Bài giảng toán 3 nhập môn đại số tuyến tín

TRẦN AN HẢI  BÀI GIẢNG TỐN NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH HÀ NỘI - 2008 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge press, 2005 [2] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, Academic press, 1976 [3] Leon, Steven J., Linear Algebra with Applications, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1998 [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - Tập 1, Nhà xuất giáo dục, 2007  TUẦN GIỚI THIỆU MÔN HỌC Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải biện luận hệ phương trình bậc Về sau để hiểu rõ cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình bậc có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ phép biến đổi tuyến tính Người ta có nhu cầu khảo sát khơng gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, có khái niệm độ dài góc Ngày Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, Vì thế, trở thành mơn học sở cho sinh viên chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Chương GIỚI THIỆU VECTƠ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH _ 1.1 GIỚI THIỆU VECTƠ Các phép tốn vectơ Vectơ hình học đoạn thẳng định hướng •→ gốc Các vectơ hình học có hai phép tốn phép cộng vectơ phép nhân vectơ với vô hướng ĐỊNH NGHĨA Tổng v + w hai vectơ v w xác định theo Quy tắc ba điểm Quy tắc hình bình hành Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Tích xv vectơ v với số thực x, xác định sau: * Nếu x ≥ xv hướng với v Nếu x < xv ngược hướng với v; * |xv| = |x|⋅|v| x thường gọi vơ hướng Phép tốn tìm tích vectơ với vơ hướng gọi phép nhân vectơ với vơ hướng Ngồi ra, hiệu hai vectơ v w v - w := v + (-w) Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ ĐỊNH NGHĨA Với vectơ v1, v2, ,vn vô hướng x1, x2, , xn, gọi x1v1+x2v2+ +xnvn tổ hợp tuyến tính v1, v2, ,vn VÍ DỤ Nhận xét 1) Khi vectơ v ≠ 0, tập tất tổ hợp xv lấp đầy đường thẳng 2) Khi vectơ v1 v2 không phương, tập tất tổ hợp x1v1 + x2v2 lấp đầy mặt phẳng 3) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tập tất tổ hợp x1v1+x2v2 +x3v3 lấp đầy khơng gian ĐỊNH NGHĨA Tích vô hướng hai vectơ v w số thực v⋅w := |v|⋅|w|cosϕ, ϕ góc hai vectơ v w Hermann Grassmann (1808-1877) cha đẻ tích vơ hướng Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ Việc tìm tổ hợp tuyến tính nhiều vectơ hình học theo định nghĩa hai phép tốn vectơ nói chung cồng kềnh Tuy nhiên, việc giải gọn biểu thị vectơ hình học dạng tọa độ Với vectơ hình học v mặt phẳng tọa độ Oxy ln tồn hai số x y cho v = x i + y j Ta gọi cặp số (x, y) tọa độ v Để tiện làm việc sau, cặp số viết dạng x   y   Ta đồng v với cặp số này: x  v=    y Với vectơ hình học v khơng gian Oxyz ln ln tồn ba số x, y z cho v = x i + y j + z k Ta gọi ba số (x, y, z) tọa độ v Để tiện làm việc sau, ba số viết dạng x   y    z  Ta đồng v với ba số này: x  v =  y   z  Giả sử x   y  x'   y ' v=  ,w=   c vơ hướng Ta có  x + x'  cx  v+w=  , cv =   , v⋅w = xx' + yy'   y + y ' cy  Đối với vectơ hình học khơng gian ta có điều tương tự Mở rộng khái niệm vectơ Từ biểu diễn toạ độ vectơ hình học ta mở rộng khái niệm vectơ hình học cách tự nhiên sau: ĐỊNH NGHĨA Gọi dãy gồm n số thực  x1  x   2 M     xn  vectơ cột n - thành phần Ta cịn viết sau (x1, x2, , xn), không hiểu vectơ hàng Tập vectơ cột n - thành phần ký hiệu Rn Ta ký hiệu vectơ cột chữ nhỏ viết nghiêng đậm, số thực chữ nhỏ viết nghiêng không đậm Trên tập Rn ta định nghĩa phép toán, tổ hợp tuyến tính, tích vơ hướng, độ dài vectơ theo công thức tương tự với công thức hình học nói ĐỊNH NGHĨA Cộng hai vectơ theo thành phần:  x1   y1   x1 + y1  x   y  x + y  2  2+ 2= M  M   M         xn   y n   x n + y n  Nhân vectơ với vô hướng (là số thực) theo thành phần:  x1  cx1   x  cx  2 c  =   M   M       x n  cxn  n Với vectơ v1, v2, ,vm thuộc R vô hướng x1, x2, , xm, gọi x1v1+x2v2+ ⋅⋅⋅ +xmvm tổ hợp tuyến tính v1, v2, ,vm Tích vơ hướng hai vectơ v = (x1, x2, , xn) w = (y1, y2, , yn) số thực v⋅w = x1y1 + x2y2 + ⋅⋅⋅ + xnyn Độ dài vectơ v = (x1, x2, , xn) số |v| = (v⋅v)1/2 = (x12 + x22 + ⋅⋅⋅ + xn2)1/2 Sau ta gọi Rn khơng gian n-chiều Như vậy, tập vectơ hình học mặt phẳng, hay không gian 2-chiều,  x   R2 =    x1 , x ∈ R   x2   Tập vectơ hình học khơng gian, hay khơng gian 3-chiều,   x1     R =  x2  x1 , x , x3 ∈ R   x      Ứng dụng Trong siêu thị có n mặt hàng, ký hiệu qi lượng mặt hàng thứ i (qi dương bán âm mua) Ký hiệu pi giá đơn vị mặt hàng thứ i Với hai vectơ q = (q1, q2, , qn) p = (p1, p2, , pn), doanh thu = q⋅p = q1p1 + q2p2 + ⋅⋅⋅ + qnpn Khi q⋅p = có nghĩa "cân sổ sách" 1.2 ĐỊNH NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Có lẽ tốn quan trọng tốn học giải hệ phương trình tuyến tính Có 75% vấn đề tốn học gặp khoa học hay áp dụng công nghiệp liên quan đến giải hệ tuyến tính giai đoạn Bằng cách sử dụng phương pháp tốn học đại, thường đạt tốn phức tạp quy hệ tuyến tính đơn giản Các hệ tuyến tính xuất áp dụng vào lĩnh vực thương mại, kinh tế, xã hội học, nhân học, di truyền học, điện học, kỹ thuật vật lí Một số tốn dẫn đến hệ phương trình tuyến tính Bài tốn Mạng điện Cho mạng điện Hãy xác định dòng điện nhánh Thiết lập hệ phương trình Áp dụng Định luật Kirchhoff dịng điện "Tổng đại số dòng điện nút 0", ta có i1 - i2 + i3 = (nút A) -i1 + i2 - i3 = (nút B) Áp dụng Định luật Kirchhoff điện "Tổng đại số hiệu điện theo vịng kín 0", ta có 4i1 + 2i2 = (mạch trên) 2i2 + 5i3 = (mạch dưới) Ta có hệ i1 - i2 + i3 = ... a31 a12 a 22 − 3a12 a32 a 13  a 23 − 3a 13   a 33 E21A ma trận nhận từ A lấy hàng - 3? ?hàng1 1 0  a11 a12 * 0 0 a21 a22 0 1  a31 a32 a 13   a11 a12 a 13    a 23  = 3a21 3a22... a 23  =  a31 a32 a 33  a21 a22 PA ma trận nhận từ A đổi chỗ hàng a 13  a 33  a 23   0  a11 a12 * E21A = − 0 a21 a22  0   a31 a32 a 13   a11 a 23  = a 21 − 3a11 a 33. .. nn Ví dụ a11 a12 a 22 0 a 13 a 23 = a11a22a 33 a 33 Tính chất 3. 1.8 Ma trận A khả nghịch detA ≠ Tính chất 3. 1.9 Nếu A B hai ma trận vng cấp, det(AB)= detAdetB Tính chất 3. 1.10 detAT= detA Ví dụ