Bài giảng ơn tập phần Quan hệ vng góc PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC 1) Vận dụng kiến thức sau để chứng minh hai đường thẳng vng góc b / /c � �ab � a c � a b � � a ; b 900 uu r uu r uu r uu r a b� a � b (Với a , b Khi hai đường thẳng nằm mặt phẳng vận dụng kiến thức biết hình học phẳng véc tơ chi phương đường thẳng) a ( ) � �� a b b �( ) � a / /( ) � �� b a b ( ) � ABC ; a AB � �� a BC a AC � Dùng định lý ba đường vng góc 2) Vận dụng kiến thức sau để chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng a b; b �( ) � � a c; c �( ) � a ( ) � � b �c O � a / /b � � a ( ) � b ( ) � � � a � �� a � a c; c � � ABC � � � MA MB MC �� MO OA OB OC � � ( ) / /( ) � � a ( ) � a ( ) � � � �� a � a � � 3) Vận dụng kiến thức sau để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với �a � � �� a� � � , 900 � � � � / / � 4) Cách tính góc hai đường thẳng a b không gian Cáchuu 2: r uur Tìm u1 , u2 vectơ phương a b Khi đó: Cách 1: + Lấy O tùy ý Qua O vẽ a’//a b’//b 0 + a�; b a�'; b ' � �90 uu r uu r u1 � u2 uu r uu r cos a, b cos u1 , u2 uu r uu r u1 �u2 5) Cách tính góc đường thẳng mặt phẳng Nguyễn Công Mậu Bài giảng ơn tập phần Quan hệ vng góc a / / � � � a , 00 � a � � a � a�, 900 a � � � �� a , a , a ' Để tìm a ' hch a ta lấy tùy ý điểm M �a , dựng a ' hch a � � MH H , suy hch a a ' AH , A a � � a�, MAH 6) Cách xác định góc hai mặt phẳng P , Q a�, b � R P � Q � � P , Q � p ,q R � P p �� � R � Q q � � a P � � đó: � b Q � 7) Cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Tìm đoạn vng góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng) Cách giải: + Tìm mặt phẳng (Q) chứa M vng góc với (P) + Xác định m P � Q + Dựng MH P suy MH đoạn cần tìm 8) Cách tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng � a � P Khi � a � P � Khi a / / P � d a , P d A , P với A � P � d a , P 9) Cách tính khoảng cách hai mặt phẳng � P � Q Khi � Khi P / / Q � d P , Q d M , Q � d P , Q với A � P 10) Cách tính khoảng cách hai đường thẳng a b P � Q � a �b M � a) � �a �b b) a / / b � d a , b d M , b d N , a với � d a ,b M �a , N �b c) Trường hợp a b chéo nhau: Cách 1:Dựng P �a & ( P) Pb thì: d a, b d b;( P ) Cách 2: Dựng ( P ) �a & (Q) �b ; ( P ) P(Q) � d a, b d ( P );(Q ) Cách 3: Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn vng góc chung Cần ý trường hợp sau: a) Khi a b + Dựng P �b , P a H b) Khi a b không vuông góc: + Dựng P �b , P / / a Nguyễn Công Mậu Bài giảng ơn tập phần Quan hệ vng góc + Dựng a ' hch P a , cách lấy M �a + Dựng đoạn MN N, lúc a’ đường thẳng qua N song song a Gọi H a '�b , dựng HK / / MN Đoạn HK đoạn vng góc chung a b + Trong (P) dựng HK b K Đoạn HK đoạn vng góc chung a b BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AC BC AD BD a; AB c CD c ' Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Giải: Gọi I, J thứ tự trung điểm AB CD Vì AB = AC nên ACD tam giác cân đỉnh A � A J CD Tương tự BJ CD � CD (ABJ) Do BCD ACD � AJ = BJ � BJA tam giác cân � JI AB JI đọan vng góc chung AB với CD JAD có JA2 AD JD a A I D B J C c '2 (1) 2 a c c '2 c ' c JAI có JI JA IA a (do 1) 4 2 Vậy d AB, CD JI 2 a c c '2 Bài 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C' Nguyễn Công Mậu Bài giảng ơn tập phần Quan hệ vng góc a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy b) Chứng minh hai đường thẳng AA' B'C' vuông góc Tính khoảng cách chúng ? Giải: A a) Gọi H hình chiếu vng góc A (A'B'C') H trung điểm B'C' Do (ABC)//(A'B'C'), mà AH (A'B'C') AH khoảng cách hai mặt phẳng Vì AA' tạo với đáy góc 30 nên tam 1 giác AHA' có AH AA ' a 2 C B K A' C' H B' b) Kẻ KH vng góc với AA’ HK đoạn vng góc chung AA' B'C' Dùng định lý Pitago tam giác vuông AKH (vuông K) ta tính KH Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng BC' CD' Ta xét hai mặt phẳng (A'BC') (ACD') chứa hai cạnh BC' CD' (A'BC')//(ACD') nên khoảng cách BC' CD' khoảng cách hai mặt phẳng ((A'BC') với (ACD') Ta có DA=DC=DD'=a, B'B=B'A'=B'C'=a Vậy B'D trục hai mặt phằng Hai mặt phẳng chia đường chéo B'D thành ba phần Với B'D= a B C O A D I K B' C' O' A' D' Bài 4: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, F trung điểm cạnh BC, C'B' Tính khoảng cách hai đường thẳng A'B B'C' Giải: Vì mặt bên lăng trụ hình vng AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a tam giác ABC, A/B/C/ tam giác Ta có: B/ C/ // BC � B/ C/ //(A / BC) � d(A / B; B/ C/ ) d(B/ C/ ; (A / BC)) d(F; (A / BC)) Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc �BC FD � BC (A / BC) Ta có: � / / / n A ) �BC A D (A BC caâ Dựng FH A / D Vì BC (A 'BC) � BC FH � H (A 'BC) A’FD vng có: 1 a 21 � FH FH2 A / F2 FD2 3a2 a2 3a2 Vậy, d(A / B; B/ C/ ) FH A/ C/ B/ H C A D B a 21 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc Giải: Vì mặt bên lăng trụ hình vng AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a tam giác ABC, A/B/C/ tam giác Ta có: B/ C/ // BC � B/ C/ //(A / BC) B/ F H � d(A / B; B/ C/ ) d(B/ C/ ; (A / BC)) d(F; (A / BC)) BC FD � � BC (A / BC) Ta có: � / / / BC A D (A BC ca� n ta� iA ) � Dựng FH A / D Vì BC (A / BC) � BC FH � H (A / BC) A/FD vng có: 1 a 21 / 2 � FH 2 FH AF FD 3a a 3a a 21 Vậy, d(A / B; B/ C/ ) FH C A B D Bài 6: Cho tứ diện OABC có đáy OBC vuông O, OB = a, OC = a 3, (a 0) đường cao OA a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường A thẳng AB OM Giải: Gọi N điểm đối xứng C qua O Ta có: OM // BN(tính chất đường trung bình) OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)) H O N C Dựng OK BN, OH AK (K �BN; H �AK ) Ta có: AO (OBC); OK BN � AK BN M K Nguyễn Công Mậu B Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc BN OK; BN AK � BN (AOK ) � BN OH OH AK; OH BN � OH (ABN) � d(O; (ABN) OH Từ tam giác vuông OAK; ONB có: 1 1 1 2 2 OH OA OK OA OB ON2 1 a 15 � OH 3a2 a2 3a2 3a2 Vậy, d(OM; AB) OH a 15 Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy tam giác ABC vuông cân A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu S đáy trùng với trọng tâm G ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) 60 o Giải: Gọi M trung điểm BC � AM BC (DABC vuông cân) Ta có: SG (ABC) � SG BC Suy ra: BC (SAM) Dựng BI SA � IM SA IC SA � góc phẳng nhị diện (B; SA; C) � BIC SAB SAC (c.c.c) � IB IC � IBC cân I a a BC a 2; AM BM MC BC ; AG 2 AIM ~AGS � IM SG � IM AM a x AS SG2 AG2 S I C A G M B ax 2 x2 2a2 3ax 2 9x2 2a2 � 30o � BM IM.tg30o � a 3.3ax � 60o � BIM Ta có: BIC 2 9x2 2a2 a 2 2 � 9x2 2a2 3x � 9x2 2a2 27x2 � 18x 2a � 9x a � x a Vậy, x Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SE AF Giải: Gọi M trung điểm BF EM // AF � AF) (EM; � AF) SEM � � (SA; S SAE vng A có: SE2 SA AE a2 2a2 3a2 � SE a AF 2a a H a ; BF a 2 SB2 SA AB2 a2 8a2 9a2 � SB 3a � EM BM MF K A C F E M B SF2 SA AF a2 6a2 7a2 � SF a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM SBF có: SB2 SF2 2.SM BF 2 15a � 9a2 7a2 2SM 2a2 � SM 2 Gọi a góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý hàm Cơsin vào SEM có: 3a2 15a2 3a ES2 EM SM 2 � cos cosSEM 2.ES.EM 2 a .a o � 45 a Dựng AK ME; AH SK Ta có: AK MF AH (SME) Vì AF // ME � d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH 1 1 a SAK vng có: � AH AH2 SA AK a2 a2 a2 Vậy, d(SE; AF) a Bài 9: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc (0o 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Giải: Gọi H trung điểm BC Do S.ABC ABC nên chân đường cao đỉnh S trùng với giao điểm ba đường cao trực tâm O ABC có SBC cân S Nguyễn Công Mậu Bài giảng ơn tập phần Quan hệ vng góc � suy ra: BC SH, BC AH, nên SHA a Ta có: OH AH SHO vng góc: SO HO.tg S a tg HO a cos 6.cos Thể tích hình chóp S.ABC: SH A O 1a a2 a3tg V SO.SABC tg 3 24 C j H B a2 Diện tích SBC: SSBC SH.BC 12.cos Gọi h khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 3.V a3tg a2 a V h.SSBC � h : sin SSBC 24 12cos Bài 10: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N trung điểm AB C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) Giải: Bốn tam giác vuông: AA 'M, BCM, CC'N, A 'D'N (c.g.c) � A 'M MC CN NA ' � A 'MCN hình thoi Hai hình chóp B’.A’MCN B’.A’NC có chung đường cao vẽ từ đỉnh B/ SA / MCN 2.SA /NC nên: VB/ A / MCN 2.VB/ A / NC D/ C/ N A/ B/ D A M C B / 1 a3 a3 Mà: V / VC.A /B/ N CC SA / B/ N a .a.a � VB/ A / MCN B ANC 3 a2 Ta có: SA / MCN A / C.MN, với A / C a 3; MN BC/ a � SA / MCN 2 Gọi H hình chiếu B/ (A/MCN), ta có: VB'.A 'MCN B'H.SA 'MCN � B/ H 3.VB/ A / MCN SA / MCN a3 a2 a : 3 Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, � 120o , cạnh bên BB' = a Gọi I trung điểm CC' Chứng minh AB'I vng góc BAC A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'I) Giải: Gọi H trung điểm BC � AH BC ABH nửa tam giác cạnh AB = a a a AH BH � BC a 2 a2 13a2 IB/ C/ vng có: IB/ IC/ B/ C/ 3a2 4 2 a 5a AIC vng có: AI IC2 AC2 a2 4 B/ C/ A/ B I H 30o C A 5a2 13a2 2a2 IB'2 (AB’ đường chéo hình vuông AA’B’B cạnh a) 4 Vậy AB’I vuông A 1 a a2 10 1 a a2 Ta có: SAB/ I AI.AB/ ; a SABC AH.BC a 2 2 / Gọi a góc hai mặt phẳng (ABC) (AB I), theo cơng thức chiếu, ta có: SABC a2 a2 10 30 cos : SAB/ I 4 10 Ta có: AI AB'2 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tứ diện ABCD, AD (BCD) Gọi E chân đường cao DE tam giác BCD a) Chứng minh (ADE) (ABC) b) Kẻ đường cao BF tam giác ABC, đường cao BK (BCD) Chứng minh (BFK) (ABC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA SB SC SD a Gọi I, J trung điểm AD BC a) Chứng minh (SIJ) (SBC) b) Tính khoảng cách AD SB Bài 3: Tứ diện S.ABC có ABC tam giác vng cân đỉnh B ; AC=2a Cạnh SA vng góc với (ABC) SA = a a) Chứng minh (SAB) (SBC) b) Tính khảng cách từ A đến (SBC) c) Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC) Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = h Gọi O tâm hình vng ABCD Tính khoảng cách: a) Từ B đến (SCD) b) Từ O đến (SCD) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng vạnh a, mặt bên (SAB) đáy SA = SB = b Tính khoảng cách: a) Từ S đến (ABCD) b) Từ AD đến (SBC) c) Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SA BD b) SC BD c) AC SD Bài 7: Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC ABD có đáy chung AB a) Chứng minh AB CD b) Xác định đoạn vng góc chung AB CD Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh SA (ABCD) ; SA = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD) SA=a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài 10: Cho tứ diện OABC, với OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy xác định tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC 10 Nguyễn Công Mậu ... x Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vuông Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc khoảng... giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a Góc tạo cạnh bên đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A'B'C') thuộc đường thẳng B'C' Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vuông góc a) Tính khoảng cách hai... 'MCN B'H.SA 'MCN � B/ H 3.VB/ A / MCN SA / MCN a3 a2 a : 3 Nguyễn Công Mậu Bài giảng ôn tập phần Quan hệ vng góc Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC