c´o vˆo sˆo´nghiˆe.m phu.. c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t.IV.. ng d¯i.nh l´y CarmerNˆe´u hˆe.. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh l`a hˆe.. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa` n nhˆa´t* Hˆe.. T´ınh
Bài giảng đại số tuyến tính ˆN - D ´.C (8+4) - I.NH THU Chu.o.ng MA TRA I Ma trˆ a.n `om m × n * Cho m, n nguyˆen du.o.ng Ta go.i ma trˆ a.n c˜ o m × n l` a mˆ o.t ba’ng sˆ o´ gˆ sˆ o´ thu c d¯u o c viˆe´t th` anh m h` ang, n cˆ o.t c´ o da.ng nhu sau: (ai,j )m×n a1,1 a = 2,1 am,1 a1,2 a2,2 am,2 a1,n a2,n am,n d¯´ o c´ ac sˆ o´ thu c ai,j , i = 1, m, j = 1, n `an tu’ cu’ a ma trˆ d¯u.o c go.i l` a c´ ac phˆ a.n, chı’ sˆ o´ i chı’ h` ang v` a chı’ sˆ o´ j chı’ cˆ o.t cu’a `an tu’ ma trˆ a.n phˆ a ma trˆ a.n h` ang, ma trˆ a.n c˜ o m × d¯u.o c go.i l` a ma * Ma trˆ a.n c˜ o × n d¯u.o c go.i l` ´ a ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a p n trˆ a.n cˆ o.t, ma trˆ a.n c˜ o n × n d¯u o c go.i l` `om c´ `an tu’ o.ng ch´eo gˆ ac phˆ * Trˆen ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a´p n, d¯u.` ai,i , i = 1, n `om c´ `an tu’ ad ¯u.` o.ng ch´eo gˆ ac phˆ d¯u.o c go.i l` o.ng ch´ eo ch´ınh, d¯u.` ai,n+1−i , i = 1, n ad ¯u.` d¯u.o c go.i l` o.ng ch´ eo phu cu’a ma trˆ a.n ` ` ´ ` ’ o.ng ch´eo ch´ınh d¯`ˆeu b˘ a ng 0, * Ma trˆ a.n vuˆ ong cˆ a p n c´ o c´ ac phˆ an tu n˘ a m ngo` d¯u.` ngh˜ıa l` a: ai,j = 0, ∀i 6= j d¯u.o c go.i l` a ma trˆ a.n ch´ eo * Ma trˆ a.n ch´eo c´ o ai,i = 1, i = 1, n d¯u.o c go.i l` a ma trˆ a.n d ¯o.n vi cˆ a´p n, k´ y hiˆe.u In o * Ma trˆ a.n c˜ o m × n c´ ai,j = 0, ∀i, j : i > j a ma trˆ a.n bˆ a.c thang d¯u.o c go.i l` ` `an tu’ d¯`ˆeu b˘ o c´ ac phˆ a ma trˆ a.n khˆ ong, k´ y * Ma trˆ a.n c˜ o m × n c´ a ng d¯u.o c go.i l` hiˆe.u 0m,n * Ta go.i ma trˆ a.n chuyˆ e’n vi AT = (aj,i )n×m a1,1 a = 1,2 a1,n a2,1 a2,2 a2,n am,1 am,2 am,n Typeset by AMS-TEX cu’a ma trˆ a.n A = (ai,j )m×n a1,1 a2,1 = am,1 a1,2 a2,2 am,2 a1,n a2,n am,n ` ng c´ u A b˘ a ach chuyˆe’n h` ang th` anh cˆ o.t, cˆ o.t th` anh h` ang l` a ma trˆ a.n c´ o d¯u.o c t` ` `an a (bi,j )m×n d¯u o c go.i l` a b˘ a ng nˆe´u c´ ac phˆ * Hai ma trˆ a.n c` ung c˜ o (ai,j )m×n v` ` ng nhau: `eu b˘ tu’ o’ t` a u.ng vi tr´ı d¯ˆ ai,j = bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n a mˆ o.t ma trˆ a.n c˜ o m × n, d¯´ o + Tˆ o’ng (hiˆe.u) cu’a hai ma trˆ a.n c` ung c˜ o m × n l` `an tu’ cu’a ma trˆ `an tu’ o’ vi tr´ı tu.o.ng u ´.ng: phˆ a.n tˆ o’ng (hiˆe.u) l` a tˆ o’ng (hiˆe.u) c´ ac phˆ (ci,j )m×n = (ai,j )m×n ± (bi,j )m×n v´ o.i ci,j = ai,j ± bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n o.ng cu’a sˆ o´ thu c α v´ o.i ma trˆ a.n c˜ o m × n l` a ma trˆ a.n c˜ o m × n, d¯´ o + T´ıch vˆ o hu.´ `an tu’ o’ vi tr´ı tu o ng u `an tu’ l` ´ ng cu’a ma trˆ a.n ban d¯`ˆ au: mˆ o˜i phˆ a t´ıch cu’a α v´ o i phˆ (ci,j )m×n = α.(ai,j )m×n v´ o.i ci,j = α.bi,j , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n + T´ıch vˆ o hu.´ o.ng c´ o t´ınh phˆ an bˆ o´ v´ o.i ph´ep cˆ o.ng c´ ac ma trˆ a.n: α.(A + B) = α.A + α.B, ´ o.ng c´ ac hˆe sˆ o: (α + β).A = α.A + β.B, c´ o t´ınh kˆe´t ho p: v´ o i ph´ep cˆ α.(β · A) = (α.β) · A + T´ıch cu’a hai ma trˆ a.n A = (ai,j )m×n v` a B = (bj,k )n×q l` a ma trˆ a.n C = A × B = (ci,k )m×q , v´ o.i ci,k = n X ai,j bj,k , ∀i = 1, m, ∀k = 1, q j=1 V´ı du 2 1.1 + 3.1 + 2.3 × −1 = 2.1 + 4.1 + 7.3 3.1 + 5.1 + 6.3 1.3 − 3.1 + 2.2 10 2.3 − 4.1 + 7.2 = 27 16 3.3 − 5.1 + 6.2 26 16 + Ph´ep nhˆ an hai ma trˆ a.n c´ o t´ınh kˆe´t ho p: A × (B × C) = (A × B) × C, t´ınh phˆ an o.ng: phˆ o´i d¯ˆ o´i v´ o i ph´ep cˆ A × (B + C) = A × B + A × C; (A + B) × C = A × C + B × C Ngo` ra, nˆe´u A c´ o c˜ o m × n, th`ı A × In = Im × A = A - i.nh th´ II D u.c * Cho E = {1, 2, 3, , n} Ta go.i ho´ an vi cu’ a tˆ a.p E l` a mˆ o.t song ´ anh f : E → E, k´ y hiˆe.u n f: f (1) f (2) f(n) hay (f (1), f(2), , f (n)) (c´ o tˆ a´t ca’ n! ho´ an vi kh´ ac nhau) ´ V´ı du Cho E = {1, 2, 3} Anh xa f : E → E x´ ac d¯.inh bo’.i: f (1) = 1, f(2) = 3, f(3) = l` a mˆ o.t ho´ an vi cu’a E, k´ y hiˆe.u l` a 3 ho˘ a.c (1, 3, 2) * Cho mˆ o.t ho´ an vi f: f (1) f (2) n f(n) ta th` anh lˆ a.p c´ ac c˘ a.p th´ u tu (f (i), f(j)), ∀i 6= j, s˜e c´ o Cn2 c˘ a.p th´ u tu nhu thˆe´; mˆ o.t c˘ a.p (f (i), f(j)) d¯u.o c go.i l` a nghi.ch thˆ e´ nˆe´u (i − j)(f (i) − f (j)) < Go.i N (f ) l` a sˆ o´ c´ ac nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi f (c´ o Cn2 c˘ a.p th´ u tu trˆen) V´ı du T`ım sˆ o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi f : 3 5 T` u ho´ an vi n` ay, ta c´ o c´ ac c˘ a.p th´ u tu (3, 2), (3, 1), (3, 5), (3, 4), (2, 1), (2, 5), (2, 4), (1, 5), (1, 4), (5, 4), d¯´ o ta c´ o c´ ac nghi.ch thˆe´: (3, 2), (3, 1), (2, 1), (5, 4), suy N (f ) = - i.nh th´ * Cho ma trˆ a.n (A)n,n D u.c cu’ a A l` y hiˆe.u v` a x´ ac d¯i.nh nhu a mˆ o.t sˆ o´ thu c, k´ sau: X (−1)N (f ) a1,f (1) a2,f (2) an,f (n) det(A) = f ∈Sn `an tu’ {1, 2, , n} Nhu vˆ d¯´ o Sn l` a tˆ a.p tˆ a´t ca’ n! ho` an vi cu’a n phˆ a.y, d¯i.nh ´ ’ a.n A l` a mˆ o.t sˆ o: th´ u c cua ma trˆ ` + b˘ a ng tˆ o’ng d¯a.i sˆ o´ cu’a n! ha.ng tu’ da.ng a1,f (1) a2,f (2) an,f (n) `an tu’ ai,j m` + mˆ o˜i ha.ng tu’ l` a mˆ o˜i h` ang, mˆ o˜i cˆ o.t pha’i c´ o mˆ o.t a t´ıch cu’a n phˆ `an tu’ tham gia v` v` a chı’ mˆ o.t phˆ ao t´ıch d¯´ o ´.ng o.c v` ao sˆ o´ nghi.ch thˆe´ cu’a ho´ an vi tu.o.ng u + dˆ a´u cu’a mˆ o˜i ha.ng tu’ phu thuˆ a´p l` a gi´ a tri t´ınh d¯u o c t` u ba’ng h` ang, cˆ o.t nhu sau: * Ta go.i d ¯i.nh th´ u c cˆ a1,1 a1,2 = a1,1 D1 − a2,1 D2 + · · · + (−1)n+1 an,1 Dn an,n ` a´p n − thu d¯u.o c t` a cho b˘ a ng c´ ach bo’ cˆ o.t d¯´ o Dk l` a d¯i.nh th´ u.c cˆ u ba’ng d¯˜ th´ u nhˆ a´t v` a h` ang th´ u k, k = 1, n V´ı du 0 3