Sử dụng từ điển toán học tiếng anh trong việc nghiên cứu và mở rộng các bài toán, khái niệm chuyên sâu môn đại số tuyến tính,đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên

1 Tên đề tài NCKHSV: Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh việc nghiên cứu mở rộng tốn, khái niệm chun sâu mơn Đại số tuyến tính The title: Use English – Vietnamese dictionary of mathematics in study and expanding the problems, specialize in definition of linear algebra Giảng viên hướng dẫn: Võ Xuân Bằng Trường Đại học Giao thông Vận tải – Cơ sở II E-Mail: vxbang@utc2.edu.vn Sinh viên thực hiện: Ngô Lê Ngọc Thành Lớp: CĐA-K51 Nguyễn Đức Thanh Lớp: CĐA-K51 Nguyễn Hồng Thịnh Lớp: CĐA-K51 Tóm tắt Ở đề tài tập trung vào việc sử dụng từ điển Toán học Anh – Việt số tài liệu khác để nghiên cứu khái niệm chuyên sâu phần Ma trận môn học Đại số tuyến tính, từ nêu tốn khó, gặp sử dụng khái niệm để giải Cũng góp phần nâng cao vốn tiếng Anh chuyên ngành toán ứng dụng phương pháp nghiên cứu khoa học đồng thời bổ trợ thêm kiến thức môn học Chúng hệ thống hoá dạng ma trận số khái niệm liên quan tiếng Anh giúp cho bạn sinh viên dễ dàng tra cứu để sử dụng vào việc học môn học bản, sở chuyên ngành Abstract In this thread, we focus on using english – vietnamese dictionary of mathematics and some other document to study definitions of the matrix in linear algebra, therefore difficult mathematical questions could be given and can be solved by those definition In the other hand, it also enrich english vocabulary and studying science method We systematized forms of matrices and some related definition in english to help students using this document more easier Phần mở đầu 1.1 Tính cấp thiết đề tài: Trường Đại học Giao thông Vận tải – Cơ sở II trường có truyền thống sinh viên học tập tư tốt Điều thể qua việc tìm tịi tài liệu tiếng nước sau hoàn thành môn học, đặc biệt môn Đại số tuyến tính Ý thức tốt đa số sinh viên lại gặp nhiều khó khăn việc đọc hiểu tài liệu phải tiếp xúc với khái niệm toán học đặc trưng viết tiếng Anh Ngoài ra, đặc thù ngành kĩ thuật nên số lượng từ điển chuyên ngành Anh – Việt ít, đến với sinh viên Mong muốn giúp bạn sinh viên sử dụng tài liệu tốn học tiếng Anh hiệu thơi thúc nhóm nghiên cứu thực đề tài Để tăng tính thực tiễn khả ứng dụng đề tài ngồi việc dịch khái niệm tốn học sang tiếng Anh, đề tài mở rộng khái niệm ứng dụng giải toán chuyên sâu Đại số tuyến tính 1.2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài: Dịch khái niệm tổng hợp ví dụ thành tài liệu tra cứu mơn Đại số tuyến tính tiếng Anh có khả giúp ích cho sinh viên nghiên cứu tài liệu nước (nhất bạn sinh viên lớp Cầu đường Anh) Mở rộng khái niệm áp dụng giải tốn chun sâu Đại số tuyến tính 1.3 Phạm vi đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài khái niệm môn học Đại số tuyến tính chương trình đại học sâu vào phần ma trận Các khái niệm nghiên cứu với nguyên gốc tiếng Anh đối chiếu với tiếng Việt tương ứng Phần khái niệm chuyên sâu để ứng dụng giải số tốn dạng khó gặp giáo trình Đại số Tuyến tính Phạm vi nghiên cứu sử dụng từ từ điển Toán học Anh – Việt, từ điển Anh – Việt giáo trình tốn học số tài liệu tiếng Anh mà sinh viên lớp Cầu đường Anh K51 học, sưu tầm 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Dịch khái niệm sang tiếng Anh kết hợp với ví dụ: 2.1.3 Transposed matrix: The transpose of a matrix A, written ATor A’, is the matrix obtained by writting the columns of matrix A to rows of matrix A’ or AT Observe that the transpose of a row vector is a column vector Similarly, the transpose of the column vector is a row vector Properties: (AT)T = A (A + B)T = AT + BT, A and B being of the same order (KA)T = KAT, k be any scalar (real or complex) (AB)T = BT AT; A and B being conformable for the product AB 2.1.4 A diagonal matrix: It is or a diagonal matrix (usually a square matrix) in Từ giáo trình Đại số tuyến tính Từ điển toán học kết hợp với số tài liệu tham khảo, nhóm nghiên cứu chuyển khái niệm sang tiếng Anh sau cho ví dụ cụ thể, làm rõ khái niệm Đây tảng để từ nhóm mở rộng áp dụng khái niệm để giải toán chuyên sâu chương Nội dung 2.2 Dịch khái niệm tổng hợp ví dụ thành tài liệu tra cứu mơn Đại số tuyến tính 2.1.1 Definition of matrix: A matrix is simply a set of numbers arranged in a rectangular table, each of the numbers in the matrix is called an entry Here are some examples of matrices We usually write matrices inside parentheses ( ) or brackets [ ] We can add, subtract and multiply matrices together, under certain conditions which the entries outside the main diagonal (↘) are all zero The diagonal entries themselves may or may not be zero 2.1.5 Identity matrix: The n – square identity or unit matrix,denoted by I n , or simply I , is the n-square with 1’s on the diagonal and 0’s elsewhere The identity matrix I is similar to the scalar in that, for any n – square matrix A,AI = IA = A More generally, if B is an m x n matrix, then BI n = I m B = B For any scalars k, the matrix kI that contains k’s on the diagonal and 0’s elsewhere is called the scalar matrix corresponding to the scalar k It is observe that (kI)A = k(IA) = kA Multiplying a matrix A by the scalar matrix kI is equivalent to multiplying A by the scalar k 2.1.6 Invertible matrix: 2.1.2 Definition of determinant: The determinant of a matrix is a scalar property of that matrix, which can be thought of physically as a volume enclosed by the row vectors of the matrix Only square matrices have determinants Determinants are also useful because they tell us whether or not a matrix can be inverted The determinant of A is written “det A” or | A | A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such that AB = BA = I,where I is the identity matrix Such a matrix B is unique Therefore, if AB = B A = I and AB = B A = I then B = B I = B (AB ) = (B A)B = IB = B We call such a matrix B the inverse of A and denote it by A-1 Observe that the above relation issymmetric; if B is the inverse of A, then A is the inverse of B 2.1.7 Orthogonal matrix: A real matrix A is orthogonal if AT = A-1 – that is, if AAT = ATA = I Thus, A is necessarily be square and invertible 2.1.14 Rank of matrix: The rank of a matrix is defined as the maximum number of linearly independent column vectors in the matrix or the maximum number of linearly independent row vectors in the matrix Both definitions are equivalent 2.1.15 Idempotent matrix: 2.1.8 Conjugate matrix: It is a matrix Ā obtained from a given matrix A by taking the complex conjugate of each element of A The notation A* is sometimes used, which can lead to confusion since this symbol is also used to denote the conjugate transpose 2.1.9 Similar matrix: Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T-1 A T In this case, T is said to be the similarity transformation matrix Matrices which are similar have the same eigenvalues Special cases include the similarity matrix T being an elementary transformation matrix, or an orthogonal matrix or a unitary matrix 2.1.10 Triangular matrix: There are two kinds of triangular matrix – upper triangular matrix and lower triangular matrix 2.1.11 A nilpotent matrix: It is one for which the square, cube, or some finite power equals zero For instance, any strictly lower triangular matrix is nilpotent The matrix M is idempotent if and only if M2 = M With the exception of the identity matrix, an idempotent matrix is singular;that is, its number of independent rows (and columns) is less than its number of rows (and columns) This can be seen from writing MM = M, assuming that M has full rank (is non-singular), and pre-multiplying by M−1 to obtain M = M−1M = I When an idempotent matrix is subtracted from the identity matrix, the result is also idempotent This holds since [I − M][I − M] = I − M − M + M2 = I − M − M + M = I – M 2.2 Ứng dụng khái niệm vào giải toán thường gặp Đại số tuyến tính Giải tốn chun sâu khái niệm mở rộng 2.2.1 Problem 1: Use nilpotent matrix to An by analyzing matrix A to form A = B + C A nilpotent matrix is one for which the square, cube, or some finite power equals zero For instance, any strictly lower triangular matrix is nilpotent We have this formular if BC = CB: ( B + C= ) n 2.1.12 A partitioned matrix: A partitioned matrix or a block matrix is a matrix M that has been constructed from other smaller matrices These smaller matrices are called blocks or sub-matrices of M Cn0 B n + Cn1 B n −1C + + Cnl B n −1C l + + CnnC n 2.2.2 Problem 2: Using the idempotent matrix to n calculate the matrix A The matrix M is idempotent if and only if M2 = M Therefor we have another way to firgure out An by using 2.1.13 Symmetric Matrices: this matrix A matrix A is symmetric if AT = A Equivalently, A = [ a ij ] is symmetric if symmetric elements (mirror elements respect to the diagonal) are equal – that is, if each a ij = a ji 2.2.3 Problem 3: Using similar matrix and diagonal matrix to calculate the matrix A n Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T-1 A T 2.2.4 Problem 4: Use the invertible matrix to solve matrix equations • Thơng qua hình thức làm việc nhóm, chúng em biết cách tổ chức, phân công công việc cho thành viên để đạt hiệu tốt Cũng hiểu rõ cách khai thác tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu • Kĩ trình bày báo khoa học báo cáo khoa học nâng cao Kĩ thuyết trình nói trước đám đơng nhóm cải thiện A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such that AB = BA = I, where I is the identity matrix 2.2.5 Problem 5: Using the triangular matrix to solve simultaneous equations by Gauss method and apply to calculate determinant of triangle matrix 2.2.6 Problem 6: Using the orthogonal matrix to convert quadratic form to canonical form and is orthogonal by the diagonal matrix • A real matrix A is orthogonal if AT = A-1 – that is, if AAT = ATA = I Thus, A is necessarily be square and invertible TÀI LIỆU THAM KHẢO Phần kết luận • Sau hồn thành đề tài “Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh việc nghiên cứu mở rộng toán, khái niệm chun sâu mơn Đại số tuyến tính” nhóm nghiên cứu rút nhiều kinh nghiệm học bổ ích Cụ thể sau: Lấy ví dụ minh họa cho bước thông qua Bộ mơn Tốn trường Đại học Giao thơng Vận tải (2007), Đại số tuyến tính Tổ Từ điển Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, khoa Toán Thư ký vụ ban Toán thuộc Uỷ ban Khoa học Kĩ thuật Nhà nước (1972), Từ điển Toán học Anh – Việt Math.tutorvista.com • Thơng qua việc dịch khái niệm Tốn học sang tiếng Anh, nhóm chúng em tiếp xúc với từ vựng chun ngành Tốn từ nâng cao khả dịch thuật thân Ph.D Seymour Lipschutz (Temple University) + Ph.D Marc Lars Lipson (University of Virginia)(2008), Schaum’s Outline of Linear Algebra Fourth Edition • Ơn tập mở rộng kiến thức Đại số tuyến tính, ứng dụng khả tư tốn học vào mơn học sở chuyên ngành sau Wikipedia.com Nhận xét cán hướng dẫn Nhóm nghiên cứu lớp Cầu Đường Anh K51 nắm bắt ý tưởng thực tốt đề tài Nâng cao vốn tiếng Anh chuyên sâu Đại số tuyến tính, khái niệm liên quan đến dạng ma trận đặc biệt Biết sử dụng khái niệm chuyên sâu ma trận để mở rộng giải lớp toán đặc sắc ma trận Bước đầu tiếp cận với phương pháp nghiên cứu khoa học Theo đánh giá giáo viên hướng dẫn đề tài đạt loại tốt Ngày tháng năm 2012 Ths GVCVõ Xuân Bằng Lời cảm ơn Lời nhóm nghiên cứu xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Nhà trường, Ban Khoa học Công nghệ - Đối ngoại tất thầy cô Bộ môn Cơ tạo điều kiện, giúp đỡ sinh viên chúng em tham gia nghiên cứu khoa học Và nhóm xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ths GVC Võ Xuân Bằng, người nhiệt tình hướng dẫn, bảo tạo điều kiện thuận lợi để nhóm hồn thành đề tài này; cảm ơn cô Nguyễn Thị Thái Hà – giảng viên môn Đại số xác suất dành thời gian đọc đề tài đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho chúng em Lần đầu tham gia nghiên cứu khoa học nhóm học hỏi thêm nhiều kinh nghiệm nâng cao kiến thức thân Tuy nhiên hạn chế trình độ dịch thuật kiến thức Tốn học chun ngành nên đề tài khó tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc Đại diện nhóm nghiên cứu Ngơ Lê Ngọc Thành LỜI NĨI ĐẦU Để nâng cao chất lượng giảng dạy học tập, đồng thời với việc hội nhập sinh viên Việt nam nói chung sinh viên trường Đại học Giao thông Vận tải – Cơ sở II nói riêng với khu vực giới, trường tiến hành mở lớp Cầu đường tăng cường tiếng Anh để đáp ứng nhu cầu học tập sinh viên Ngồi chương trình học với khối lượng kiến thức lớp Cầu đường, sinh viên lớp Cầu đường Anh tiếp nhận vốn kiến thức tiếng Anh nâng cao liên tục suốt trình học tập Với mong muốn trang bị cho sinh viên khả sử dụng thành thạo tiếng Anh vào việc nghiên cứu tài liệu mơn Tốn, chúng tơi đề xuất đề tài nghiên cứu “ Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh việc nghiên cứu mở rộng toán, khái niệm chun sâu mơn Đại số tuyến tính” Ở đề tài tập trung vào việc sử dụng từ điển Toán học Anh – Việt số tài liệu khác để nghiên cứu khái niệm chuyên sâu phần Ma trận môn học Đại số tuyến tính, từ nêu tốn khó, gặp sử dụng khái niệm để giải Cũng góp phần nâng cao vốn tiếng Anh chuyên ngành toán ứng dụng phương pháp nghiên cứu khoa học đồng thời bổ trợ thêm kiến thức môn học Chúng hệ thống hoá dạng ma trận số khái niệm liên quan tiếng Anh giúp cho bạn sinh viên dễ dàng tra cứu để sử dụng vào việc học môn học bản, sở chuyên ngành Cuối nhóm sinh viên lớp Cầu đường Anh – K51, người thực đề tài mong nhận bảo thêm thầy, đóng góp bạn sinh viên người quan tâm đến đề tài MỤC LỤC Trang NHẬN XÉT CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU MỤC LỤC CHƯƠNG – PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Tính cấp thiết đề tài 1.2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài 1.3 Phạm vi đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG – DỊCH CÁC KHÁI NIỆM VÀ TỔNG HỢP CÁC VÍ DỤ THÀNH MỘT TÀI LIỆU TRA CỨU MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2.1 Definition of matrix 2.2 Definition of determinant 2.3 Transposed matrix 10 2.4 Diagonal matrix 11 2.5 Identity matrix 11 2.6 Invertible matrix 12 2.7 Orthogonal matrix 14 2.8 Conjugate matrix 14 2.9 Similar matrix 14 2.10 Triangular matrix 15 2.11 Nilpotent matrix 15 2.12 A partitioned matrix 16 2.13 Symmetric matrix 16 2.14 Rank of matrix 19 2.15 Idempotent matrix 20 CHƯƠNG – ỨNG DỤNG CÁC KHÁI NIỆM MỚI VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THƯỜNG GẶP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYÊN SÂU BẰNG CÁC KHÁI NIỆM MỞ RỘNG 21 3.1 Problem 1: Use nilpotent matrix to An by analyzing matrix A to form A = B + C 21 3.2 Problem 2: Using the idempotent matrix to calculate the matrix An 22 3.3.Problem 3: Using similar matrix and diagonal matrix to calculate the matrix An 22 3.4 Problem 4: Use the invertible matrix to solve matrix equations 25 3.5 Problem 5: Using the triangular matrix to solve simultaneous equations by Gauss method and apply to calculate determinant of triangle matrix 27 3.6 Problem 6: Using the orthogonal matrix to convert quadratic form to canonical form and is orthogonal by the diagonal matrix 30 CHƯƠNG – BÀI HỌC RÚT RA TỪ VIỆC NGHIÊN CỨU 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 20 2.14 Rank of matrix: The rank of a matrix is defined as the maximum number of linearly independent column vectors in the matrix or the maximum number of linearly independent row vectors in the matrix Both definitions are equivalent For an r x c matrix: If r is less than c, the maximum rank of the matrix is r If r is greater than c, the maximum rank of the matrix is c The rank of a matrix would be zero only if the matrix had no elements If a matrix had even one element, its minimum rank would be one 2.15.Idempotent matrix: The matrix M is idempotent if and only if M2 = M With the exception of the identity matrix, an idempotent matrix is singular;that is, its number of independent rows (and columns) is less than its number of rows (and columns) This can be seen from writing MM = M, assuming that M has full rank (is non-singular), and pre-multiplying by M−1 to obtain M = M−1M = I When an idempotent matrix is subtracted from the identity matrix, the result is also idempotent This holds since [I − M][I − M] = I − M − M + M2 = I − M − M + M = I − M 21 Chương 3: Ứng dụng khái niệm vào giải toán thường gặp Đại số tuyến tính Giải tốn chun sâu khái niệm mở rộng 3.1 Problem 1: Use nilpotent matrix to An by analyzing matrix A to form A = B + C A nilpotent matrix is one for which the square, cube, or some finite power equals zero For instance, any strictly lower triangular matrix is nilpotent We have this formular if BC = CB: ( B + C= ) Cn0 B n + Cn1 B n−1C + + Cnl B n−1C l + + CnnC n n So how to use nipotent matrix to solve this problem:  1 n ? = A  = ⇒ A  3 Solution:  1  0  1 A= B+C  =  + = 3 0        3k   0  0 0 k k = B  = ; C ⇒ = C     , ∀k ≥ k  0 0     0  An =  3n =  0 (B + C) n = B n + Cn1 B n −1C + Cn2 B n − 2C + = B n + nB n −1C   n.3n −1 + 3n   0     3n    = n.3n −1   0   0   n.3n −1   3n + =  3n   0  0 n.3n −1   3n  22 3.2 Problem 2: Using the idempotent matrix to calculate the matrix An The matrix M is idempotent if and only if M2 = M Therefor we have another way to firgure out An by using this matrix The first step is transform matrix A to form A = (B+C):  1  0  1 A= B+C  =  + = 3 0       Then, we have: 1 11 1 1 1 1 1 k = C2  = ⇒ = C       ; ∀k ≥ 0 0 0 0        n n k n−k k n n k 0= k = A =( B + C ) =∑ C B n n C =B + ∑ Cnk B n − k C  n k n−k n k n−k  Cn  3 0  3   ∑ Cn ∑ k 3 C = + = +    =  k =k ∑ n n    3n     k =1   0    n k n−k n k n−k n  Cn Cn −   4n 4n − 3n  ∑ ∑ =  = n  k 0=k  0 n       n n n−k n−k n 3.3 Problem 3: Using similar matrix and diagonal matrix to calculate the matrix An Two matrices A and B are similar if B is related to A by a matrix T in the following way: B = T-1 A T 23 Ex1: The third and the most difficul way to caculate Anis using similar matrix 0 1   = ⇒ An ? A 0 0= 1 0    −1 0    = A T= B.T −1 ; B   ;  0 1    −1   −1      = T = 0  ; T −1  1    1 0     0 n  −1   ( −1) 0   −1       n ⇒ An = 0 1       n   1 0  0       ( −1)n +1   −1   1  =  0 1 1 = 2  ( −1)n       ( −1)n + 1  2  ( −1)n +1 + 1  + 1    n ( −1) +  ( −1) n +1 24 Ex2:  −2    n ⇒ = A =− A ?    0 5   1 0   = A T= B.T −1 ; B   ; 0 5    −1   1 0   −1   = T  1  ; T=  −1   0 1     0 2 ⇒ An n  −1  1   1    0 1     −5n 1 =  5n 2 0 0 5n 0   1 0      −1  5n   0   + 5n − 5n  1 0   1   −1  =  − 5n + 5n 2 5n   0   0    2.5n  25 3.4 Problem 4: Use the invertible matrix to solve matrix equations A square matrix A is said to be invertible or non – singular if there exists a matrix B such thatAB = BA = I, where I is the identity matrix Ex1: 1 2 3  = X     3 4  −2  1 2 3  = = ; AX B (*) A  B    ⇒= 3 4  −2  ∆= = −2 ≠ ⇒ ∃A−1 = A−1 *  −2  = A   ∆ −2  −3  A−1AX= A−1 B ⇒ X= A−1 B (**)  −2    ⇒ X =   −2  −3   −2   −1 −1   2 0   = = 5    −2  −4 −6 −5   2  2  26 Ex 2: 1  4 2 3  X  3 2 1 2 = A = , B  3 A X B = C −1  =  2 0  1  −1 1  = ,C  2  2 0  1 A−1 ( A X B ) B −1 = A−1.C.B −1 (A −1 ) ( ) ⇒ X A−1.C.B −1 A X B= B −1 A−1.C.B −1 = det ( A )= = 5≠0 1 = A'  2 ⇒ A−1 4  ⇒ = * A   3  −4  −2  =  −5  −4  det ( B )= −2    −2 = 5≠0  2  1 = B'  B*   ⇒=   −1   −2   1 ⇒ B −1 =    −2    25  −4 −2      2 0  1      −2   −1 −2   1   −7  = − −    =   25  −2   −2  25  −4  X = − 27 3.5 Problem 5: Using the triangular matrix to solve simultaneous equations by Gauss method and apply to calculate determinant of triangle matrix Figure out determinant : Ex1: L n −1 ∆= −1 −2 L L n n , Li= Li + L1 L L L −1 −2 −3 L L L L L L L Ex 2: 1 ∆= L a1 a1 + b1 a1 L a1 a2 a2 a2 + b2 L a2 L L L an an an L an + bn a1 a2 L an b1 L 0 b2 L b1b2b3 K bn = = L L L 0 L bn , Li= Li − L1 L n 2n 2n= n ! n 28 Ex : a1 x = D x x x a2 x x x K x x K x = , x ≠ , i 1, n a3 K x x K an a1 x − a1 Li =Li − L1 x − a1 K x − a1 K K K K K x x a2 − x 0 a3 − x K K = ( a1 − x )( a2 − x )K ( an − x ) x 0 an − x a1 a1 − x x a2 − x −1 −1 K K K K K 0 −1 0 K x K a3 − x x an − x a1 x =1 + , L1 + L2 + L3 + L + Ln a1 − x a2 − x n 1+ ∑ → D = ( a1 − x )( a2 − x )K ( an − x ) i =1 x − x x K a2 − x K K n  x  =( a1 − x )( a2 − x )K ( an − x ) 1 + ∑   i =1 − x  K K K x an − x 29 Solving simultaneous equations by Gauss method Ex :  x1  −2 x1  −x  + x2 +5 x2 −2x +6 x3 −4 x3 =−3 11 = =−4  −2 | −3    A=  −2 | 11   −1 −4 | −4    L1 + L2 → L2 L1 + L3 → L3 →  −2 | −3    |    −6 | −7    −5 L2 + L3 → L3 → = x3  x1  −2 | −3   =     ⇒ =− = ⇔ | x x  x2 =    x =  0 −16 | −32   x =−3 + x     30 3.6 Problem 6: Using the orthogonal matrix to convert quadratic form to canonical form and is orthogonal by the diagonal matrix A real matrix A is orthogonal if AT = A-1 – that is, if AAT = ATA = I Thus, A is necessarily be square and invertible Ex 1:  A=   3   2−λ A − λ.I = 3 4−λ =( λ − 1)( λ − )  x1 + x2 = ⇒ x2 ≠ 0, x1 = − x2   x1 + x2 = − 1 2 x =4 x2 =1 ⇒ x2 = ⇒ x = ,   2 −3 y1 + y2 = ⇒ y1 ≠ 0, y2 =3 y1   y1 − y2 = 1 3 2 y =4 y1 =1 ⇒ y1 = , y = ,  2   31  ' − e1 + e2  e1 =  2  e ' = − + e e2  2  −  1 0  = B = , T       1 0 = B =     −         3            −          3   Ex 2: −λ 1 0 1   A =  1  ⇒ PA ( λ ) = −λ = ( λ + 1) ( − λ ) = 1 0 1 −λ   −2 x1 + x2 + x3 =  λ= 2,  x1 − x2 + x3= , x= α (1,1,1) , α= , x =  x + x − 2x =   1  ⇒ e1' = , ,    3 3 32  y1 + y2 + y3 =  y1 = −1,  y1 + y2 + y3 =⇒ − y2 − y3 ; ∀y2 , y3 ∈ R λ= y + y + y =  y2 =β , y3 =− β ⇒ y1 =0 1   y =1 ⇔ y12 + y22 + y32 =2 β =1 ⇒ e2' = 0, − ,  2   1  e3' = 1, e3' =  − , ,  6 6  2 0  2   B =  −1  , f ( x, x ) = x1' − x2' − x3' , x = x1' e1' + x2' e2' + x3' e3'  0 −1       = T      3 − 2 −   6       33 Chương 4: Bài học rút từ việc nghiên cứu Sau hoàn thành đề tài “Sử dụng từ điển toán học tiếng Anh việc nghiên cứu mở rộng toán, khái niệm chun sâu mơn Đại số tuyến tính” nhóm nghiên cứu rút nhiều kinh nghiệm học bổ ích Cụ thể sau: • Thơng qua việc dịch khái niệm Toán học sang tiếng Anh, nhóm chúng em tiếp xúc với từ vựng chun ngành Tốn từ nâng cao khả dịch thuật thân • Ơn tập mở rộng kiến thức Đại số tuyến tính, ứng dụng khả tư tốn học vào mơn học sở chun ngành sau • Thơng qua hình thức làm việc nhóm, chúng em biết cách tổ chức, phân công công việc cho thành viên để đạt hiệu tốt Cũng hiểu rõ cách khai thác tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu • Kĩ trình bày báo khoa học báo cáo khoa học nâng cao Kĩ thuyết trình nói trước đám đơng nhóm cải thiện • Việc tham gia nghiên cứu khoa học tạo điều kiện để chúng em tiếp xúc, làm việc với giảng viên hướng dẫn thầy giáo có liên quan đến vấn đề nghiên cứu môn Sự hướng dẫn tận tình thầy động lực lớn để nhóm chúng em hồn thành đề tài 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ mơn Tốn trường Đại học Giao thơng Vận tải (2007), Đại số tuyến tính Tổ Từ điển Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, khoa Toán Thư ký vụ ban Toán thuộc Uỷ ban Khoa học Kĩ thuật Nhà nước (1972), Từ điển Toán học Anh – Việt Math.tutorvista.com Ph.D Seymour Lipschutz (Temple University) + Ph.D Marc Lars Lipson (University of Virginia)(2008), Schaum’s Outline of Linear Algebra Fourth Edition Wikipedia.com