Tính xác suất P để số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp A P  677040 679057 B P  2017 679057 C P  2016 679057 D P  679057 Lời giải Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên từ tập hợp A , có n    C2019 1369657969 cách Gọi B biến cố “trong số tự nhiên chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp” + số tự nhiên chọn số tự nhiên liền nhau:  1, 2,3 ,  2,3, 4 , …,  2017, 2018, 2019 , trường hợp có 2017 cách chọn  Trong số có hai số tự nhiên liên tiếp đầu tiền  1, 2 cuối  2018, 2019 có 2016 cách chọn số tự nhiên nữa, nên có 2.2016 cách  Trong số có có hai số tự nhiên liên tiếp khơng phải hai chữ số đầu tiên, hai chữ số cuối  2,3 ,  3, 4 , ,  2017, 2018 , cách chọn số có C2015 cách chọn chữ số (khác chữ số chữ số liền kề), trường hợp có 2016.C2015    n B 2017  2.2016  2016.C2015 4068289  P P  B  1  P  B  1  4068289 1365589680 677040   C2019 1369657969 679057 Câu 44 [1D2-2.3-4] (HSG BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành từ số 100 đỉnh đa giác là? A 58800 B 117600 C 44100 D 78400 Lời giải Giả sử chọn tam giác tù ABC với góc A nhọn, B tù C nhọn Chọn đỉnh lấy làm đỉnh A 100 cách Kẻ đường kính qua đỉnh vừa chọn, chia đường tròn thành hai phần (trái phải) Để tạo thành tam giác tù hai đỉnh cịn lại chọn năm bên trái nằm bên phải  Hai đỉnh lại nằm bên trái có Hai đỉnh cịn lại nằm bên trái có C49 cách  Hai đỉnh cịn lại nằm bên trái có Hai đỉnh cịn lại nằm bên phải có C49 cách Vậy có tất 100  C49  C49  tam giác tù, nhiên ứng với tam giác vai trò góc 2 nhọn A C nên số tam giác tính lặp lần Do số tam giác tù tạo thành 100  C492  C492  117600 Câu 46: [1D2-4.6-4] Một đội tuyển học sinh giỏi tỉnh gồm học sinh lớp 12 học sinh lớp 11 Chọn ngẫu nhiên từ đội tuyển học sinh, chọn thêm học sinh Tính xác suất để lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 25 15 A B C D 14 28 28 Lời giải Lần thứ chọn học sinh tùy ý có C Lần thứ hai chọn học sinh tùy ý có C7 1 Không gian mẫu n    C8 C7 56 Gọi A biến cố ‘‘ Lần thứ hai chọn học sinh lớp 12’’ Trường hợp 1: Lần thứ chọn học sinh lớp 11 lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 1 Suy số kết trường hợp C3 C5 15 Trường hợp 2: Lần thứ chọn học sinh lớp 12 lần thứ hai chọn học sinh lớp 12 1 Số kết trường hợp C5 C4 20 Vậy số kết biến cố A n  A  15  20 35 Xác suất biến cố A P  A   n  A n     35  56 Câu 41 [1D2-5.2-4] (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Nhằm chào mừng ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, Đồn trường THPT chun Lương Thế Vinh tổ chức giải bóng đá nam Có 16 đội đăng kí tham dự có đội: 10 Toán, 11 Toán, 12 Toán Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia 16 đội vào bảng để đá vịng loại Tính xác suất để đội lớp Toán nằm bảng khác 53 19 16 A B C D 56 28 35 56 Lời giải 4 4 + Chia 16 đội vào bảng có C16 C12 C8 C4 cách + Sắp xếp đội lớp Toán vào bảng khác bảng có A4 cách Chọn đội 13 đội lại để xếp vào bảng có đội lớp 10 Tốn có C13 cách Chọn đội 10 đội lại để xếp vào bảng có đội lớp 11 Tốn có C10 cách Chọn đội đội lại để xếp vào bảng có đội lớp 12 Tốn có C7 cách Bốn đội lại xếp vào bảng lại Suy số cách chia 16 đội vào bảng cho đội lớp Toán nằm bảng khác 3 3 A4 C13 C10 C7 A43 C133 C103 C73 16 + Xác suất cần tìm là: 4 4  C16 C12 C8 C4 35 Câu 45: [1D2-5.2-4] (CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OABC với A  0;10  B  100;10  C  100;0  (O gốc tọa độ) Gọi S tập hợp tất điểm M  xo ; yo  nằm bên hình chữ nhật OABC (tính điểm nằm cạnh hình chữ nhật) thỏa mãn xo ; yo số tự nhiên Lấy ngẫu nhiên điểm M  xo ; yo  thuộc S Xác suất để xo  yo 90 900 860 90 A B C 1011 1011 101 Lời giải 1 Không gian mẫu n    C11 C101 1111 D 86 101 Gọi B biến cố thỏa mãn toán Ta thấy điểm A( x; y ), ( x; y  ) nằm đường thẳng y m; ( m 0,10) Nếu A( x; 0)  x  { 0;1; 2; ;90}  có 91 điểm thỏa mãn Nếu A( x;1)  x  { 0;1; 2; ;89}  có 90 điểm thỏa mãn ………………… Tương tự A( x;10)  x  { 0;1; 2; ;80}  có 81 điểm thỏa mãn Suy số phần tử biến cố 91  90   81 946 946 86  Vậy xác suất cần tính P ( B)  Do chọn C 1111 101 Câu 44 [1D2-5.2-4] (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Chọn ngẫn nhiên ba số tự nhiên số từ 101 đến 200 Tính xác suất để ba số lập thành cấp số cộng có cơng sai dương 1 A B C D 100 33 66 33 Lời giải Ta có  C100 Gọi u1 , d số hạng đầu cơng sai cấp số cộng Ta có trường hợp sau:  d 1: n1 160  98  d 2 : n 100  2.2 96   d 3 : n3 100  2.3 94    d 49 : n49 100  2.49 2 Suy số kết lấy số lập thành cấp số cộng N  Vậy số cách chọn thỏa mãn đề P   98   49 2450 2450  C100 66 Câu 42 [1D2-5.5-4] (THPT ĐƠNG SƠN THANH HĨA NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S tập hợp ước số nguyên dương số 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác xuất để lấy hai phần tử hai số không chia hết cho 19 19 A B C D 83 85 85 83 Lời giải Ta có 43200 2 , suy số ước nguyên dương 43200 (6  1)(3  1)(2  1) 84 Khi n() C 84 3486 Số ước không chia hết cho (6  1)(3  1) 28 Gọi A biến cố chọn số ước khơng chia hết cho Khi n( A) C 28 378 378  3486 83 Câu 43: [1D2-5.2-4] (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Gọi X tập hợp tất số tự nhiên có chữ số đơi khác Lẫy ngẫu nhiên số thuộc tập X Tính xác suất để số lấy ln chứa ba số thuộc tập Y  1; 2;3; 4;5 ba số đứng cạnh nhau, số chẵn đứng hai số lẻ 37 25 25 17 A P  B P  C P  D P  63 189 378 945 Lời giải Số phần tử không gian mẫu n  W  9 A9 Vậy xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho Gọi A biến cố số lấy chứa ba số tập Y ba số đứng cạnh nhau, số chẵn đứng hai số lẻ Số cách lấy ba số thuộc tập Y gồm số chẵn hai số lẻ C3 C2 Số cách xếp ba chữ số lấy từ tập Y thành số có ba chữ số mà chữ số chẵn đứng hai chữ số lẻ 2! Do ba số lấy từ tập Y đứng cạnh nên ta coi số  Trường hợp 1: Trong số có chữ số cần lập có chữ số -Chọn hai chữ số cịn lại từ chữ số 6; 7; 8; có C4 cách -Xếp chữ số 0;  hai chữ số chọn thành số có chữ số có 3.3! cách 2 Vậy trường hợp có C2 C3 2!.C4 3.3! 1296 số Trường hợp 2: Trong số có chữ số cần lập khơng có chữ số -Xếp chữ số  ba chữ số chọn thành số có chữ số có 4! cách Vậy trường hợp có C2 C3 2!.C4 4! 1152 số Số kết thuận lợi cho biến cố A n  A  1296  1152 2448 Xác suất biến cố A P  A   n  A  2448 17   n  W  A95 945