Kntt chương 7 quan hệ vuông góc

BÀI 22 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC GĨC GIŨA HAI ĐƯỜNG THẰNG HĐ1 Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo m n Từ hai điểm phân biệt O, O tuỳ ý kẻ cặp đường thẳng a, b a, b tương ứng song song với m, n ( H 7.2) a) Mỗi cặp đường thẳng a, a b, b có thuộc mặt phẳng hay không? b) Lấy điểm A, B (khác O ) tương ứng thuộc a, b Đường thẳng qua A song song với OO cắt a A, đường thẳng qua B song song với OO cắt b B Giải thích OAAO, OBBO, ABBA hình bình hành c) So sánh góc hai đường thẳng a, b góc hai đường thẳng a, b (Gơi ý: Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OAB, OOAB ) Góc hai đường thẳng m n khơng gian, kí hiệu (m, n) , góc hai đường thẳng a b qua điểm tương ứng song song với m n Chú ý - Để xác định góc hai đường thẳng chéo a b , ta lấy điềm O thuộc đường thẳng  ( a, b)  a, b a qua kẻ đường thẳng b song song với b Khi - Với hai đường thẳng a, b bất kì: 0 (a, b) 90  a, b có mối quan hệ Nếu a song song trùng với a b song song trùng với b (a, b) gì? Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vng Tính góc  AA, CD  ,  AC , BD  ,  AC , DC  Giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang  AA, CD   AA, AB  90 Tứ giác ACC A có cặp cạnh đối nên Vì CD / / AB nên    AC , BD  ( AC , BD) 90 hình bình hành Do đó, A C / / AC Vậy  AC , DC   AC , AB Tam giác ABC có ba cạnh (vì Tương tự, DC  / / AB Vậy đường chéo hình vng có độ dài cạnh nhau) nên tam giác Từ đó,  AC , DC   AC , AB 60 Vận dụng Kim tự tháp Cheops kim tự tháp lớn kim tự tháp Ai Cập, xây dựng vào kỉ thứ 26 trước Cơng ngun bày kì quan giới cổ đại Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy hình vng có cạnh dài khoảng 230 m , cạnh bên dài khoảng 219 m (kích thước nay) (Theo britannica.com) Tính (gần đúng) góc tạo cạnh bên SC cạnh đáy AB kim tự tháp HAI ĐƯỜNG THẰNG VNG GĨC HĐ2 Đối với hai cánh cửa Hình 7.5, tính góc hai đường mép cửa BC MN Hai đường thẳng a, b gọi vng góc với nhau, ki hiệu a  b , góc chúng 90 ? Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b a có vng góc với đường thẳng song song với b hay khơng? TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Vi dụ Cho hình hộp ABCD ABC D( H 7.6) a) Xác định vị tri tương đối hai đường thẳng A C BD b) Chứng minh AC BD vng góc với ABCD hỉnh thoi Giải  ABC D nên a) Hai đường thẳng AC BD thuộc hai mặt phẳng song song ( ABCD ) chúng khơng có điểm chung, tức chúng không thẻ̉ trùng cắt Tứ giác BDDB có hai cạnh đối BB DD song song nên hình bình hành Do BD song song với BD Mặt khác, BD không song song với AC nên BD không song song với AC Từ điều suy AC BD chéo  AC , BD  AC , BD  Do đó, AC BD vng góc với b) Do BD song song với BD nên AC BD vuông góc với Do ABCD hình bình hành nên AC vng góc với BD h ABCD hình thoi  MNP  Lần lượt Luyện tập Cho tam giác MNP vuông N điểm A nằm mặt phẳng lấy điểm B, C , D cho M , N , P tương ứng trung điểm AB, AC , CD (H 7.7) Chứng minh AD BC vng góc với chéo TÀI LIỆU TỐN THPT Trang BÀI TẬP  AB, BC  Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy tam giác Tính góc 7.2 Cho hình hộp ABCD ABC D có cạnh Chứng minh tứ diện ACBD có cặp cạnh đối diện vng góc với  7.3 Cho tứ diện ABCD có CBD 90 a) Gọi M , N tương ứng trung điểm AB, AD Chứng minh MN vng góc với BC 7.1 b) Gọi G, K tương ứng trọng tâm tam giác ABC , ACD Chứng minh GK vuông góc với BC 7.4 Đối với nhà gỗ truyền thống, cầu kiện hoành, giang, xà cái, rụi, cột tương ứng đánh số 1, 2,3, 4,5 Hinh 7.8, cặp cầu kiện vuông góc với nhau? TÀI LIỆU TỐN THPT Trang ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNGT PHẲNG 23 THUẬT NGỮ * Đường thẳng vng góc với mặt phẳng * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng KIẾN THỨC, KĨ NĂNG * Nhận biết đường thẳng vng góc với mặt phẳng * Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng * Giải thích mối liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng * Vận dụng kiến thức quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng vào thực tế Hầu hết cơng trình kiến trúc xây dựng theo phương thẳng đứng để vững chãi, cũng có cơng trình có phương nghiêng Nếu đứng Quảng trường mầu nhiệm Pisa (H.7.9) mắt thường, ta cảm nhận tháp ngồi bên phải hình nghiêng cơng trình còn lại thẳng đứng Sau học, ta diễn giải xác chất điều ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG HĐ1 Đối với cánh cửa Hình 7.10 đóng - cửa cánh cửa, ta coi mép BC cánh cửa sát nhà (khe hở không đáng kể) a) Từ quan sát trên, hãy giải thích đường thẳng AB vng góc với đường thẳng qua B sàn nhà b) Giải thích đường thẳng AB vng góc với đường thẳng sàn nhà  P   vuông Đường thẳng  gọi vuông góc với mặt phẳng  P góc với đường thẳng nằm  P  , ta còn nói  P  vng góc với    P  vng góc với nhau, Chú ý Khi  vng góc với kí hiệu    P TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang  P  vng góc với Nếu đường thẳng  mặt phẳng chúng có cắt hay khơng? HĐ2: Gấp bìa cứng hình chữ nhật cho nếp gấp chia bìa thành hai hình chữ nhật, sau đặt lên mặt bàn Hình 7.11 a) Bằng cách trên, ta tạo đường thẳng AB vng góc với hai đường thẳng thuộc mặt bàn? b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ đường thẳng a tùy ý Dùng ê ke, hãy kiểm tra mơ hình xem AB có vng góc với a hay khơng Người ta chứng minh rằng: Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt đường vngthì góc hai cạnh củamặt tam nhauNếu thuộc mộtthẳng mặt phẳng nóvới vng góc với giác đường phẳng thẳng có vng góc với cạnh còn lại hay khơng? Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B cạnh SA vng góc với cạnh AB, AC Chứng minh BC   SAB  Giải (H.7.13) Vì SA vng góc với hai đường thẳng AB AC nên SA   ABC  Suy SA  BC Tam giác ABC vuông B nên BC  BA Vì BC vng góc với hai đường thẳng SA BA nên BC   SAB  Lụn tập Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O , SA SC SB SD (H.7.14) Chứng minh SO   ABCD   Vận dụng Khi làm cột treo quần áo, ta tạo hai đế thẳng đặt sàn nhà dựng cột treo vng góc với hai đế (H 7.15) Hãy giải thích cách ta có cột treo vng góc với sàn nhà TÍNH CHẤT TÀI LIỆU TỐN THPT Trang  HĐ3 Cho điểm O đường thẳng  không qua O Gọi d đường thẳng qua O  P   Q  chứa d Trong mặt song song với  Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý phẳng  P ,  Q tương ứng kẻ đường thẳng a, b qua O vng góc với d (H.7.16) Giải thích mp  a, b  qua O vng góc với  Có mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng cho trước Nhận xét Nếu ba đường thẳng đôi phân biệt a, b, c qua điểm O vng góc với đường thẳng  ba đường thẳng nằm phẳng qua O vng góc với  (H 7.17)  Ví dụ Chứng minh điểm M cách hai điểm phân biệt A, B cho trước M thuộc mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB Giải (H.7.18)    mặt phẳng qua trung điểm I đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB Ta Gọi có MA MB M trùng I tam giác MAB cân M Mặt khác, MAB cân M    Do đó, MA MB M     MI  AB , tức M thuộc mặt phẳng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Chú ý Mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng AB vng góc với đường thẳng AB gọi mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB tập hợp điểm cách hai điểm A, B HĐ4 Cho mặt phẳng Gọi   ,    P  điểm O Trong mặt phẳng  P  , lấy hai đường thẳng cắt a, b tuỳ ý mặt phẳng qua O tương ứng vng góc với a, b (H.7.19) a) Giải thích hai mặt phẳng   ,   cắt theo đường thẳng qua O  P b) Nêu nhận xét mối quan hệ  Có đường thẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước  Luyện tập Cho ba điểm phân biệt A, B, C cho đường thẳng AB AC vng góc với mặt phẳng  P  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng  P  Giải thích có điểm H thuộc  P   Ví dụ Cho điểm A nằm mặt phẳng  P cho đường thẳng AH vng góc với Giải  P  Lấy điểm H thuộc  P  Khi đó, Gọi a đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng  P  AH trùng với a , tức H giao điểm a đường thẳng AH vng góc với  P  Vậy có điểm H thuộc  P  để AH vng góc với  P  LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VNG GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Nội dung mục nhằm củng cố kiến thức kĩ đã học hai mục Ngoài ra, từ rút tính chấ mối liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang  P  song song với đường thẳng b Lấy  HĐ5 Cho đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  P  Tính  b, m  từ rút mối quan hệ b đường thẳng m thuộc mặt phẳng  P  P  Xét O  HĐ6 Cho hai đường thẳng phân biệt a b vuông góc với mặt phẳng điểm thuộc a khơng thuộc b Gọi c đường thẳng qua O song song với b  P  hay không ? Nêu nhận xét vị trí tương đối a c a) Hỏi c có vng góc với với b) Nêu nhận xét vị trí tương đối hai đường thẳng a b   P  đường thẳng song song với Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng a cũng vng góc với  P   Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với  Ví dụ Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC tương ứng vng góc với Gọi M , N tương ứng trọng tâm tam giác ABC , OBC Chứng minh đường thẳng MN  OBC  vng góc với mặt phẳng Giải(H.7.22) AO   OBC  Vì AO vng góc với đường thẳng OB, OC nên Kẻ đường trung tuyến AD, OD tương ứng tam giác ABC , OBC MA NO 2  ND Do đó, MN song song với AO Ta có MD Mặt khác , AO   OBC  nên  HĐ7 Cho hai mặt phẳng  P  Gọi b MN   OBC   P  Q song song với đường thẳng  vng góc với đường thẳng thuộc  Q  Lấy đường thẳng a thuộc  P  cho a song song với b (H.7.23) So sánh  ,b   , a  Từ rút mối quan hệ   Q TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang  HĐ8 Cho hai mặt phẳng điểm thuộc mặt phẳng  P  P  Q vuông góc với đường thẳng  Xét O không thuộc mặt phẳng  Q Gọi  R mặt phẳng qua O song song với  Q  (H.7.24) a) Hỏi  R  P  có vng góc với  hay khơng ? Nêu nhận xét vị trí tương đối  R b) Nêu vị trí tương đối   P  Q  P   cũng vng góc với Nếu đường thẳng  vng góc với mặt phẳng  P mặt phẳng song song với  Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với  Ví dụ Cho hình chóp S ABC Các điểm M , N , P tương ứng trung điểm SA, SB, SC  ABC  cắt mặt phẳng H Chứng Đường thẳng qua S vng góc với mặt phẳng minh SH   MNP  Giải (H.7.25) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10