Bài 3 2 giới hạn hàm số cd vở bài tập

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa  a; b  ,    ; b  ,  a;   ,    ;   Ta viết khoảng K thay cho khoảng Tổng quát ta có: f  x K \  x0  f  x Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số xác định K Hàm số có x  K \  xo  f  xn   L x  giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số n bất kì, n xn  x0 Kí hiệu: lim x  x0 f  x  L Nhận xét: hay lim x  x0 ; lim c c x  x0 x  x0 f  x  L x  x0 , với c số Chú ý: f  x Hàm số x0 không xác định x  x0 tồn giới hạn hàm số x dần tới Phép toán giới hạn hữu hạn hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim f  x  L x  xo lim g  x  M  L, M  R  x  xo lim  f  x   g  x   L  M x  xo x  xo b) Nếu lim f  x  L x  xo lim  f  x   g  x   L  M ; lim  f  x  g  x   L.M f  x  0 x  xo f  x L  ( M x  xo g  x  lim L 0 lim x  xo M 0) f  x  L Giới hạn phía -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau:  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  a; x0  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên trái hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, a  xn  x0 xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  x0  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  x0 ; b  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên phải hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, x0  xn  b xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  xo Định lí sau cho ta mối liên hệ "giới hạn hai phía" giới hạn bên phải lim f  x  x  xo lim f  x  x  xo lim f  x  với giới hạn bên trái x  x o lim f  x  L x  x0 lim f  x   lim f  x  L x  x0 x  x0 II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: y  f  x a) Cho hàm số xác định khoảng  a;   y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn số L x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L hay x   f  x  L x   b) Cho hàm số y  f  x xác định khoảng   ; a  Ta nói hàm số y  f  x x  có giới hạn số L x    với dãy số n bất kì, xn  a xn    , ta có f  xn   L Kí hiệu: Chú ý lim f  x  L hay x   f  x  L x    Với c, k số k ngun dương, ta ln có: lim c c; lim c c; lim x   x   x   c c 0; lim k 0 k x    x x Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số x  x0 x   x    III GIỚI HẠN VƠ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x Ta nói hàm số có y  f  x f  xn    Kí hiệu xác định khoảng  x  có giới hạn  x  a với dãy số n bất kì, xn  a xn  a , ta lim f  x   x a Các trường hợp  a;   hay f  x     x  a lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    x a x a x a Chú ý: Ta có hai giới hạn sau: lim x a 1  ; lim   x  a x a x a IV GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: định nghĩa tương tự Cho hàm số y  f  x y  f  x Ta nói hàm số , ta có f  xn    Kí hiệu: xác định khoảng  a;   x  có giới hạn  x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   lim f  x   x   f  x    hay x   lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    Các trường hợp x   x   x   định nghĩa tương tự Chú ý: Ta có ba giới hạn sau: lim x k  với k số nguyên dương x   lim x k  với k số nguyên dương chẵn x   lim x k   x   với k số nguyên dương lẻ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn Phương pháp f x Nếu hàm số   xác định Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính K  x0 lim f  x  f  x  x x0 lim x  x  x     Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Tính lim 3x  2x x  5x  3x6   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Tính lim 4x3  2x  x   Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 4: Tính x  3 x 1 x2    Lời giảiLời Lời giảigiải x  4x  lim 7x  9x  x  Ví dụ 5: Tính  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Giới hạn vô cực Phương pháp Giới hạn hữu hạn vô cực f ( x ) L   a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số x , x n n a xn   ta có lim f ( x ) L lim f ( x ) L LƯU Ý: Định nghĩa x   phát biểu hoàn toàn tương tự Giới hạn vô cực vô cực f ( x )    a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số x , x n n a xn   LƯU Ý: Các định nghĩa: tự ta có lim f ( x )  lim f ( x ) , lim f ( x )  , lim f ( x )   x   x   x   phát biểu hoàn toàn tương Một số giới hạn đặc biệt c 0 x   x k ( c số, k nguyên dương ) lim lim x k  x   lim x k   với k nguyên dương; x   k số nguyên lẻ; lim x k  x   k số nguyên chẵn Nhận xét: lim f ( x )   lim   f ( x )   x   x   Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim   x  x  x    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Tính   lim x  x  x    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   x2  2x  Tính lim f  x  x    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 4: lim x    x2  x  x2 1   Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng giới hạn bên Phương pháp Ta cần nắm tính chất sau lim f(x) L    x n  ,x  x n  b, lim x n x  lim f(x n ) L n   x x n   lim f(x) L    x n  ,a  x n  x , lim x n x  lim f(x n ) L n   x  x 0 n   lim f(x)  lim f(x) L  lim f(x) L x  x 0 x x0 x x Các ví dụ rèn luyện kĩ lim x  Ví dụ 1: Tính x 2x   Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 2: Tính x 1  x3 3x  x  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 3: Tính x   2 x3  2x  x2  2x  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 4: Tính x  0 2x  x 5x  x  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 5: Tính x    1 x2  4x   x3  x  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 6: Cho hàm số  x2  với x   f  x    x   2x  với x 1 Khi lim f  x  x  1 bao nhiêu?  Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Dạng vô định Phương pháp lim u(x) lim u(x)  lim u(x) 0 x x0 x x  Nhận dạng vô định : x x0 v(x)  Phân tích tử mẫu thành nhân tử giản ước (x  x )A(x) u(x) A(x) A(x)  lim  lim tính lim x  xo v(x) x  xo (x  x )B(x) x x o B(x) x  xo B(x) lim Nếu phương trình f  x  0 có nghiệm x0 f  x   x  x  g  x  Đặc biệt: f(x) ax  bx  c,mà f(x) 0 có hai nghiệm phâ n biệt x1 ,x f(x) phân tích thànhf(x) a  x - x1   x - x2   Nếu tam thức bậc hai  Phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0 (a 0) a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1 1, để phân tích  thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ đồ Hooc-ner a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1  1, để phân tích   thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ đồ Hooc-ner u x v x Nếu     có chứa dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hiệp, sau phân tích chúng thành tích để giản ước A B lượng liên hiệp là: A  B A B A lượng liên hiệp là: A  B B lượng liên hiệp là: A B A B A  B lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    Các ví dụ rèn luyện kĩ x  3x  Ví dụ 1: Tính x x  lim  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Tính L lim 2x  3x  x 1  x2  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Tính lim x  3x  x x3   Lời giảiLời Lời giảigiải t  a4 Ví dụ 4: Tính t  a t  a lim  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 5: Tính y4  y y3 1  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 6: Tính x  x2 x7   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 7: Tính 1 x  x lim x  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 8: Tính x  6x  x x  Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 9: Tính x x2   2x  4  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 10: Tính lim x  12  x2  x   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 11: Tính lim x x1 x 1  Lời giảiLời Lời giảigiải ¥ Dạng Dạng vơ định ¥ Phương pháp   Nhận biết dạng vô định  u(x) lim u(x) , lim v(x)  x  x v(x) x x0 x x0 u(x) lim lim u(x) , lim v(x)  x   v(x) x x x  x0 lim n  Chia tử mẫu cho x với n số mũ cao biến mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân n tử x giản ước)  Nếu u(x) v(x) có chứa biến x dấu đưa xk dấu (Với k mũ cao biến x dấu căn), sau chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x (thường bậc cao mẫu)  Cách tính giới hạn dạng hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim 2x  x3  2x2  x  2x x    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 2: Tính lim 3x  2x x   5x  3x   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 3: Tính lim 3x  2x5 x   5x  3x   Lời giảiLời Lời giảigiải lim Ví dụ 4: Tính x   3x  4x  9x  5x   Lời giảiLời Lời giảigiải x  2x  3x L  lim x   Ví dụ 5: Tính 4x   x   Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 6: Tính 4x2   x  2x  lim x    Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 7: Tính lim  x  5 x   x x 1  Lời giảiLời Lời giảigiải Ví dụ 8: Tính   x  1 lim   2x  94 2x100  x    Lời giảiLời Lời giảigiải Dạng Dạng vô định ¥ - ¥ , 0.¥ Phương pháp  Nếu biểu thức chứa biến số dấu nhân chia với biểu thức liên hợp  Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức quy đồng mẫu đưa biểu thức  Thông thường, phép biến đổi cho ta khử dạng vô định   ;0. chuyển  ; dạng vơ định  Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim x    x 1  x   Lời giảiLời Lời giảigiải 10 D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Giá trị giới hạn A 37 Lời giải: lim( 3x2 + 7x +11) x® B 38 là: C 39 D 40 Câu Giá trị giới hạn A Lời giải: lim x2 - x® B là: C D Câu Giá trị giới hạn A sin Lời giải: lim x2 sin x® là: C - ¥ B +¥ D x2 - 3 Câu Giá trị giới hạn x®- x + là: lim A Lời giải: B - C D - lim Câu Giá trị giới hạn A Lời giải: x®1 x - x3 ( 2x - 1) ( x4 - 3) B - là: C D - Câu Giá trị giới hạn lim x®- x- x + x- là: 14 A - Lời giải: B C D - Câu Giá trị giới hạn A - Lời giải: B lim x®- 3x2 +1- x x- là: C - D lim x® Câu Giá trị giới hạn A Lời giải: 9x2 - x ( 2x - 1) ( x4 - 3) B C là: D Câu Giá trị giới hạn A Lời giải: B lim x® x2 - x +1 x2 + 2x là: C D Câu 10 Giá trị giới hạn A - Lời giải: B - lim x® 3x2 - - 3x - x +1 là: D +¥ C 15 Câu 11 Giá trị giới hạn A Lời giải: lim  x  x3 1 x   B - ¥ là: D +¥ C Câu 12 Giá trị giới hạn A Lời giải:  lim x  x  x x   B +¥  là: C D - ¥ Câu 13 Giá trị giới hạn A Lời giải: lim x    x 1  x B +¥  là: C - D - ¥ Câu 14 Giá trị giới hạn A +1 Lời giải: B +¥ lim x    3x3   x   là: C - D - ¥ 16 Câu 15 Giá trị giới hạn lim x x   B - ¥ A Lời giải:  4x2  x  x  là: D +¥ C x3 - Câu 16 Giá trị giới hạn x®2 x - là: lim A Lời giải: B +¥ C D Khơng xác định Câu 17 Giá trị giới hạn A - Lời giải: B lim x®- x5 +1 x3 +1 là: C - D lim Câu 18 Biết x ®A Lời giải: x3 +6 = a + b 2 3- x2 Tính a + b B 25 C D 13 17 - x2 - x + x®- x2 + 3x lim Câu 19 Giá trị giới hạn A B Lời giải: là: C D lim Câu 20 Giá trị giới hạn A x®3- B Lời giải: 3- x 27- x3 là: C D Câu 21 Giá trị giới hạn 21 A - 2p Lời giải: lim ( x2 + p21) 1x x® 21 B - 2p 2x - p21 là: 21 C - 1- 2p21 D 2p Câu 22 Giá trị giới hạn A Li gii: B - Ơ lim+ xđ x2 + x x2 x là: D +¥ C 18 lim Câu 23 Giá trị giới hạn A - Lời giải: x®1 x- 4x + - là: B D +¥ C 1+ x x® x Câu 24 Giá trị giới hạn lim A Lời giải: B 13 12 8- x là: 11 12 C D - 13 12 Câu 25 Biết A 1< a < Lời giải: b> 0, a + b = lim x® ax +1- 1- bx =2 x Khẳng định sai? 2 C a + b > 10 B b> D a- b < Câu 26 Kết gii hn A - Li gii: lim xđ- Ơ B +¥ 2x2 + 5x - x2 + 6x + là: C D Câu 27 Kết gii hn lim xđ- Ơ 2x3 + 5x2 - x2 + 6x + là: 19 Lời giải: C - ¥ B +¥ A - D Câu 28 Kt qu ca gii hn xđ- Ơ B +Ơ A - Lời giải: lim 2x3 - 7x2 +11 3x6 + 2x5 - là: D - ¥ C lim Câu 29 Kết giới hạn B +¥ A - Li gii: xđ- Ơ 2x - x2 +1- x là: C D - ( 2- a) x - Câu 30 Biết x2 +1- x có giới hạn +Ơ x đ +Ơ (vi a l tham s) Tính giá trị nhỏ P = a - 2a + A Pmin = Lời giải: B Pmin = C Pmin = D Pmin = 20