Ctst chương 8 quan hệ vuông góc trong không gian

PHẦN: HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Trong chương này, tìm hiểu quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng không gian, phép chiếu vuông góc, góc khoảng cách khơng gian ứng dụng quan hệ vng góc giải tốn hoạt động thực tiễn Các cơng trình xây dựng cho ta nhiều hình ảnh đường thẳng mặt phẳng vng góc Học xong chương bạn có thể: - Nhận biết quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng khơng gian Sử dụng kiến thức quan hệ vng góc để mơ tả hình ảnh thực tiễn - Giải thích mối liên hệ tính song song tính vng góc đường thẳng mặt phẳng - Nhận biết khái niệm phép chiếu vng góc - Tính loại góc loại khoảng cách khơng gian - Tính thể tích hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt - Vận dụng kiến thức quan hệ vng góc khơng gian để giải số vấn đề thực tiễn TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang BÀI Hai đường thẳng vng góc Từ khóa: Góc hai đường thẳng; Hai đường thẳng vng góc Ta biết cách xác định góc hai đường thẳng thuộc mặt phẳng Có góc hai đường thẳng chéo khơng? Nếu có, làm để xác định? Góc hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng chéo a b không gian Qua điểm M tuỳ ý vẽ a//a vẽ b//b Khi thay đổi vị trí điểm M , có nhận xét góc a b ? Định nghĩa:  a, b  , góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng a , b khơng gian, kí hiệu a b qua điểm song song trùng với a b Chú ý: a) Để xác định góc hai đường thẳng a , b ta lấy điểm O nằm hai đường thẳng vẽ đường thẳng song song với đường thẳng cịn lại b) Góc hai đường thẳng nhận giá trị từ 0 đến 90 Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vng M , N , E , F trung điểm cạnh BC , BA , AA , AD Tính góc cặp đường thẳng: a) AC  BC ; TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang b) MN EF Lời giải AC , BC   AC , BC   ACB 45 a) Ta có AC //AC  , suy  (tam giác ABC vuông cân B )   60 MN , EF   AC , AD CAD b) Ta có AC // MN , AD // EF , suy  ( tam giác ACD có ba cạnh nhau) Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vuông M , N , E , F trung điểm cạnh BC , BA , AA , AD Tính góc cặp đường thẳng: a) MN DD ; b) MN CD ; c) EF CC  Khung mái nhà ghép gỗ Hình Cho biết tam giác OMN vuông cân O Tính góc hai gỗ a b Hai đường thẳng vng góc khơng gian Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vng Nêu nhận xét góc cặp đường thẳng: a) AB BB ; b) AB DD Định nghĩa Hai đường thẳng a , b gọi vng góc với góc chúng 90 Hai đường thẳng a , b vng góc kí hiệu a  b b  a TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Ví dụ Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vng Chứng minh AB  CC  , AC  BD Ta có CC  // BB , suy Giải  AB, CC   AB, BB  ABB 90 Vậy AB  CC   AC , BD  AC , BD  90 (hai đường chéo hình vng ln vng góc Ta có BD // BD , suy với nhau) Vậy AC  BD Cho hình hộp ABCD ABC D có mặt hình vng a) Tìm đường thẳng qua hai đỉnh hình lập phương vng góc với AC b) Trong đường thẳng tìm câu a , tìm đường thẳng chéo với AC Chú ý: a) Hai đường thẳng vng góc cắt chéo b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường vng góc với đường c) Trong khơng gian, có hai đường thẳng phân biệt a , b vng góc với đường thẳng thứ ba c ta chưa kết luận a // b hình học phẳng Hình bên mơ tả người thợ ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch Tìm đường thẳng vng góc với đường thẳng a Hình BÀI TẬP Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD cạnh a Cho biết SA a , SA  AB SA  AD Tính góc SB CD , SD CB Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB  CD    Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a , BSA CSA 60 , BSC 90 Cho I J trung điểm SA BC Chứng minh IJ  SA IJ  BC Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm CD Tính góc hai đường thẳng AK BC Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm BC AD Biết AB CD 2a MN a Tính góc AB CD Một ô che nắng có viền khung hình lục giác ABCDEF song song với mặt bàn có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5) Tính số đo góc hợp đường thẳng a với đường thẳng AF , AE AD TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang BÀI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Từ khóa: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng; Phép chiếu vng góc Trong thực tế, người thợ xây dụng thường dùng dây dọi để xác định đường vng góc với nến nhà Thế đường thẳng vng góc với mặt phẳng? Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Thả dây dọi AO chạm sàn nhà điểm O Kẻ đường thẳng xOy sàn nhà a) Dùng êke để kiểm tra xem AO có vng góc với xOy khơng b) Nêu nhận xét góc dây dọi đường thẳng sàn nhà Định nghĩa    vng góc với đường thẳng a Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng nằm    , kí hiệu d     Ví dụ Cho biết cột trụ gôn sân bóng đá đường thẳng d vng góc với mặt sân (Hình 3) Tìm góc d đường thẳng a kẻ sân Giải Do đường thẳng d vng góc với mặt sân nên suy d vng góc với đường thẳng nằm mặt sân Vậy ta có góc d a 90  P  Xét Cho đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b mặt phẳng  P  ( c không song song với a b ) Gọi O giao điểm d đường thẳng c bất ki TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang ( P ) Trong  P  vẽ qua O ba đường thẳng a , b , c song song với a , b , c Vẽ đường thẳng cắt a , b , c B , C , D Trên d lấy hai điểm E , F cho O trung điểm EF (Hình 4) a) Giải thích hai tam giác CEB CFB b) Có nhận xét tam giác DEF ? Từ suy góc d c Đinh lí Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng   d    Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi ABCD tâm O có SA SC , SB SD Cho I , K trung điểm cạnh AB, BC Chứng minh rằng: b) IK  ( SBD) a) SO  ( ABCD) Giải S A I B D O K Hình C a) Ta có ABCD hình thoi, suy AC , BD vng góc với có trung điểm O Tam giác SAC cân S nên SO  AC Tương tự, ta có SO  BD Do SO vng góc với hai đường thẳng cắt AC BD ( ABCD ) , suy SO  ( ABCD ) b) Ta có IK / / AC AC  BD , IK  BD Ta có SO  ( ABCD) , SO  IK Từ IK  BD IK  SO suy IK  ( SBD ) TÀI LIỆU TỐN THPT Trang a) Trong khơng gian, cho điểm O đường thẳng d Gọi a, b hai đường thẳng phân biệt qua O vuông góc với d (Hình 6a ) Có nhận xét vị trí tương đối đường thẳng d mp(a, b) ? b) Trong không gian, cho điểm O mặt phẳng ( P ) Gọi (Q) ( R ) hai mặt phẳng qua O vng góc với hai đường cắt a, b nằm ( P) (Hình b) Có nhận xét vị trí mặt phẳng ( P ) giao tuyến d (Q ),( R) ? O d R Q d a P b O P b a b) a) Hình Định lí Có mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Có đường thẳng qua điểm vng góc với mặt phẳng cho truớc Ví dụ a) Cho hình chóp S ABCD có cạnh bên nhau, đáy ABCD hình vng tâm O (Hình 7a ) Gọi d đường thẳng qua S vng góc với mặt phẳng ( ABCD) Chứng minh d qua O b) Cho đoạn thẳng AB có O trung điểm Gọi ( P) mặt phẳng qua O vuông góc với AB; M , N hai điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB cho M , N , O khơng thẳng hàng (Hình b ) Chứng minh M N thuộc mặt phẳng ( P) S N M d B C O A a) A O B P D b) Hình a) Ta có: SA SC suy SO  AC ; SB SD suy SO  BD Suy SO  ( ABCD) Theo giả thiết, ta có đường thẳng d qua S vng góc với ( ABCD ) Do qua điềm S chi có đường thẳng vng góc với ( ABCD ) nên d phäi trùng với đường thẳng SO , suy d di qua O b) Ta có: MA MB suy OM  AB; NA  NB suy ON  AB Suy AB  (OMN ) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Theo giả thiết, ta có ( P ) mặt phẳng qua O vng góc với AB Do qua điềm O có mặt phẳng vng góc với AB nên ( P) phải trùng với (OMN ) , suy M N thuộc ( P ) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, O giao điểm AC BD, SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi H , I , K lần luợt hình chiếu vng góc điểm A cạnh SB, SC , SD Chứng minh rằng: a) CB  ( SAB) CD  ( SAD) ; b) HK  AI S I K H A D O B Hình C Làm để dựng cột chống biển báo vng góc với mặt đất? Liên hệ tính song song tính vng góc đường thẳng mặt phẳng Nêu nhận xét vị trí tương đối của: a) Hai thân mọc vng góc với mặt đất b) Mặt bàn mặt đất vng góc với chân bàn c) Thanh xà ngang nằm trần nhà mặt sàn nhà vng góc với cột nhà TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Người ta chứng minh định lí sau liên hệ tính song song vng góc đường thẳng mặt phẳng: Định lí a) Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với a b P Hình 11      Ví dụ Cho hình hộp ABCD A B C D có AA  ( ABCD) Gọi M N trung điểm AB BC  a) Qua M vẽ đường thẳng a song song với AA Chứng minh a  ( ABCD)  b) Qua N vẽ đường thẳng b vng góc với ( ABCD ) Chứng minh b / / AA Giải D' b a A' C' B' D C N A M Hình 12 B   a) Theo đề ta có a / / AA AA  ( ABCD) , suy a  ( ABCD)   b) Theo đề ta có b  ( ABCD) AA  ( ABCD) , suy b / / AA Định lí a) Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng vng góc với mặt phẳng vng góc với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 10