Bài giảng nhập môn đại số tuyến tính

BÀI GIẢNG MƠN TỐN Nhập mơn Đại số tuyến tính PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO Bộ mơn Đại số & Xác suất thống kê TUẦN Mở đầu Đại số tuyến tính Cũng mơn Giải tích, mơn Đại số tuyến tính có lịch sử phát triển từ việc giải hệ phương trình tuyến tính với nhiều phương trình nhiều ẩn, tốn phổ biến ứng dụng toán học vào thực tiễn Để nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm, khái niệm tổng quát hơn, trừu tượng (như khái niệm véc tơ, không gian véc tơ, ma trận, định thức, phép biến đổi tuyến tính v.v…) xuất nói, Đại số tuyến tính mơn học vẽ phép tốn tuyến tính, cấu trúc tuyến tính Tốn học Ngày nay, Đại số tuyến tính có ứng dụng sâu rộng tồn lĩnh vực khoa học công nghệ đặc biệt lĩnh vực nghiên cứu Thủy Lợi, trở thành môn học bắt buộc cho sinh viên tất trường Đại học công nghệ, có trường Đại học Thủy Lợi CHƯƠNG I: GIỚI THIỆU VÉC TƠ VÀ VIỆC GIẢI HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I.1 Giới thiệu véc tơ I.1.1 Véc tơ hình học: Khái niệm biết từ chương trình phổ thông trung học đoạn thẳng r định hướng điểm cố định điểm gốc véc tơ Ký hiệu a độ r r dài véc tơ a ký hiệu a I.1.2 Các phép toán véc tơ r r Cho véc tơ a b r r * Cộng véc tơ véc tơ ký hiệu a + b theo quy tắc đường chéo hình bình hành r r r r * Trừ véc tơ a − b hiểu a + (−b ) r * Nhân véc tơ a với đại lượng vô hướng (số thực) x véc tơ có độ r r dài x a , hướng với a x > 0, ngược hướng x < r r r * Tổ hợp tuyến tính véc tơ a1 , a2 , , an véc tơ r r r r v = x1 a1 + x2 a2 + + xn an với xi số thực Chú ý : r r Khi a ≠ tập véc tơ xa (∀x ∈R1 lấp đầy đường thẳng) r r Khi a1 a2 khơng phương tập hợp tổ hợp tuyến tính r r x1a1 + x2 a (với x1, x2 thuộc R ) lấp đầy mặt phẳng r r r Khi a1 , a2 , a3 véc tơ không mặt phẳng tập hợp tổ hợp r r r tuyến tính chúng x1a1 + x2 a + x3a3 lấp đầy không gian r r r r * Tích vơ hướng véc tơ: a a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos α (trong α góc hợp r r véc tơ a b Chú ý : Các khái niệm tích vơ hướng, cách tính độ dài véc tơ, tính góc hợp véc tơ… chương trình phổ thơng trung học Ngồi ra, khái niệm tính hữu hướng phổ thông học I.1.3 Biểu diễn hình học véc tơ dạng tọa độ r r r * Trong R với véc tơ đơn vị i , j , véc tơ a biểu diễn r r r r dạng a = x.i + y j Cặp (x,y) gọi tọa độ a Trong giáo trình này, r đồng véc tơ a với cặp tọa độ chúng, viết dạng r x  cột hàng: (được gọi véc tơ cột) a =    y r Mở rộng không gian chiều R3 a có toạ độ ( x1 , x2 , x3 )  x1    đồng với véc tơ cột av =  x2   x3    Chú ý : r • Ký hiệu ( x1 , x2 , x3 ) tọa độ a véc tơ • Các phép tốn véc tơ chiều mở rộng tương tự cho m chiều I.2 Giải phương trình tuyến tính I.2.1 Bài tốn giải hệ phương trình tuyến tính (bậc nhất) ẩn 2x + 4y + 4z = 200 x + y + z = 65 (1) x - y + 0z = • Véc tơ hệ phương trình tuyến tính  2 4   4 200 r r r r Gọi a1 = 1  , a2 = 1  , a3 = 1  , b = 65          1  − 1 0  2  Bài tốn giải hệ (1) là: Hãy tìm số thực x,y,z để cho r r r r xa1 + ya + za3 = b I.2.2: Bài toán tổng quát: r r r r Cho a1 , a2 , , an véc tơ b véc tơ không gian R m (m tọa độ) Hãy tìm n số thực x1 , x2 , , xn để cho ta có: r r r r x1a1 + x2 a + + xn an = b Nếu ký hiệu véc tơ cột a1i r  = a2i  ani      b1  r   (i = 1,2 , n), b = b2  , b   m r  x1  r   x =  x2  x   n tốn trở thành: tìm véc tơ x để thỏa mãn hệ m phương trình n ẩn sau: a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 am1 x1 + am x2 + + amn xn = b (2) Hệ (2) hệ phương trình tuyến tính tổng qt mà ta gặp tất chương môn học việc giải hệ (2) nhiệm vụ trọng tâm giáo trình Đại số tuyến tính * ảnh hàng ảnh cột hệ phương trình tuyến tính phương trình, ẩn: Ví dụ: giải hệ: x + 2y + 3z = 2x + 5y + 2z = (3) 6x - 3y + z = Tức tìm điểm (x,y,z) không gian R3 để thỏa mãn phương trình hệ Đó điểm chung mặt phẳng R3 tương ứng với phương trình hệ mặt khác, nói, tìm hệ số x, y, z để véc tơ cột 6  4 biểu diễn tổ hợp tuyến tính véc tơ cột   2 1   2 ;   6  2  3  5  2     − 3 1  * ảnh hàng biểu diễn giao mặt phẳng có phương trình ứng với hàng tương ứng 6  * ảnh cột biểu diễn hệ số cột 4 biểu diễn tuyến tính qua   2 cột nói  x  0  Hình 2.4 ảnh cột  y  = 0      z  2 3  6   2 = b =  4     1  2 10 VÝ dụ 2: thực hành lớp ví dụ phần giải lặp Jacobi Định lý (công nhận, không chứng minh) Khi ||B|| < 1, phÐp lỈp Seidel héi tơ với giá trị bớc lặp Chú ý: Nếu A ma trận chéo trội đa đợc phép lặp với ||B|| < V.5.3 So sánh u điểm phơng pháp lặp Hai phơng pháp lặp có u điểm chung dễ thực hiện, dễ viết thuật toán lập trình để giải máy tính (khi ma trận A có kích thớc lớn) 14 Tuy nhiên phơng pháp lặp Seidel có nhiều u đợc Tiết kiệm nhớ Tốc độ hội tụ nhanh lặp Jacobi Ngời ta đ trờng hợp dùng lặp Seidel hội tụ lặp Jacobi không hội tụ 15 Tóm tắt ý Tại phải giải gần hệ Ax = b Thế ma trận tha, ma trận dải băng, ma trận chéo trội Có cách định nghĩa chuẩn ma trận A Thế lặp Jacobi Thế lặp Seidel Khi phơng pháp lặp hội tụ tới nghiệm chân thực Ax = b Cách xác định sai số cđa b−íc lỈp thø k? NÕu hƯ Ax = b với A có dạng chéo trội có đặc điểm So sánh tính u việt hai phép lặp Jacobi lặp Seidel 16 17 Tuần 14 VÐc t¬ phøc – Ma trËn phøc giíi thiƯu ý t−ëng cđa phÐp biÕn ®ỉi Fourier nhanh V 6.1 Sè phức: Lý thuyết Đại số tuyến tính hoàn thiện số đợc mở rộng thành số phức Định nghĩa: (Dạng đại số số phức) Số phức z đợc định nghĩa số : z = a + ib Trong a, b số thực i đơn vị ảo, i2 = -1 VÝ dô: z = - i , z = 1, z = 4i v.v Định nghĩa: (Dạng hình học số phức): Trên mặt phẳng phức (gồm trục thực trục ảo), điểm z = a + ib điểm có toạ độ a trục thực b trục ảo Ví dụ: Hình bên mô tả biến điểm mặt phẳng phức thĨ hiƯn sè phøc z = a + ib Chó ý 1: Mặt phẳng phức ký hiệu C Chú ý 2: Với số phức z = a + ib phần thực (ký hiệu Re (z) , phần ảo z (ký hiệu Im (z) z = a+ib bi 2i z  i θ a Mô đun z (ký hiệu z ) a + b , số phức liên hợp cđa sè phøc z b (ký hiƯu lµ z ) : z = a – ib, Argument cña z (ký hiƯu lµ Arg (z)) = arctg ,lµ a gãc θ đợc chọn phù hợp với dấu a b 2 Định nghĩa: (Dạng lợng giác số phức) Nếu z có môđun z = , Arg (z) = z đợc viết dới dạng: Z = ρ (cos θ + i sin θ) VÝ dơ: Chun sè phøc z = − + i dạng lợng giác 2 b  Gi¶i: Ta cã z =   +   = 1, Arg (z) = arctg = arctg (- 3) a  2   = -600 hc 1200 Nh−ng lÊy arctg (- 3) = 1200 để phù - 3/2 hợp với dấu a b (ở a0) 1200 -1/2 1/2 VËy z = cos (1200) + isin (1200) Chó ý: Công thức ơle (Euler): ei = cos + isin Vì từ dạng lợng giác số phức, số phức đợc viết dạng Euler z = (cosθ + i sinθ) = ρeiθ V 6.2 C¸c phÐp toán số phức Cộng trừ nhân số phức: tiến hành bình thờng nhng đợc kết nhớ gộp phần thực phần ảo ý i2 = -1 2) Chia sè phøc: z z z z z = = z z z z 1 2 2 2 2 − 3i (2 − 3i )(1 − i ) = = − i 1+ i 2 Chó ý: Khi số phức có dạng lợng giác phép nhân chia số phức đơn giản nhiều Ví dô: ρ1(cosθ1 + i sin θ1) ρ2(cosθ2 + i sin θ2) = ρ1ρ2 [cos (θ1 + θ2) + i sin(1 + 2)] * Nhân hai số phức số phức có môđun tích mô đun argument lµ tỉng argument * Chia sè phøc: ρ1 (cos θ1 + i sin θ1 ) ρ1 = [cos(θ1 − θ ) + i sin(θ1 − θ ) ρ (cos θ + i sin ) Thơng hai số phức số phức có mô đun thơng mô ®un vµ cã argrument b»ng hiƯu argrument 4) L thõa bËc n cña sè phøc zn = ρn (cos nθ) + i sin (nθ) - Lòy thõa bËc n cđa mét sè phøc lµ mét sè phøc z có mô đun luỹ thừa bậc n mô đun z argrument n lần argrement z Khai bậc n số phức z = ρ (cosθ + i sin θ) => n z= n ρ [cos( θ + 2kπ n ) + i sin( θ + 2kπ n )] k = 0,1, … (n - 1) Chú ý: 1) Căn bậc n sè phøc z cã n nghiƯm kh¸c (øng víi k = 0, 1, 2, … (n -1)) 2) Trên mặt phẳng phức bậc n đỉnh đa giác n cạnh khoảng cách từ đỉnh tới gốc n Ví dụ: Giải phơng trình phức: z8 = Giải: Viết số dới dạng lợng giác z = cos + isin 2π (hay z = e2πi) => 2π + 2kπ 2π + 2kπ z = cos( ) + i sin( ) 8 hay z = e 2π + 2kπ k = 0, 1, 2, …7 ta ®−ỵc nghiƯm 2π 2π 1 * Víi k = => cos + i sin = +i =w 8 2 2π 2π 2π 2π * Khi k = => cos ( + ) + i sin( + ) = w 8 8 2π 4π 2π 4π * Khi k = => cos ( + ) + i sin( + ) = w 8 8 (Vì Argument đợc nhân lên k+1 lÇn so víi W) … * Khi k = 2π + 14π 2π + 14π cos( ) + i sin( ) =1 => 8 VËy nghiƯm lµ w, w2 w7,, w3 … víi w = 1+ i V.6.3 VÐc t¬ phøc Ma trËn phức :Hoàn toàn tơng tự chơng trớc nhng phần tử số phức phép toán phép toán số phức w2 =i w= e w4=-1 πi w8=1 w6 =-i V.6.4 ý t−ëng phÐp biÕn ®ỉi Fourier nhanh ý t−ëng phép biến đổi Fourier nhanh xuất phát từ việc khai triĨn Fourier hµm f(x) , tøc lµ viÕt thành tổng hàm dạng ckeikx : f(x) = co + c1 eix +c2e2ix+c3e3ix Ng−êi ta cÇn tÝnh gÇn hệ số ck có liên quan đến phép biến đổi có ma trận sau : Định nghĩa: Ma trËn Fourier cÊp n (ký hiƯu lµ Fn) lµ ma trận có phần tử w= đợc xắp xếp đặc biệt F4 = VD:  1 1  1   w2 w3  w4 w6  w w  w w w 1 F (ma trËn nghịch đảo thay w = -i = -w) , n 2/ Nếu xắp xếp cột vị trí lẻ đứng trớc cột vị trí chẵn ma trận F4 tạo nên ma trận khối lại lµ ma trËn Fourier cÊp Chó ý: 1/ F-1 = Đặc điểm ma trận Fourier: Thông thờng phải có n2 phép nhân nhân ma trận vuông cÊp n víi vÐc t¬ nh−ng tÝnh chÊt đặc biệt ma trận Fourier nên nhân với véc tơ số phép nhân giảm nhiều Vì , phép biến đổi Fourier cần n logn2 phép nhân Chính mà đợc gọi nhanh Ví dụ: n = 1024 thông thờng cần 10242(hàng triệu) phép nhân Phép biến đổi Fourier nhanh 5.1024 phép nhân Đây thực cách mạng kỹ thuật Phép biến đổi Fuorier nhanh có ứng dụng đặc biƯt kü tht sư lý tÝn hiƯu trun th«ng nghiên cứu thuỷ văn , dự báo khí tợng Tóm tắt ý Thế đơn vị ảo Dạng đại số, hình học, dạng lợng giác số phức Công thức Euler Các phép toán số phức Khai bậc n số phức Đặc điểm bậc n số phức Căn bậc n đơn vị 8.ý tởng pháp biến đổi Fourier nhanh ... trận, định thức, phép biến đổi tuyến tính v.v…) xuất nói, Đại số tuyến tính mơn học vẽ phép tốn tuyến tính, cấu trúc tuyến tính Tốn học Ngày nay, Đại số tuyến tính có ứng dụng sâu rộng tồn lĩnh... Jordan BI GIẢNG MƠN TỐN Nhập mơn Đại số tuyến tính PGS.TS NGUYỄN HỮU BẢO Bộ môn Đại số & Xác suất thống kê.o TUẦN II.3 Định thức II.3.1 Định thức cấp Nhắc lại việc giải hệ tuyến tính: ax + by...TUẦN Mở đầu Đại số tuyến tính Cũng mơn Giải tích, mơn Đại số tuyến tính có lịch sử phát triển từ việc giải hệ phương trình tuyến tính với nhiều phương trình nhiều ẩn,