Bài giảng đại số tuyến tính chương 2 không gian vectơ

Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHƠNG GIAN VECTƠ Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) trường phổ thơng trung học, bạn đọc làm quen với vectơ tự phép toán chúng Tập hợp vectơ tự không gian với phép cộng vectơ nhân số thực với vectơ có nhiều tính chất, có tính chất bản: (1) (~ x+~ y) + ~ z=~ x + (~ y+~ z ); (2) ~ x + ~0 = ~0 + ~ x=~ x; (3) ~ x + (−~ x = (−~ x) + ~ x = ~0; (4) ~ x+~ y=~ y+~ x; (5) λ(~ x+~ y ) = λ~ x + λ~ y; (6) (λ + µ)~ x = λ~ x + µ~ x; (7) (λµ)~ x = λ(µ~ x); (8) 1~ x=~ x, với ba vectơ tự ~ x, ~ y, ~ z tuỳ ý; cặp số thực λ, µ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Chương II KHÔNG GIAN VECTƠ Trong mơn hình học giải tích (sơ cấp) trường phổ thông trung học, bạn đọc làm quen với vectơ tự phép toán chúng Tập hợp vectơ tự không gian với phép cộng vectơ nhân số thực với vectơ có nhiều tính chất, có tính chất bản: (1) (~ x+~ y) + ~ z=~ x + (~ y+~ z ); (2) ~ x + ~0 = ~0 + ~ x=~ x; (3) ~ x + (−~ x = (−~ x) + ~ x = ~0; (4) ~ x+~ y=~ y+~ x; (5) λ(~ x+~ y ) = λ~ x + λ~ y; (6) (λ + µ)~ x = λ~ x + µ~ x; (7) (λµ)~ x = λ(µ~ x); (8) 1~ x=~ x, với ba vectơ tự ~ x, ~ y, ~ z tuỳ ý; cặp số thực λ, µ 158 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân Nhắc lại tập hợp ma trận cấp m × n trường K, Mm,n (K) (K trường số thực hay trường số phức) với phép cộng ma trận nhân số K với ma trận có tính chất tương tự Sự giống tập hợp vectơ tự không gian tập Mm,n (K) nhiều mơ hình khác thường gặp tốn học dẫn đến việc tổng quát hoá thành khái niệm không gian vectơ mà nghiên cứu chương 159 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTƠ Định nghĩa khơng gian vectơ 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa khơng gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa không gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K cịn gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) 7→ x + y 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân §1 : KHÁI NIỆM VỀ KHƠNG GIAN VECTƠ Định nghĩa khơng gian vectơ Cho V tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi ”vectơ” kí hiệu a, b, c, , u, v, x, y, z, t, K trường số (thực hay phức) mà số từ K gọi ”vơ hướng” kí hiệu λ, µ, γ Giả sử cho hai phép toán: - Phép cộng hai vectơ V ×V →V (x, y) 7→ x + y 160 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân - Phép nhân vơ hướng với vectơ VK×V →V (λ, x) 7→ λx Ta bảo V với hai phép toán lập thành không gian vectơ K, hay K - không gian vectơ, tiên đề sau thoả mãn: 161 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân ∗ Biết đổi sơ cấp hàng U ta được:  h2 → h2 − 2h1 1  0  h3 → h3 − 3h1  U −−−−−−−−−→  0 h4 → h4 − 5h1  0 h5 → h5 − 8h1  2    h3 → h3 − h2  0 2   h → h − 2h  4   2 −−−−−−−−−→   h →h −3h 5   0  4  2 0 0 0   2   0   0  Suy rank{u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } = rankU = ∗ Dễ thấy {u1 , u2 } độc lập tuyến tính, hệ độc lập tuyến tính tối đại {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, nói riêng hệ {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } phụ thuộc tuyến tính R4 Example 3.4 Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ sau khơng gan 209 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân a) {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)} R3 b) {v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (3, 2, 3)} R3 c) {w1 = (1, 1, 0, 0), w2 = (0, 1, 1, 0), w3 = (2, 3, 1, 0)} R4 210 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân a) {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)} R3 b) {v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (3, 2, 3)} R3 c) {w1 = (1, 1, 0, 0), w2 = (0, 1, 1, 0), w3 = (2, 3, 1, 0)} R4 Giải: 210 Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân a) {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1)} R3 b) {v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1), v3 = (3, 2, 3)} R3 c) {w1 = (1, 1, 0, 0), w2 = (0, 1, 1, 0), w3 = (2, 3, 1, 0)} R4 Giải: 1 a) Vì 1