Ctst chương 3 giới hạn hàm số liên tục

CHƯƠNG III GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC - - HỌC XONG CHƯƠNG NÀY BẠN CÓ THỂ: Nhận biết khái niệm giới hạn day số, vận dụng giới hạn phép tốn giới hạn để tìm giới hạn dãy số đơn giản Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn vận dụng vào giải vấn đề toán học sống Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn, giới hạn phía hàm số điểm, vô cực, giới hạn vô cực hàm số điểm thông qua xét giới hạn bản; tính giới hạn hàm số cách dùng giới hạn phép toán giới hạn hàm số; giải số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số Nhận dạng hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn; nhận biết tính liên tục tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục, tính liên tục số hàm sơ cấp - TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Từ khoá: Giới hạn hữu hạn dāy số; Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Giới hạn hữu hạn dãy số Giới hạn dãy số   1  un u  n Hoạt động khám phá 1: Cho dã̀ y số n với a) Tìm giá trị cịn thiếu bảng sau: n 10 20 0,1 0, 05 un n 50 0, 02 100 ? 1000 ? u b) Với n n bé 0, 01; 0, 001 c) Một số số hạng dãy số biểu diễn trục số Hình Từ kết có nhận xét khoảng cách từ điểm un đến điểm n trở nên lớn? Kiến thức trọng tâm u u  Ta nói dãy số n có giới hạn n dần tới dương vô cực, n nhỏ số dương cho lim un 0 trước, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu n   hay un  n   Ta viết lim un 0 un   1  n hoạt động 1, sử dụng định nghĩa, chứng tỏ lim un 0 Giải N d Khi đó, với số tự nhiên Với số thực dương d bé tuỳ ý cho trước, lấy số tụ nhiên N cho Ví dụ Với dãy số n un   1  n cho n N , ta có Theo định nghĩa, lim un 0 TÀI LIỆU TOÁN THPT n n 1   d n N Trang Ta thừa nhận số giới hạn Chúng thường sử dụng để tìm giới hạn nhiều dãy số khác Kiến thức trọng tâm lim k 0 n , với k nguyên dương n - lim q 0 , với q số thực thoả mãn | q | lim Ví dụ Áp dụng giới hạn bản, tìm Giaii   Ta có  3 n      3 n n n   lim   0  3 lim 1 n  1 3 Do nên Thực hành Tìm giới hạn sau: lim n a)   n  3 lim     4 b) Giới hạn hữu hạn dãy số  un  un  2n  n Hoạt động khám phá 2: Cho dãy số với v  a) Cho dãy số n với un  Tìm giới hạn lim b) Biểu diễn điểm u1 , u2 , u3 , u4 trục số Có nhận xét vị trí điểm un n trở nên lớn? u  Ta nói dãy số n có giới hạn hũ u hạn số a (hay un dần tới a ) n dần tới dương vô cực, lim un a lim  un  a  0 Khi đó, ta viết n   hay lim un a hay un  a n   Chú ý: Nếu un c ( c số) lim un lim c c Ví dụ Dùng định nghĩa, tìm giới hạn lim 3n  n2 Giải 3n  1 un 3  un   2 n n hay n Đặt Ta có lim  un  3 lim 0 n Suy un  Theo định nghĩa, ta có lim un 3 Vậy Thực hành Tìm giới hạn sau: TÀI LIỆU TOÁN THPT lim 3n  3 n2 Trang n   2  lim           a)   4n  lim    n  b) Các phép toán vể giới hạn hữu hạn dãy số  3n   lim    lim 1 n  n2  Hoạt động khám phá 3: Ở ta biết lim n a) Tìm giới hạn lim   lim    lim  lim n   n b) Từ đó, nêu nhận xét Để tìm giới hạn hữu hạn dãy số, người ta thường vận dụng phép toán giới hạn hữu hạn dãy số Kiến thức trọng tâm Cho lim un a, lim b c số Khi đó: - lim  un   a  b - lim  un   a  b - lim  c.un  c.a - lim  un  a.b lim un a   b 0  b * lim un  a - Nếu un 0, n   a 0 Ví dụ Tìm giới hạn sau: 3n  lim 2n  ; a) b) 9n  n lim Giải 3 3n  n  2n   n (chia tử mẫu cho n ) a) Ta có lim   1  3 2   lim  lim 3n  n n  n   0  lim lim  1 1 2n  2  2 lim  lim lim    n n n  Từ b) Ta có 9n  9n  9n  1    9 2 n n n n 9n  1   lim   lim     lim  lim   3 n n n  n  Từ Thực hành Tìm giới hạn sau: lim TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang a) lim 2n  3n n2 1 4n  n b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Từ hình vng có cạnh , tơ màu nửa hình vng, tơ màu nửa hình cịn lại, tiếp tục (xem Hình 2) lim Hình k  k 1, 2,3,  a) Xác định diện tích uk phần hình tơ màu lần thứ n  n 1, 2,3,  b) Tính tổng diện tích S n phần hình tơ màu sau lần tơ thứ c) Tìm giới hạn limS n so sánh giới hạn với diện tích hình vng ban đầu q 1 u  Xét cấp số nhân vô hạn n có cơng bội q thồ mãn Tổng S n n số hạng đầu cấp số nhân là: S n u1  u2  un u1 Vì q 1 u u 1 qn   qn 1 q 1 q 1 q n nên limq 0 u u u u u limS n   limq n   0  1 q 1 q 1 q 1 q 1 q u  Giới hạn gọi tổng cấp số nhân n , kí hiệu S u1  u2  u3  un  q 1 u  Cấp số nhân vơ hạn n có cơng bội q thoả mãn gọi cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng u S u1  u2  un   1 q n 1  1 1        16 64  4 Ví dụ Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: Giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang q  u  nên: Tổng tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu công bội n 1 1 1  1          16 64  1  4 1     4 Ví dụ Biết coi số thập phân vơ hạn tuần hồn 0, 666 tổng cấp số nhân lùi vô 1 0, 666  0,  0, 06  0, 006  0,  0,   0,   10 10 hạn: Hãy viết 0, 666 dạng phân số Giải Số 0,666 tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng đầu 0,6 công bội 10 0, 6 0, 666     1 10 Do n  1  1          3  3 4/ Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: 1/ Từ tờ giấy, cắt hình trịn bán kinh R  cm  R Hình 3a Tiếp theo, cắt hai hình trịn bán kinh chồng lên hình trịn Hình 3b R Tiếp theo, cắt bốn hình trịn bán kính chồng lên hình trước Hình 3c Cứ tiếp tục Tính tổng diện tích hình trịn Giới hạn vơ cực Dựng dãy hình vng cách ghép từ hình vng đơn vị (cạnh đơn vị độ dài) theo bước Hình Kí hiệu un (đơn vị diện tích) diện tích hình vng dựng bước thứ n Hình a) Với n un vượt q 10000;1000000 ? b) Cho hình có diện tích S Với n un vượt S ? TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang    un  có giới hạn  n   un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu lim un  hay un   n   lim   un   u  Ta nói dãy số n có giới hạn   n   , kí hiệu limun   hay un    n   Ta nói dãy số Chú ý: Ta có kết sau: lim   un    a) limun  chi ; 0 un b) Nếu limun  limun   ; lim  un c) Nếu limun 0 un  với n n Ví dụ Tìm giới hạn limq với q  lim Giải n 1 1 lim n lim   0  1 q q q Từ q  suy Do đó, n n Mà q  với n nên limq  Nhận xét: limn k   k  N, k 1 a) ; b) limq  ( q  1) BÀI TẬP Tìm giới hạn sau: a) lim  2n  n lim 2n  b) c) d) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn sau: n 1  1          2 a) lim lim 16n  n ; n  2n  2n n 1 1        4 b) 16 64 Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn 0, 444 dạng phân số Từ hình vng có cạnh (đơn vị độ dài), nối trung điểm bốn cạnh để có hình vng thứ hai Tiếp tục nối trung điểm bốn cạnh hình vng thứ hai để hình vng thứ ba Cứ tiếp tục làm thế, nhận dãy hình vng (xem Hình 5) TÀI LIỆU TỐN THPT Trang an diện tích hình vng thứ n S n tổng diện tích n hình vuông đầu a , S  n 1, 2,3,  lim S n (giới hạn có gọi tiên Viết cơng thức tính n n tìm a) Kí hiệu tổng diện tích hình vng) Pn chu vi hình vng thứ n Qn tổng chu vi n hình vng P Q (n 1, 2,3, ) tìm lim Qn (giới hạn có gọi tổng Viết cơng thức tính n n b) Kí hiệu chu vi hình vng Xét q trình tạo hình có chu vi vơ cực diện tích sau: H cạnh đơn vị độ dài (xem Hình 6a) Chia hình vng H thành chín hình vng nhau, bỏ bốn hình vng, nhận hình H1 (xem Hình Bắt đầu hình vng 6b) Tiếp theo, chia hình vng nhận hình H1 thành chín hình vng bỏ bốn hình vng , H (xem Hình 6c) Tiếp tục trình này, ta nhận dãy hình H n (n 1, 2,3, ) H Ta có: có hình vng, hình vng có cạnh ; 1 H có 5.5 5 hình vng, hình vng có cạnh 32 ; n n H Từ đó, nhận n có hình vng, hình vng có cạnh S H lim S n a) Tính diện tích n n tính b) tính chu vi pn hình H n tính lim pn (Quá trình tạo nên hình, gọi fractal, coi có diện tích lim S n chu vi lim pn ) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Bài 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Từ khóa: Giới hạn hữu hạn hàm số điểm; Giới hạn phía hàm số; Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực; Giới hạn vô cực hàm số Hoạt động khởi động: Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi điểm M nằm đồ thị hàm số y  x  0 x2 Diện tích hình chữ nhật thay đổi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải sao? Giới hạn hữu hạn hàm số điểm 2x2  x Hoạt động khám phá 1: Xét hàm số a) bảng sau cho biết giá trị hàm số số điểm gần điểm y  f  x  Có nhận xét giá trị hàm số gần đến 1? y  f  x H b) Ở hình 1, M điểm đồ thị hàm số ; P hình chiếu M trục hồnh trục tung  1;0  trục hồnh điểm P thay đổi nào? Khi điểm H thay đổi điểm Xét hàm số hoạt động khám phá Lấy dãy số TÀI LIỆU TOÁN THPT  xn  cho xn 0 lim xn 1 Trang 2  x   2  xn 1  xn  1 f  xn   n  2 xn  x  x  n n Ta có lim f  xn  lim  xn   2.lim xn  4 Do y  f  x Ta nói hàm số có giới hạn x dần tới  a; b  ;( ; b);  a;  hay ( ; ) Dưới đây, ta viết khoảng K thay cho khoảng x0 thuộc khoảng K hàm số y  f  x  xác định K Kiến thức trọng tâm: Cho điểm K \  x0  Ta nói hàm số bất kì, y  f  x x  x có giới hạn hữu hạn số L x dần tới với dãy số n xn  K \  x0  f  xn   L xn  x0 xn  x0 f  xn   L , kí hiệu lim f  x  L x  x0 hay x2  lim f  x  x  Tìm x  Ví dụ Cho hàm số Giải y  f  x  \   2 Hàm số xác định f  x  Giả sử  xn  dãy số bất kì, thỏa mãn lim f  xn  x  lim n Ta có Vậy xn  với n xn   n   4  x    xn   lim( x  2)  lim n n xn  xn  lim f  x   x  Nhận xét: lim x  x0 , lim c c x  x0 (c số) x  x0 a ) lim  x  x  x Thực hành Tính giới hạn sau: Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số Hoạt động khám phá Cho hai hàm số a) Giả sử  xn  Tính giới hạn x  x 1 x  x 1 b) lim y  f  x  2 x; y  g  x   dãy số bất kì, thỏa mãn lim  f  x   g  x   x x 1 xn  với n xn  n   lim  f  x   g  x   lim f  x   lim g  x  x b) Từ đó, tìm giới hạn x so sánh với x Từ phép toán giới hạn hữu hạn dãy số ta nhận kết sau đây: Kiến thức trọng tâm lim f  x  L; lim g  x  M x  x0 a) Cho x  x0 Khi đó: lim  f  x   g  x   L  M x  x0   TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 10 Từ 2,5 đến 10 Nếu xét khoảng từ đến ( tính theo 100 gam) hàm số giá cước( tính theo nghìn đồng) xác định sau: 6 x   0;1  f  x  7 x   1; 2,5  10 x   2,5;5 Đồ thị hàm số hình x   1; 2,5  lim f  xn  x  a) Giả sử n dãy số cho n lim xn 1 Tìm  x   x    0;1 lim xn 1 Tìm lim f  xn  b) Giả sử n dãy số cho n c) Nhận xét kết a) b)    x ;b xác định khoảng o y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn bên phải số L x dần tới xo với dãy số n Cho hàm số y  f  x lim f  x  L f  xn   L bất kì, xo  xn  b xn  xo , kí hiệu x  xo y  f  x  a; xo  Cho hàm số xác định khoảng y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn bên trái số L x dần tới xo với dãy số n lim f  x  L f  xn   L bất kì, a  xn  xo xn  xo , kí hiệu x  xo Chú ý:   a) Ta thừa nhận kết sau: lim f  x  L , lim f  x  L  lim f  x  L x  xo Nếu x  xo lim f  x   lim f  x  x  xo x  xo x  xo khơng tồn lim f  x  x  xo b) Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số mục ta thay x  xo x  xo x  xo 0 x  f  x   1 x  Ví dụ Cho hàm số lim f  x  , lim f  x  x a) Tính giới hạn x  0 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 12 lim f  x  b) Có tồn giới hạn x  ? Lời giải f  xn  1  lim f  xn  lim1 1 x  a) Giả sử n dãy số bất kì, xn  xn  Khi lim f  x  1 Vậy x  0 f  xn  0  lim f  xn  lim 0 x  Giả sử n dãy số bất kì, xn  xn  Khi lim f  x  0 Vậy x  0 lim f  x   lim f  x  lim f  x  x b) x  0 nên không tồn x  1  x x  f  x    x  x   Cho hàm số lim f  x  lim f  x  lim f  x  Tìm giới hạn x   1 x   1 x   ( có ) Giới hạn hữu hạn hàm số vơ cực f  x  x có đồ thị Hình Cho hàm số a) Tìm giá trị thiếu bảng sau x 10 100 0,1 0,01 y  f  x Từ đồ thị bảng trên, nêu nhận xét giá trị b) Tìm giá trị cịn thiếu bảng sau: x -100000 -10000 ? ? y  f  x 1000 ? f  x 10000 ? 100000 ? x lớn ( dần tới  )? -1000 ? -100 -0,01 -10 -0,1 f  x Từ đồ thị bảng trên, nêu nhận xét giá trị x bé ( dần tới   )? f  x x  Xét hàm số Lấy dãy số n cho xn 0 lim xn  lim f  x  lim 0 xn Khi  Cho hàm số TÀI LIỆU TOÁN THPT y  f  x xác định  a;  Trang 13 Ta nói hàm số  y  f  x x  có giới hạn hữu hạn số L x   với dãy số n bất lim f  x  L f  xn   L f  x  L kì, xn  a xn   , , kí hiệu x   hay x   y  f  x   ; a  Cho hàm số xác định y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn hữu hạn số L x    với dãy số n bất lim f  x  L f  xn   L f  x  L kì, xn  a xn    , , kí hiệu x    hay x    2x  f  x  lim f  x  x  Tìm x   Ví dụ Cho hàm số Giải :   ;     2;  Hàm số xác định x  Giả sử n dãy số cho xn   xn   Ta có 2x  xn  lim n lim  2 1 xn  1 xn 2 lim f  xn  lim x   Vậy Chú ý : 2x  2 x2 Với c số k số ngun dương, ta ln có: c lim k 0 lim c c x   x   x a) b) Các phép toán giới hạn hàm số Mục thay x  x0 x   x    x  3x Ví dụ Tìm x    x  lim Giải:  3 3 lim     lim x    x  3x 1 x   x  x  x  lim  lim   x   x 1 x   1  lim     lim 2  x   x x   x x   1  3x lim Luyện tập Tìm giới hạn sau: a) x   x  x b) lim x   x 1 Vận dụng Một hồ chứa 200m nước mặn với nồng độ muối 10kg / m Người ta hóa nước hồ cách bơm nước vào hồ với tốc độ 2m / phút Ct biểu thị nồng độ muối hồ sau t phút kể từ bắt đầu bơm lim C  t  b) Tìm giới hạn t   giải thích ý nghĩa Giới hạn vô cực hàm số điểm a) Viết biểu thức TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 14 Hoạt động Cho hàm số f  x  x  có đồ thị Hình a) Tìm giá trị cịn thiếu bảng sau: Từ đồ thị bảng trên, có nhận xét giá trị b) Tìm giá trị cịn thiếu bảng sau: f  x x dần tới phía bên phải? f  x Từ đồ thị bảng trên, có nhận xét giá trị x dần tới phía bên trái? y  f  x  x ; b Kiến thức : Cho hàm số xác định khoảng y  f  x  Ta nói hàm số có giới hạn bên phải  x  x0 bên phải với  f  x    xn  bất kì, x0  xn  b xn  x0 f  xn    , kí hiệu xlim  x0 dãy số  f  x    hay x  x0 y  f  x Ta nói hàm số có giới hạn bên phải   x  x0 bên phải với f  x     xn  bất kì, x0  xn  b xn  x0 f  xn     , kí hiệu xlim  x0 dãy số  f  x    hay x  x0 Chú ý : a) Các giới hạn lim f  x   x  x0 , lim f  x    lim f  x   , x   , x  x0 lim f  x    x   , lim f  x   lim f  x    , x   định nghĩa tương tự b) Ta có giới hạn thường dùng sau: x   TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 15    1  lim   x a x  a x  a x  a lim x k  x   với k nguyên dương; lim lim x k  x    a   ; k số chẵn; lim x k    k số lẻ c) Các phép toán giới hạn hàm số Mục áp dụng tất hàm số xét có giới hạn hữu hạn Với giới hạn vơ cực, ta có số quy tắc sau đây: lim f  x  L 0 lim g  x   lim g  x    lim  f  x  g  x   Nếu x  x0 x  x0 (hoặc x  x0 ) x  x0 tính theo quy tắc cho bảng sau: x     Các quy tắc thay x0 thành x0 (hoặc ,   ) Ví dụ Tìm giới hạn sau: 1 2x lim lim  x  1 x  2 x  a) ; b) x    Giải lim   x  1  lim x 1  2.2  3; lim  x  2 x x x  a) Ta có lim Do x  2 1 2x    lim    x    x  x x        x2 1 x2    lim x ; lim    1  lim 1  1 x   x   x x  Ta có x    x    b) Viết   lim  x  1  lim x     x   x   x   Do Luyện tập Tìm giới hạn sau: 2x lim a) x  x  ; lim  x  1 b) x   Vận dụng Xét tình video đầu học Gọi x hồnh độ điểm H Tính diện S  x tích hình chữ nhật OHMK theo x Diện tích thay đổi x  0 x   BÀI TẬP Tìm giới hạn sau: a) lim  x  x   x  TÀI LIỆU TOÁN THPT ; b) lim x x x2  ; c) lim x 3 x 8 x Trang 16  x f  x   x Cho hàm số Tìm giới hạn sau: x  f  x  ; lim f  x  ;lim f  x  x 1 Tìm giới hạn xlim x  1 x (nếu có) 4x  x2 1 lim lim a) x   x ; b) x   3x  ; c) x   x  Tìm giới hạn sau: x lim lim lim  x x  x   1 x  3 x a) ; b) x    ; c) lim   Trong hồ có chứa 6000 lít nước Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30gam / lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút a) Chứng tỏ nồng độ muối nước hồ sau t phút kể từ bắt đầu bơm 30t C  t  (gam / 400  t lít ) b) Nồng độ muối hồ t   Một thấu kính hội tụ có tiêu cự f  không đổi Gọi d d  lả khoảng cách từ vật 1   thật ảnh tới quang tâm O thấu kính (Hình 5) Ta có cơng thức: d d  f hay d df d f gd  Xét hàm số lim g  d  a) d  f ; df d  f Tìm giới hạn sau giải thích ý nghĩa b) lim g  d  d   Hình TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 17 BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC Từ khố: Hàm só liên tục điểm; Hàm số liên tục khoảng; Hàm só liên tục đoạn; Tính liên tục tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục; Tính liên tục só hàm số sơ cấp Hai đố thị̛j hai hình cho biết phígưi xe y tơ (tính theo 10 nghin đống) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) hai bāi xe Có nhận xét vể thay đới só tiến phi phải trả theo thời gian gữi mổi bäi xe? Hàm số liên tục điểm  x 1 1  y  f  x  1  x khi1  x 2 5  x  x 3  Cho hàm số có đồ thị Hình lim f  x  Tại điểm x0 1 x0 2 , có tồn giới hạn x  x0 khơng? Nếu có, giới hạn có f  x0  khơng? y  f  x Cho hàm số xác định khoảng K x0  K lim f  x   f  x0  y  f  x Hàm số gọi liên tục điểm x0 x  x0 y  f  x Nhận xét: Để hàm số liên tục x0 phải có ba điều sau: lim f  x  lim f  x   f  x0  1) Hàm số xác định x0 ; 2) Tồn x  x0 ; 3) x  x0 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 18 f  x khơng liên tục điểm x0 ta nói gián đoạn điểm x0 x0 gọi điểm gián đọn hàm số f  x  ̣ Ví dụ Xét tính liên tục hàm số: Chú ý: Khi hàm số y  f  x f  x  x  x  a) điểm x0 2 ; Giải a) Ta có f   3 y  f  x  x2  f  x   2 x b)   x  x 0 điê̂m x0 0 lim f  x  lim x  x  2  2.2  3 x x , suy lim f  x   f   x Vậy hàm số liên tục điểm x0 2 f   2.0 0 b) Ta có: ; lim f  x   lim  x  2 lim x 2.0 0; x x x   lim f  x   lim x  0  2 x  0 x lim f  x  Suy không tồn x y  f  x Vậy hàm số không liên tục điềm x0 0 ? Xét tính liên tục hàm số: a) f  x  1  x điềm x0 3 ;  x2 1 f  x    x b) x  x 1 điểm x0 1 Hàm số liên tục khoảng, đọan  x  khi1  x 2 y  f  x   x 1  k Cho hảm số x   1;  a) Xét tính liên tục hàm số điểm lim f  x  f  2 b) Tìm x  2 so sánh giá trị với lim f  x  k c) Với giá trị k x  1 ? y  f  x  a; b   Cho hàm số xác định khoảng y  f  x  a; b  f  x  liên tục điểm Hàm số gọi liên tục khoảng khoảng TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 19 y  f  x a; b   Cho hàm số xác định đoạn  f  x a; b  f  x  a; b  Hàm số gọi liên tục đọn  liên tục khoăng lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  x a x b Nhận xét: Đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [a; b] đường liền, có điểm đầu, điểm cuối (Hình 3) Nếu hai điểm nằm hai phía so với trục hồnh đường liền nói ln cắt trục hồnh điểm Điều phát biểu sau: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [a; b] f (a) f (b)  ln tồn điểm c  (a; b) cho f (c) 0 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f ( x )   x đoạn [ 1;1] Lời giải Với x0  ( 1;1) , ta có: lim f ( x)  lim  x   lim x   x02  f  x0  x  x0 x  x0 x  x0 Do f ( x) liên tục điểm x0  ( 1;1) Ta lại có: lim f ( x)  lim  x   lim x   0  f ( 1), x  x  x lim f ( x) lim  x   lim x   0  f (1) x  1 x x Vậy hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [ 1;1] (Hình ) Xét tính liên tục hàm số y  x    x [1; 2] TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 20