Hh chương 3 quan hệ vuông góc

CHỦ ĐỀ: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GĨC VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN A LÝ THUYẾT   Cho véc tơ tùy ý a, b, c k , l  Cộng véc tơ:        Lấy điểm O tùy ý không gian, vẽ OA  a, AB  b, OB  a  b    Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm M , N , K MN  MK  KN     Trừ véc tơ: a  b  a  (b)    Quy tắc ba điểm: MN  KN  KM    Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: AC  AB  AD     Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD ta có AC  AB  AD  AA Tích véc tơ:   Tích véc tơ a với số thực k véc tơ Kí hiệu k a  +) Cùng hướng với a k   +) Ngược hướng với a k    +) k.a  k a    Hệ quả: Nếu I trung điểm A, B, O tùy ý OA  OB  2OI Tích vơ hƣớng hai véc tơ      +) Định nghĩa: a.b  a b cos  a, b     +) Hệ quả: a  b  a.b  2  2 +) a  a.a  a AB  AC  BC     +) Quy tắc hình chiếu: Cho hai véc tơ a, b Gọi a  hình chiếu vng góc a đường      thẳng chứa b thì: a.b  a.b +) Với ba điểm A, B, C ta có AB AC    Định nghĩa: Ba véc tơ a, b, c gọi đồng phẳng giá chúng song song nằm mặt phẳng Các định lý:        a) Cho a, b không phương: a, b, c đồng phẳng  m, n   : c  ma  nb ( với m, n xác định nhất)    b) Nếu ba véc tơ a, b, c không đồng phẳng véc tơ x biểu diễn dạng:     x  ma  nb  kc với m, n, k xác định B CÁC DẠNG TỐN VỀ VÉC TƠ TRONG KHƠNG GIAN Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh AB G trộng tâm cảu tam giác BCD           Đặt AB  b, AC  c, AD  d Phân tích véc tơ MG theo d , b, c  1   3      3     3 A MG   b  c  d B MG  b  c  d    3 C MG   b  c  d D MG   b  c  d Lời giải Đáp án A A M D B G C     1      MG  MB  MC  MD  AB  MA  AC  MA  AD 3 3          1      AB  MA  AC  AD  AB    AB   AC  AD 3           1 1 1   AB  AC  AD   b  c  d 3 3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD , M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề       sau sai?        AD  BC  A AC  BD  AD  BC B MN       C AC  BD  AD  BC  4NM      D MC  MD  4MN  Lời giải: Đáp án D A M B D N C         A.Đúng vì: AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC         B Đúng vì: AC  BD  AM  MN  ND  BM  MN  NC        2MN  AM  BM  ND  NC  2MN            C.Đúng vì: AC  BD  AD  BC  AN  2BN  AN  BN  2 NA  NB  4NM                 Vậy D sai   Ví dụ Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD đều, AD  AC Giá tri cos  AB, CD  là: A 2 C  B Lời giải: Đáp án B D Gọi N trung điểm CD Tam giác BCD nên BN  CD Tam giác ACD cân A nên AN  CD ta có:              AB.CD AB.CD  AN  NB CD  AN CD  NB.CD   cos AB, CD     AB CD  Ví dụ      Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a; BC  AD  b; CA  BD  c Giá trị cos  BC , DA là: A a2  c2 b2 B b2  c2 a2 C c2  a2 a  b2 D b2 c2 Lời giải Chọn A          BC.DA  BC DC  CA  CB.CD  CB.CA   1 CB2  CD2  BD2    CB2  CA2  AB2   2 1   AB2  CD2  BD2  CA2    2a2  2c2   a2  c2 2 2   a c a2  c2 Vậy cos BC, DA     b2 BC DA    Ví dụ Trong mặt phẳng    cho tứ giác ABCD điểm S tùy ý Mệnh đề sau đúng?     A AC  BD  AB  CD     B SA  SC  SB  CD (Với S điểm tùy ý)     C.Nếu tồn điểm S mà SA  SC  SB  SD ABCD hình bình hành      D OA  OB  OC  OD  O giao điểm AC BD Lời giải Đáp án C          A Saivì AC  BD  AB  CD  AC  AB  DC  DB   B  C (Vơ lí) B Sai vì: Gọi O O ' theo thứ tự trung điểm AC BD Ta có          SA  SC  2SO SB  SD  2SO '  SO  SO '  O  O ' điều không ABCD khơng phải hình bình hành C Đúng – Chứng minh tương tự ý B Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M trung điểm AA ' , O tâm hình bình hành ABCD Cặp ba vecto sau đồng phẳng?       A MO, AB B ' C B MO, AB A ' D '       C MO, DC ' B ' C D MO, A ' D B ' C ' Lời giải Đáp án A D' C' A' B' D M C O A B Cách 1: Ta có MO //  CDA ' B ' ; AB / / A ' B '  AB // CDA ' B '  , B ' C ' nằm mặt phẳng     CDA ' B ' nên vecto MO, AB, BC  CDA ' B '  dồng phẳng có giá song song hay nằm mặt phẳng 1        A ' B '  B ' C  A ' B '  B ' C '  AB  B ' C A'C 2 2    Vậy vecto MO, AB, BC đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M N theo thứ tự trung điểm AB CD Bộ ba vecto đồng phẳng?       A BC, BD, AD B AC; AD; MN       C BC; AD; MN D AC; DC; MA Cách 2: Ta có MO      Lời giải Đáp án C A M D B N C     AD  AM  MN  ND     BC  BM  MN  NC        AD  BC  2MN  MN  AD  BC 2    Vậy ba vecto BC; AD; MN đồng phẳng Ví dụ Cho tứ diện ABCD M điểm đoạn AB MB  2MA N điểm đường thẳng      CD mà CN  kCD Nếu MN , AD, BC đồng phẳng giá trị k là: A k  B k  C k  D k  Lời giải Đáp án A A M B N Q D N C Qua M vẽ mặt phẳng   song song với AD BC   cắt AC P , BD Q CD N Ta có MP//PN //AD    Các vecto MN , AD, BC có giá song song hay nằm mặt phẳng   nên đồng phẳng   Ta có CN  CD Vậy k  3   Ví dụ Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 M điểm cạnh AD cho AM  AD N điểm đường thẳng BD1 P điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng hàng  MN Tính  NP A B C Lời giải Đáp án B D P D1 C1 A1 B1 C D M A        B     Đặt AB  a, AD  b, AA1  c BN  xBD1; CP  yCC1  yc STUDYTIP      Ta biểu thi hai vecto MN , NP theo vecto a, b, c   Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN   NP 1     Ta có: MN  MA  AB  BN     1  1    b  a  xBD1   b  a  x BA  BC  BB1 3      1  1    b  a  x a  b  c  1  x  a   x   b  xc   3      Ta lại có:             NP  NB  BC  CP   xBD1  b  yc   x b  a  c  b  yc      NP  xa  1  x  b   y  x  c  3   Thay (2), (3) vào (1) ta được: 1  x   x  3   x    1  x  Giải hệ ta   , x  , y    x    y  x   MN Vậy   NP Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G   trọng tâm tam giác BCD,  góc vectơ MG NP Khi cos  có giá trị là: A 2 B C Đáp án: C Lời giải:    Đặt AB  a; AC  b; AD  c;            AG  (a  b  c)  MG  AG  AM  (a  2b  2c) D       PN  AN  AP  (a  b  c) Khơng tính tổng qt, giả sử độ dài cạnh tứ diện        a  b  c  a.b  b.c  c.a  1.1.c os600      MG.PN  cos  cos( MG, PN )    (*) MG PN         Ta có:  MG.PN  (a  2b  2c)(a  b  c) 12           2 1  (a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c )  12 12         2 MG  (a  2b  2c)2  ; PN  (a  b  c)  2 Thay vào (*) ta 1  cos  12   (*) 2 C.Bài tập rèn luyện kỹ Câu 1: Cho ABCD A1B1C1D1 hình hộp, với K trung điểm CC1 Tìm khẳng định khẳng định sau:         A AK  AB  AD  AA1 B AK  AB  BC  AA1         C AK  AB  AD  AA1 D AK  AB  AD  AA1 2 Hƣớng dẫn giải          Có AK  AC  CK  ( AB  AD)  AA1  AB  AD  AA1 2 B A C D K A1 D1 B1 C1 Chọn A Câu 2: Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 với M  CD1  C1 D Khi đó:     AM  AB  AD  AA1 2 A     AM  AB  AD  AA1 2 B     AM  AB  AD  AA1 C     AM  AB  AD  AA1 2 D Hƣớng dẫn giải ( hính vẽ câu 1)           Ta có: AM  AD  DM  AD  DC1  AD  ( DC  DD1 )  AD  AB  AA1 2 Chọn B Câu 3:       Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 Khi đó: tổng góc ( D1 A1 ,C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B) là: A 1800 B 2900 C.3600 D 3150 Hƣớng dẫn giải B A C D K A1 D1 B1 C1 Ta có:   ( D1 A1 , C C1 )  900     (C1 B, DD1 )  (C1 B, CC1 )  1350     ( DC1 , A1 B)  ( DC1 , D1C )  900        ( D1 A1 ,C C1 )  (C1 B, DD1 )  ( DC1 , A1 B)  900  1350  900  3150 Chọn D Câu 4:       Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 , đặt   ( AC, DC1 );   ( DA1 , BB1 );   ( AA1 , C1C ) Khi đó:      : A 3600 B 3750 C 3150 D 2750 Hƣớng dẫn giải ( hình câu 3)       ( AC, DC1 )  ( AC, AB1 )  600       ( DA1 , BB1 )  ( DA1 , A1 A)  1350       ( AA1 , C1C )  ( AA1 , A1 A)  1800        600  1350  1800  3750 Chọn B   Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AB=6; AD=4; AB AD  12 Tính   ( SC  SA)2 A 76 B 28 C 52 D 40 Hướng dẫn giải S A B D 7.42 cm C          (SC  SA)2  AC  ( AB  AD)  AB  AD  AB.AD  62  42  2(12)  28 Chọn B Câu 6: Chỉ mệnh đề mệnh đề sau: A Ba vectơ đồng phẳng vec tơ nằm mặt phẳng       B Ba vectơ a, b, c đồng phẳng có c  ma  nb, với m, n số      C Ba vectơ đồng phẳng có d  ma  nb  pc với d vec tơ D Cả mệnh đề sai Hƣớng dẫn giải Câu 7: -Phương án A: sai vi cần giá chúng song song nằm mặt phẳng   Phương án B: Sai a, b phải không phương Phương án C sai Vậy chọn D Chọn D Cho hình tứ diện ABCD, trọng tâm G Mệnh đề sau sai?         A OG  (OA  OB  OC ) B GA  GB  GC          C AG  ( AB  AC  AD) D AG  ( AB  AC  AD) Hƣớng dẫn giải 10  Ta có  nên    Do tứ giác  hay  hình thoi nên   , mà AD khơng vng góc với SC Đáp án A Câu 45: Mặt phẳng   vng góc với OH nên   song song với Suy     theo giao tuyến đường thẳng qua I song song với SO cắt SH K Từ giả thiết suy   ,   cắt   đường thẳng qua I K song song với BC cắt AB, AC,SB,SC M, N, Q, P Do thiết diện tứ giác MNPQ Ta có MN PQ song song với BC suy I trung điểm MN K trung điểm PQ , lại có tam giác ABC tam giác SBC cân S suy IK vng góc với MN PQ nên MNPQ hình thang cân Đáp án D Câu 46:  Ta có  Vậy Câu 47:      O trung điểm BD  mặt phẳng trung trực cyả đoạn BD Ta có OI song song SA   khẳng đính sai Đáp án D 101 suy    Vì mp  hình chiếu vng góc SC lên   góc    Suy góc SC     Xét tam giác     vuông A có:  Đáp án A Câu 48: Gọi hình chiếu lên cạnh vng góc ta có hình chiếu H lên cạnh          tâm đường tròn nội tiếp     Theo định lý ba đường  Đáp án A Câu 49:     Nếu  Đáp án D Câu 50:  Có   tam giác vuông B   Ta có     Mặt khác   trùng nên đáp án A sai        tam giác vuông A tam giác vuông B Vậy bốn mặt tứ diện tam giác vuông nên đáp án D Câu 51: Đáp án D  Ta có:   Tương tự:       Từ (1); (2)    Câu 52: Đáp án B 102  Vậy:       Vậy đáp án D  Vì A’ A  A’B  A’D  Hình chiếu A’  ABCD  trùng với H tâm đường tròn ngoại tiếp ABD (1)   600 nên ABD tam giác (2) Mà tứ giác ABCD hình thoi BAD Từ (1) (2) suy H trọng tâm ABD Câu 53 Đáp án C Gọi M trung điểm BC BC  AM (1) Hiển nhiên AM  a Mà SA  ( ABC )  BC  SA (2) Từ (1) (2) suy ra: BC  (SAM )  ( P)  (SAM ) Khi đó, thiết diện hình chop S.ABC cắt  P  SAM SAM vuông A nên: 1 a 3a SSAM  SA AM   a  2 Câu 54 Đáp án A 103 Tứ giác ABCD hình vng cạnh a nên AC  a SA  ( ABCD)  AC hình chiếu vng góc SC lên  ABCD   góc SC lên  ABCD   SCA Tam giác SAC vuông A nên:   SA  a    SCA   300 tan SCA AC a Câu 55 Đáp án D  A ' C  AC '  I Gọi  C ' D  CD '  H C ' D  CD '  C ' D  ( A ' BCD ') Mà  C ' D  A ' D '  IH hình chiếu vng góc AC' lên  A’BCD’  C ' IH góc AC' lên  A’BCD’  ' IH  Mà tan C C'H  2  IH Câu 56 Đáp án D  SH  AH  SH  ( ABC )   SH  BH  SH  CH  Xét ba tam giác vng SHA, SHB, SHC có:  SA  SB  SC  SHA  SHB  SHC   SH chung 104  HA  HB  HC mà H  ( ABC )  H tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Câu 57 Đáp án C Gọi N trung điểm BC  SB  SC  BC  SN   BC  ( SAN )   AB  AC  BC  AN  M  ( P) Theo ra: BC  ( P)   ( P) / /(SAN) Kẻ MI / / AN , MK / / SA  Thiết diện  P  tứ diện SABC KMI ABC SBC hai tam giác cạnh a a a  AN  SN   SA  SAN tam giác cạnh  KMI tam giác cạnh 2 a b 3  a b    SKMI    a 16  a  Câu 58 Đáp án B Câu A: sai b vng góc với a Câu B bởi: a / /( P)  a '  ( P) cho a '/ / a , b  ( P)  b  a ' Khi đó: a  b Câu C câu D sai vì: b nằm (P) Vậy: chọn đáp án B Câu 59 Đáp án C a , SB  a Có SM  ( ABC ) nên AM hình chiếu SA lên  ABC  AM  BM  105       SA ,( ABC )  ( SA , AM )  SAM Áp dụng định lý Pytago: SM  SB  AM  a Xét tam giác SAM có:   SM   SAM   600 tan SAM AM Câu 60 Đáp án A Câu 61 Đáp án A Vì qua đường thẳng dựng vô số mặt phẳng Câu 62 Đáp án D Thiết diện hình thang vng qua trung điểm cạnh AB,CD,CS,SB, nên diện tích thiết diện là:    BC  BC   SA (8  4).6  S   36 2 Câu 63 Đáp án C Theo ra, hình chóp SABC hình chóp tam giác Gọi H trung điểm BC , ta có: SG  ( ABC ) , G  AH a a2 , SH  b  Mặt khác, ta có: AH  a2 2   b    AG   b    3b  a  SG  SA.sin SAG   b2  SA  Câu 64 Đáp án C  C  900 Để C1 nằm S C AS 2b2  a   cos AS C 0 0b a 2b2 Câu 65 Đáp án C Do hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , SA  SC, SB  SD nên SO  ( ABCD) Câu 66 Đáp án C 106 CD  AP  CD  ( APB)  BG  CD Ta có:  CD  BP  AD  CM  AD  ( BCM )  BG  AD Tương tự:   AD  BM Suy ra: BG  ( ACD)  BG  AP Kẻ KL qua trọng tâm G ACD song song với CD  AP  KL  ( P) mặt phẳng  BKL   ( ACD)  (BKL)  KL  CD  Có thể nói nhanh theo tính chất tứ diện đều: Gọi G trọng tâm Δ ACD G tâm ACD BG  ( ACD) Trong mp  ACD  , kẻ qua G đường thẳng song song với CD cắt AC , AD K, L Ta có: ( BKL)  ( ACD) , AP  KL  AP  ( BKL) Vậy: ( P)  ( BKL)  ( ACD)  (BKL)  KL  CD  Câu 67 Đáp án B   AC ,( ABCD)  CAC Ta có:    tan    CC1 a   AC a 2 Câu 68 Đáp án A Kẻ AE  BC, SA  BC  BC  ( SAE )  ( P) Thiết diện mặt phẳng ( P ) hình chóp S ABC tam giác SAE có diện tích Câu 69 Đáp án C Gọi H  EF  SD 107 a2 Do AD  BC, SA  BC  BC  ( SAD)  BC  AH  EF  AH  S AEF  EF AH Mà EF  BC  a Do H trung điểm SD  AH  a  S AEF  a 2 Câu 70 Đáp án A Ta có:  A ' D  AD '   A' D  C ' D '  (t / c hv) (C ' D '  ( A ' D ' DA))  A ' D  ( AC ' D ')  A ' D '  AC '  A ' B  AB '    A' B  B 'C '  (1) (t / c hv) ( B ' C '  ( A ' D ' DA))  A ' B  ( AB ' C ')  A ' B  AC ' Từ (1),(2)  AC '  ( A ' BD) Câu 71 Đáp án C (2) Ta có: S  ( SAB)  S hình chiếu S  SAB  (1)  BC  AB     BC  SA (t / c hv )  BC  ( SAB) (SA  ( ABCD ))  B hình chiếu C  SAB  (2) 108        a ,( SAB)  SC , SB  BSC Từ (1),(2)  SC Xét tam giác SAB vng A ta có: SB  SA2  AB2  a Xét tam giác SBC vuông B ta có: BC a tan     SB a 2 Câu 72 Đáp án C  BH  AC (gt)  Ta có:   (SA  ( ABCD ))  BH  SA  BH  ( SAC )  BH  SC  ,( BHK )  90 Mà BK  SC  SC  ( BHK )  SC   Câu 73 Đáp án B ABCD hình vng cạnh 2a  AC  2a  AO  a Ta có: SO  ( ABCD)  OA hình chiếu SA   45 Vậy góc SA  ABCD  SAO  Xét tam giác SAO ta có tan SAO Câu 74 Đáp án B   AB  AD Ta có:   AB  SA  SO  SO  a AO (t/ c hv) (SA  ( ABCD ))  AB  ( SAD)  AB  SD Giả sử SB  SD  SD  ( SAB) (vô lý) Hay SBD tam giác vuông Câu 75 Đáp án B 109 Cách 1: Dựng CK  IC' K , d (C; IC ' )  CK OC'.CI Xét ICC ' , ta có: OC'.CI  CK IC '  CK  IC ' Mà: a OC '  OC.tan 60  3a a , IC '2  OI  C ' O 2 a 13a 2  a  12 12 3a 13  d (C ; IC ')  CK  13 CI  Cách 2: Dựng OH  IC' , ta có OI  CI  d (C; IC' )  3d (O; IC' )  3OH Sau dùng cơng thức: 1   OH OI OC '2 hay OH.IC'  OI.OC' Suy OH Câu 76 Đáp án C Vì CC' A vng C nên ta dựng CH  AC ' CH khoảng cách từ C đến AC ' 110 1 1    2  2 2 CH CA CC ' 2a a 2a 2a a a  CH   CH   3 Câu 77 Đáp án A Do SABC hình chóp nên SO  (ABC )  SAO vuông O , dựng OH  SA Câu 78 Đáp án D   1 1     2 2 OH OA OS a 3 a 3             3 a a    OH   a a a 6 Cách 1: Gọi I hình chiếu A BM H hình chiếu A SI  AH  SI   AH  ( SBM )  AH  BM  AH  d ( A; ( SBM )) Gọi N trung điểm AB  DN song song BM 111  d ( D; ( SBM ))  d ( N ; ( SBM ))  d ( A; ( SBM )) Mặt khác ta có hình chiếu vng góc DS lên (SAC ) SO  DSˆO  30 Đặt DO  x  SO  x 3(O  AC  BD) a  BD  a  ABCD hình vng cạnh a Từ SO  AO  SA2  x  a2  S ABM  S ABCD  2S BCM  1 2a a 2a     AH   d ( D; ( SBM ))  Mà S ABM  AI BM  AI  AH AI SA 3 1 1    Cách 2: 2 AH AB AS AK 2 2a     AH  a 4a 4a a  d ( D; ( SBM ))  AH  Câu 79 Đáp án C Trong mặt phẳng (ABC ) dựng HK  BC K  BC  (SKH ) Từ giả thiết ta có SHˆ K  30, BC  AB  AC  4a Ta có sin ABC   HK  AC HK   BC HB a a Do M trung điểm cạnh BC nên MH song song AC  MH song song (SAC )  d (M ; (SAC ))  d ( H ; (SAC )) Trong mặt phẳng (SAB ) kẻ DH  SA D ta có: Trong SHK ta có SH  HK tan SKH  112 AC  ( SAB )  AC  DH  DH  ( SAC )  1 a    HD  2 DH HA HS Vậy d ( M ; ( SAC ))  d ( H ; ( SAC ))  HD  a 5 Câu 80 Câu 80: Đáp án A Theo giả thiết mặt phẳng ( AB ' C ' ) tạo với ( A' B' C ' ) góc 60 nên AKˆ A'  60 a Ta có A' K  A' C '  2 a  AA'  A' K tan 60  d ( B; ( AB ' C ' ))  d ( A' ; ( AB ' C ' )) Dựng A' H  AK  A' H  ( AB' C' )  d ( A' ; ( AB' C ' ))  A' H Tính A' H  a  d ( BC ; ( AB ' C ' )) Câu 81 Đáp án B  AB  AD  BAD cạnh a Theo giả thiết  ˆ BAD  60 113  OA  OB OO'  ( ABCD )  Tứ diện OSAB vng O có a a ; OA  ; OS  a 2 1 1     2 d (O; ( SAB )) OA OB OS 1 4     2 2 2 a 3a a a a 3 a       2   OB  19 a  d (O; ( SAB ))  3a 19 Câu 82 Đáp án C  Gọi K trung điểm C1 F Do A1B1C1 nên A1F  B1C1  EK  B1C1 EK song song A1F  A1 F song song (DEK ) Dựng FH  DK  d ( DE; A1F )  d ( A1F ;( DEK ))  FH (vì FH  (DEK ) ) Trong tam giác vng DFK ta có: 1 1 1 16 17    2  2  2 2 FH FD FK a a a a a   4 a  FH  17 114 115