Bài giảng ôn quan hệ vuông góc

5 Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng... Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng A'B'C' thuộc đường thẳng B'C'... a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy b Chứng minh rằng hai

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

1) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc

 � ;  900

a c

� 

�

0

a b  � uur uur a b �  (Với uur uur a b ,

lần lượt

là các véc tơ chi phương của 2 đường

thẳng)

Khi hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì vận dụng các kiến thức đã biết trong hình học phẳng

( )

( )

a

a b b







�

�

/ /( ) ( )

a

b a b

�



�

�





;

ABC a AB

a BC

a AC



�

�

 � Dùng định lý về ba đường vuông góc

2) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

; ( )

a b b

a c c a

b c O

�

�

� � 

�



( )

a b

a b

�



�

� 



( ) / /( )

( ) ( ) a

a

�



�

� 

�



   

 

     

;

a c c

�



�

   

   

     

a a

�

�



 

 

ABC

MA MB MC MO

OA OB OC





�

�

3) Vận dụng các kiến thức sau để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

      �    � ,    90 0  

     

a a

� ��



�

�





   

  / /     



�

�

�

4) Cách tính góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian

Cách 1:

+ Lấy O tùy ý Qua O vẽ a’//a và b’//b

+ � a b;  a b�'; '  00 � � 900

Cách 2:

Tìm uur uur u1 , u2

lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b Khi đó:

cos a b, cos u u, u u

u u

�

�

uu r uur

uu r uur

uu r uur

5) Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    � , 900

a

a a







�



�

� �

�

    � ,  � , ' 

'

a

a hch a







�

�

 � Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M a � , dựng

 

MH   tại H , suy ra hch a a   ' AH ,  A a  �     � a�, MAH�

6) Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

    �

 P , Q     a b � , trong đó:  

 

a P

b Q

�

       

   

       

�

�

�



7) Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

(Tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến mặt phẳng)

Cách giải:

+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)

+ Xác định m      P � Q .

+ DựngMH    P suy ra MH là đoạn cần tìm

8) Cách tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng

Khi  

   ,   0

a P

d a P

a P

�

�



�

�

�

�

Khi a/ / P

 

 ,   ,  

d a P d A P

� với A �   P

9) Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Khi    

   P Q d P    , Q  0

P Q

�

�



�

�

�

�

Khi   P / / Q �d P    , Q  d M Q ,  

với A �   P

10) Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

a) a b M d a b   , 0

a b



�

�



�

� �

�

b) a b/ / �d a b  , d M b,  d N a,  với

,

M a N b � �

c) Trường hợp a và b chéo nhau:

Cách 1:Dựng  P �a& ( )P P thì:b

 ,  ;( )

d a b d b P

Cách 2: Dựng ( )P �a& ( )Q �b P; ( ) ( )P Q

 , ( );( )

d a b d P Q

�

Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn vuông góc chung.

Cần chú ý các trường hợp sau:

a) Khi a b 

+ Dựng   P � b P ,    a tại H

b) Khi a và b không vuông góc:

+ Dựng   P � b P ,   / / a.

2 Nguyễn Công Mậu

+ Trong (P) dựng HK  btại K.

Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a

và b

+ Dựng a '  hch a P , bằng cách lấy M � a

+ Dựng đoạn MN     tại N, lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N và song song a Gọi H  � a ' b, dựng HK / / MN

Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b

BÀI TẬP MINH HỌA

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD

Giải: Gọi I, J thứ tự là trung điểm của AB và CD

Vì AB = AC nên  ACD là tam giác cân đỉnh A

� A J CD

Tương tự BJ CD

�CD (ABJ)

Do BCD  ACD�AJ = BJ

�  BJA là tam giác cân�JI AB

JI là đọan vuông góc chung của AB với CD

 JAD có 2 2 2 2 '2

4

c

JA AD JD a  (1)

 JAI có 2 2 2  2 2

a c c

c c

      (do 1)

Vậy d AB CD ,   1 2  2 2

' 2

JI  a  c c

Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a Góc tạo bởi

cạnh bên và đáy bằng 300 Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C'

A

B

C

D J

I

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc Tính khoảng cách giữa chúng ?

Giải:

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên

(A'B'C') thì H là trung điểm của B'C'

Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH (A'B'C') do đó

AH chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng

Vì AA' tạo với đáy một góc bằng 300 nên tam

giác AHA' có 1 ' 1

AH  AA  a b) Kẻ KH vuông góc với AA’ thì HK là đoạn vuông góc chung của AA' và B'C'

Dùng định lý Pitago trong tam giác vuông AKH (vuông tại K) ta tính được KH

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai

đường thẳng BC' và CD'

Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') và (ACD')

chứa hai cạnh BC' và CD'

do (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách giữa

BC' và CD' chính là khoảng cách giữa hai

mặt phẳng ((A'BC') với (ACD')

Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a

Vậy B'D là trục của hai mặt phằng trên

Hai mặt phẳng trên chia đường chéo B'D

thành ba phần bằng nhau Với B'D=a 3

Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a Gọi D, F lần

lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'

Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

 AB BC CA A B   / / B C/ / C A/ /   các tam giác ABC, Aa /B/C/ là các tam giác đều Ta có: B C // BC/ / �B C //(A BC)/ / /

d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) 

�

4 Nguyễn Công Mậu

A

B

C

A'

B'

C' H

K

C'

A

B

C D

B' O'

O I

K

Ta cĩ: BC FD/ / / /

BC (A BC)

BC A D ( A BC cân tại A )



�



�

�

�

Dựng FH A D /

Vì BC (A 'BC) �BC FH �H (A 'BC)

 A’FD vuơng cĩ:

1 1 1 4 1 7 FH a 21.

7

FH  A F FD 3a a 3a � 

Vậy, d(A B; B C ) FH/ / / a 21

7

 

Bài 5: Cho hình chĩp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảng

cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuơng gĩc nhau

Giải: Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuơng

 AB BC CA A B   / / B C/ / C A/ / a

 các tam giác ABC, A/B/C/ là các tam giác đều

Ta cĩ: B C // BC/ / �B C //(A BC)/ / /

d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) 

�

Ta cĩ: �� 



�

�

�

/

BC FD

BC (A BC)

BC A D ( A BC ca�n ta�i A )

Dựng FH A D /

Vì BC (A BC) / �BC FH �H (A BC) /

 A/FD vuơng cĩ:

1 1 1 4 1 7 FH a 21.

7

FH  A F FD  3a a 3a � 

Vậy, d(A B; B C ) FH/ / / a 21

7

 

đường cao OA a 3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM

Giải: Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Ta cĩ: OM // BN(tính chất đường trung bình)

 OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN))

Dựng OK BN, OH AK (K BN; H AK) � �

Ta cĩ: AO (OBC); OK BN� AK BN

5 Nguyễn Cơng Mậu

A /

B /

C /

C

B A H

D

B /

C

B A

H

F

D

A

C

M

K H

BN OK; BN AK   � BN (AOK)  � BN OH 

OH AK; OH BN  �OH (ABN) �d(O; (ABN) OH

Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

OH OA OK OA OB ON

 12 12 12  52 �OH a 15

5 3a a 3a 3a

Vậy, d(OM; AB) OH a 15.

5

 

Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a

(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của  ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o

Giải: Gọi M là trung điểm của BC

AMBC

� (DABC vuông cân)

Ta có: SG (ABC) � SG BC .

Suy ra: BC (SAM)

Dựng BI SA � IMSA và IC SA

�

BIC

� là góc phẳng nhị diện (B; SA; C)

SAB SAC (c.c.c)

  

IB IC IBC

� � cân tại I.

BC a 2; AM BM MC BC ; AG

2

AIM ~ AGS IM SG x

2 x

9

2 2

3ax 2

IM

2 9x 2a



�



Ta có: �BIC 60 o BIM 30� o BM IM.tg30o a 2 3.3ax 22 2

2 2 9x 2a



� 9x2 2a2 3x 3� 9x2 2a2 27x2� 2 2� 2 2 � a

18x 2a 9x a x

3 Vậy, a

x

3



Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2, SA vuông

6 Nguyễn Công Mậu

C

S

I

A

B

góc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF

�(SA; AF) (EM; AF) SEM�  �  �

 SAE vuông tại A có:

SE2SA2AE a 22a23a2�SE a 3

AF 2a 2 3 a 6

2

EM BM MF a 6; BF a 2

2

�

SB SA AB a 8a 9a �SB 3a

SF SA AF a 6a 7a �SF a 7

Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong  SBF có: 2 2 2 1 2

SB SF 2.SM BF

2

2

9a 7a 2SM 2a SM

Gọi a là góc nhọn tạo bởi SE và AF Áp dụng định lý hàm Côsin vào  SEM có:

�

2

2 2 2 3a 3a 15a

2 .a 3 2

 

o

45

 

�

Dựng AK ME; AH SK. Ta có: AK MF a 2

2

  và AH (SME)

Vì AF // ME�d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH. 

 SAK vuông có: 12 12 12 12 22 32 AH a 3

3

AH  SA  AK a a a �  Vậy, d(SE; AF) a 3

3



Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc

bằng (0o   90 )o Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC)

Giải: Gọi H là trung điểm của BC.

Do S.ABC đều và  ABC đều nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao là trực tâm O của  ABC và có  SBC cân tại S

C S

F M B

E K

suy ra: BC SH, BC AH,  nên �SHA 

Ta có: OH 1AH a 3.

SHO

 vuông góc: SO HO.tg a 3tg

6

và SH HO a 3

cos 6.cos

Thể tích hình chóp S.ABC:

V 1.SO.SABC 1 a 3. tg a 3 a tg2 3



Diện tích  SBC: SSBC 1.SH.BC a 32

2 12.cos

 Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:

SBC

SBC





Bài 10: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của

AB và C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN)

Giải: Bốn tam giác vuông:

AA 'M, BCM, CC'N, A 'D'N bằng nhau (c.g.c)

� A 'M MC CN NA '

� A 'MCN là hình thoi

Hai hình chóp B’.A’MCN và B’.A’NC có chung

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / 2.SA NC /

nên: VB A MCN / / 2.VB A NC / /

Mà: /  / /  / /   � / / 

/

V V CC S a .a.a V

Ta có: / /

A MCN

1

S A C.MN,

2

 với A C a 3; MN BC/   / a 2 /

2

A MCN

a 6

2



�

Gọi H là hình chiếu của B/ trên (A/MCN), ta có: VB'.A 'MCN 1.B'H.SA 'MCN

3

/ /

/

3 2 / B A MCN

A MCN

3.V a a 6 a 6

�

8 Nguyễn Công Mậu

S

A

O B H

C j

D /

C /

D

C

M N

Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a,

góc �BAC 120 o, cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh  AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

 ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

 AH a

2

 và BH a 3 BC a 3

2

/ /

IB C

 vuông có: /2 / 2 / / 2 a2 2 13a2

IB IC B C 3a

 AIC vuông có: AI2 IC2 AC2 a2 a2 5a2

Ta có: 2 25a2 213a2 2

AI AB' 2a IB'

4 4 (AB’ là đường chéo hình vuông AA’B’B cạnh a) Vậy  AB’I vuông tại A

Ta có: /

2 /

AB I

S AI.AB a 2

   ; SABC 1.AH.BC 1 a .a 3 a 32

Gọi a là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:

/

ABC

AB I

S a 3 a 10 30

BÀI TẬP VỀ NHÀ

a) Chứng minh (ADE)  (ABC)

b) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC, đường cao BK của (BCD)

Chứng minh (BFK)  (ABC)

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a) Chứng minh (SIJ)  (SBC)

b) Tính khoảng cách giữa AD và SB

Bài 3: Tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B ; AC=2a Cạnh SA vuông

góc với (ABC) và SA = a

a) Chứng minh (SAB)  (SBC)

b) Tính khảng cách từ A đến (SBC)

c) Gọi O là trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)

A /

A

H

I

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD), SA =

h Gọi O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách:

a) Từ B đến (SCD)

b) Từ O đến (SCD)

SB = b Tính khoảng cách:

a) Từ S đến (ABCD)

b) Từ AD đến (SBC)

c) Từ trung điểm I của CD đến (SHC), H là trung điểm của AB

a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SA và BD

b) SC và BD

c) AC và SD

Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB.

a) Chứng minh AB  CD

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

SA = 2a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SC và BD

b) AC và SD

Bài 10: Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm BC

Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a) OA và BC

b) AI và OC

10 Nguyễn Công Mậu