Bài giảng đại số tuyến tính chương 0 kiến thức chuẩn bị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC DUY TÂN KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ( DÀNH CHO KHỐI KỸ THUẬT - CNTT) Giảng viên: THS ĐẶNG VĂN CƯỜNG Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường Các khái niệm nhóm, vành trường giới thiệu phần dừng mức đủ dùng cho diễn đạt phần sau giáo trình Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ o:G×G→G gọi phép tốn hai ngơi (hay luật hợp thành) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ o ký hiệu xoy, gọi tích hay hợp thành x y Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhóm, Vành Trường Các khái niệm nhóm, vành trường giới thiệu phần dừng mức đủ dùng cho diễn đạt phần sau giáo trình Giả sử G tập hợp Mỗi ánh xạ o:G×G→G gọi phép tốn hai ngơi (hay luật hợp thành) G Ảnh cặp phần tử (x, y) ∈ G × G ánh xạ o ký hiệu xoy, gọi tích hay hợp thành x y Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Một nhóm tập hợp khác rỗng G trang bị phép toán hai o thoả mãn điều kiện sau: (G1 ) Phép tốn có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G (G2 ) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G (G3 ) Với x ∈ G, tồn phần tử x0 ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho xox0 = x0 ox = e Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Definition 1.1 Một nhóm tập hợp khác rỗng G trang bị phép tốn hai ngơi o thoả mãn điều kiện sau: (G1 ) Phép tốn có tính kết hợp (xoy)oz = xo(yoz), ∀x, y, z ∈ G (G2 ) Có phần tử e ∈ G, gọi phần tử trung lập, với tính chất xoe = eox = x, ∀x ∈ G (G3 ) Với x ∈ G, tồn phần tử x0 ∈ G, gọi nghịch đảo x, cho xox0 = x0 ox = e Nhận xét: Phần tử trung lập Thật vậy, e e0 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập nhóm G e = eoe0 = e0 Với x ∈ G, phần tử x0 mục (G3 ) Thật vậy, x01 x02 phần tử nghịch đảo x x01 = x01 oe = x01 o(xox02 ) = (x01 ox)ox02 = eox02 = x02 Trong nhóm có luật giản ước, tức xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân phần tử trung lập nhóm G e = eoe0 = e0 Với x ∈ G, phần tử x0 mục (G3 ) Thật vậy, x01 x02 phần tử nghịch đảo x x01 = x01 oe = x01 o(xox02 ) = (x01 ox)ox02 = eox02 = x02 Trong nhóm có luật giản ước, tức xoy = xoz ⇒ y = z, xoz = yoz ⇒ x = y Thật vậy, để có luật giản ước, cần nhân hai vế đẳng thức xoy = xoz với nghịch đảo x0 x từ bên trái nhân hai vế đẳng thức xoz = yoz với nghịch đảo z z từ bên phải Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nếu phép tốn o có tính giao hoán, tức xoy = yox, ∀x, y ∈ G, G gọi nhóm giao hốn (nhóm abel) Theo thói quen, luật hợp thành o nhóm abel thường ký hiệu theo lối cộng “ + ” Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu theo lối cộng x + y gọi tổng x y Phần tử trung lập gọi phần tử không, ký hiệu nghịch đảo x gọi phần tử đối x, ký hiệu (−x) Trường hợp tổng qt, phép tốn o nhóm thường ký hiệu theo lối nhân “.”, Hợp thành cặp phần tử (x, y) ký hiệu x.y hay đơn giản xy, gọi tích x y Phần tử trung lập nhóm thường gọi phần tử đơn vị Phần tử nghịch đảo x ký hiệu x−1 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = tức f (x) = g(x)q(x), ta nói f (x) chia cho g(x) K[x], g(x) ước f (x) K[x] Phần tử c ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 f (x) = an cn + an−1 cn−1 + + a1 c + a0 = ∈ K 23 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = tức f (x) = g(x)q(x), ta nói f (x) chia cho g(x) K[x], g(x) ước f (x) K[x] Phần tử c ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 f (x) = an cn + an−1 cn−1 + + a1 c + a0 = ∈ K Ta có định lý sau liên hệ nghiệm tính chia hết đa thức 23 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = tức f (x) = g(x)q(x), ta nói f (x) chia cho g(x) K[x], g(x) ước f (x) K[x] Phần tử c ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 f (x) = an cn + an−1 cn−1 + + a1 c + a0 = ∈ K Ta có định lý sau liên hệ nghiệm tính chia hết đa thức Theorem 5.2 (Bézout) Đa thức f (x) ∈ K[x] nhận c ∈ K nghiệm tồn đa thức q(x) ∈ K[x] f (x) = (x − c)q(x) 23 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân dư phép chia f (x) cho g(x) Nếu r(x) = tức f (x) = g(x)q(x), ta nói f (x) chia cho g(x) K[x], g(x) ước f (x) K[x] Phần tử c ∈ K gọi nghiệm đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 f (x) = an cn + an−1 cn−1 + + a1 c + a0 = ∈ K Ta có định lý sau liên hệ nghiệm tính chia hết đa thức Theorem 5.2 (Bézout) Đa thức f (x) ∈ K[x] nhận c ∈ K nghiệm tồn đa thức q(x) ∈ K[x] f (x) = (x − c)q(x) Chứng minh Nếu f (x) = (x − c)q(x) 23 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân f (c) = (c − c)q(c) = ∈ K Do c nghiệm f (x) Ngược lại, giả sử c nghiệm f (x) Ta chia f (x) cho đa thức khác không x − c: f (x) = (x − c)q(x) + r(x), q(x), r(x) ∈ K[x] deg(r(x)) < deg(x − c) = Như deg(r(x)) không −∞ Trong hai trường hợp r(x) đa thức hằng, r(x) = r ∈ K Ta có = f (c) = (c − c)q(c) + r = r Vậy r = Từ f (x) = (x − c)q(x) 24 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân f (c) = (c − c)q(c) = ∈ K Do c nghiệm f (x) Ngược lại, giả sử c nghiệm f (x) Ta chia f (x) cho đa thức khác không x − c: f (x) = (x − c)q(x) + r(x), q(x), r(x) ∈ K[x] deg(r(x)) < deg(x − c) = Như deg(r(x)) không −∞ Trong hai trường hợp r(x) đa thức hằng, r(x) = r ∈ K Ta có = f (c) = (c − c)q(c) + r = r Vậy r = Từ f (x) = (x − c)q(x) Definition 5.1 Phần tử x ∈ K gọi nghiệm bội k đa thức f (x) f (x) chia hết cho đa thức (x − c)k , không chia hết cho đa thức (x − c)k−1 K[x] 24 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân f (c) = (c − c)q(c) = ∈ K Do c nghiệm f (x) Ngược lại, giả sử c nghiệm f (x) Ta chia f (x) cho đa thức khác không x − c: f (x) = (x − c)q(x) + r(x), q(x), r(x) ∈ K[x] deg(r(x)) < deg(x − c) = Như deg(r(x)) không −∞ Trong hai trường hợp r(x) đa thức hằng, r(x) = r ∈ K Ta có = f (c) = (c − c)q(c) + r = r Vậy r = Từ f (x) = (x − c)q(x) Definition 5.1 Phần tử x ∈ K gọi nghiệm bội k đa thức f (x) f (x) chia hết cho đa thức (x − c)k , không chia hết cho đa thức (x − c)k−1 K[x] 24 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 5.1 Đa thức f (x) = x(x − 1)2 có nghiệm x = với bội x = với bội R[x] 25 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 5.1 Đa thức f (x) = x(x − 1)2 có nghiệm x = với bội x = với bội R[x] Definition 5.2 Đa thức f (x) ∈ K[x] gọi bất khả quy K bậc dương khơng thừa nhận phân tích có dạng f (x) = g(x)h(x), đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] có bậc nhỏ deg(f (x)) Một đa thức gọi khả quy K khơng bất khả quy K 25 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 5.1 Đa thức f (x) = x(x − 1)2 có nghiệm x = với bội x = với bội R[x] Definition 5.2 Đa thức f (x) ∈ K[x] gọi bất khả quy K bậc dương khơng thừa nhận phân tích có dạng f (x) = g(x)h(x), đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] có bậc nhỏ deg(f (x)) Một đa thức gọi khả quy K khơng bất khả quy K Nói cách khác đa thức f (x) ∈ K[x] bất khả quy K có bậc dương chia hết cho đa thức bậc dương có dạng kf (x) ∈ K[x], k ∈ K\{0} 25 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Example 5.1 Đa thức f (x) = x(x − 1)2 có nghiệm x = với bội x = với bội R[x] Definition 5.2 Đa thức f (x) ∈ K[x] gọi bất khả quy K bậc dương khơng thừa nhận phân tích có dạng f (x) = g(x)h(x), đa thức g(x), h(x) ∈ K[x] có bậc nhỏ deg(f (x)) Một đa thức gọi khả quy K khơng bất khả quy K Nói cách khác đa thức f (x) ∈ K[x] bất khả quy K có bậc dương chia hết cho đa thức bậc dương có dạng kf (x) ∈ K[x], k ∈ K\{0} Example 5.2 a) Mọi đa thức bậc bất khả quy b) Đa thức bậc hai bất khả quy K vơ nghiệm K c) Đa thức có bậc lớn có nghiệm K khơng bất khả 25 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân quy K d) Đa thức x2 − bất khả quy Q khả quy R e) Đa thức x2 + bất khả quy R khả quy C Ta thừa nhận định lý sau đây, nói tính đóng đại số trường số phức 26 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân quy K d) Đa thức x2 − bất khả quy Q khả quy R e) Đa thức x2 + bất khả quy R khả quy C Ta thừa nhận định lý sau đây, nói tính đóng đại số trường số phức Theorem 5.3 (Định lí Đại số học) Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức 26 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân quy K d) Đa thức x2 − bất khả quy Q khả quy R e) Đa thức x2 + bất khả quy R khả quy C Ta thừa nhận định lý sau đây, nói tính đóng đại số trường số phức Theorem 5.3 (Định lí Đại số học) Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Nói cách khác, đa thức hệ số phức bất khả quy C đa thức bậc 26 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân quy K d) Đa thức x2 − bất khả quy Q khả quy R e) Đa thức x2 + bất khả quy R khả quy C Ta thừa nhận định lý sau đây, nói tính đóng đại số trường số phức Theorem 5.3 (Định lí Đại số học) Mọi đa thức bậc dương với hệ số phức có nghiệm phức Nói cách khác, đa thức hệ số phức bất khả quy C đa thức bậc Vậy, f (x) ∈ C[x] có bậc n thừa nhận phân tích f (x) = an (x − z1 )(x − z2 ) (x − zn ) an 6= hệ số bậc cao f (x) z1 , z2 , , zn số phức 26