Chủ đề 2 GIỚI hạn hàm số

CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN HÀM SỐ Dạng Khử dạng vơ định 0/0 Ví dụ Tìm giới hạn sau x2  2x x  2 x  x  a) lim x  3x  x2 b) lim c) lim x3  3x  x4  4x  d) lim x 2 x 1 x 1 x3  x  x   x  3x  Lời giải: a) lim x 2  x  1 x   x  3x   lim  lim  x  1  x 2 x 2 x2 x2 x  x  2 x  x  2 x2  x x b) lim  lim  lim  lim  1 x 2 2 x  x  x 2 2 x  x  x 2 2  x  1 x   x 2 2  x  1    x  1  x   x3  3x   x2   lim  lim  c) lim   2 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x     x  1  x  x  3  x  1  x  1  x  1 x  1 x3  x  x  d) lim  lim  lim 0 x 1  x  x  x 1   x  1 x   x 1 x2 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số sau: a) lim x 3 c) lim x 1 x  x  72 x2  x  x3  x  3x  x4  8x2  d) lim x4  a4 xa x 3 x  5x2  x6 1  x  b) lim x a Lời giải:  x  3  x3  3x  x  24  x  x  72 x  3x  x  24 51  lim  lim  a) lim x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  2x   lim  lim 0 b) lim x 3 x 3 x4  8x2   x    x  x  x   x 3 x  x  x  c) lim x 1 x  5x2  x6 1  x   x  1  x5  x  x3  x  x  x5  x  x3  x  x  lim  lim  x 1 x 1  x  1 1  x   x  a   x3  ax  a x  a3  x4  a4 d) lim  lim  lim  x3  ax  a x  a3   4a3 x a x  a x a x a xa Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 4 x  16 x  x  20  x2 x 2 x  b) lim Trang x  3x  x 2 x  x  c) lim Lời giải: a) lim x 4  x   x   x  16 x4  lim  lim  x  x  20 x4  x   x  5 x4 x    x   x   x2 2 x  lim  lim  x 2 x  x 2 x 2 x  x   x  2  x  2x  4 b) lim  x  1 x   x  3x  x 1  lim  lim  x 2 x  x  x 2  x   x  3 x 2 x  c) lim Ví dụ Tính giới hạn sau x  x  30 x 5 x  x  x2  5x  x2  x a) lim b) lim 2 x  3x  x 1  x  x  c) lim Lời giải:  x  5 x    lim x   x  x  30  lim x 5 x  x  x 5  x   x  1 x 5 x  a) lim b) lim1 x  x  1 x   x2  5x  x2  lim  lim  1 4x  x   x  1 x  1 x x  2  x  1 x  1 x  3x  x  1 c) lim  lim  lim  x 1  x  x  x 1  x  1  x  x 1  x Ví dụ Tính giới hạn sau x3  3x  a) lim x 1 x  x  x  x3  x  x  b) lim  x 1 x  3x  x  x  27 x 3 x  x  x  c) lim Lời giải:  x  1  x   x3  3x  x2  lim  lim  a) lim 2 x 1 x  x  x  x 1  x  1  x  1 x1 x  2  x  1  x  x   x3  x  x  x2  2x   lim  lim  b) lim  x 1 x 1 x 1 x4 x  3x   x  1 x   x  3 x   x  3  x  3   x  x  27 36  lim  lim  c) lim 2 x 3 x  x  x  x 3 x 3 x 1  x  1  x  3 Ví dụ Tính giới hạn sau Trang a) lim x3  3x  x4  4x  c) lim x  x  72 x2  x  x 1 x 3 x  x  18 x 2 x3  b) lim Lời giải:  x  1  x   x3  3x  x2  lim  lim   a) lim 2 x 1 x  x  x 1 x 1 x  x   x  1  x  x  3  x   x   x  x  18 4x  17  lim  lim  x2 x2 x 8  x    x  x   x2 x  x  12 b) lim x    x  3 x  3 x    x  3 51   x  x  72  lim  lim  c) lim x 3 x  x  x 3 x 3 x 1  x  1 x  3 Ví dụ Tính giới hạn sau x5  a) lim x 1 x  c) lim x 3 x5  b) lim x 1 x  x3  x  3x  x4  8x2  Lời giải:  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x  x3  x  x   lim  lim  a) lim x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1  x  1  x  x3  x  x  1 x5  x  x3  x  x   lim  lim  b) lim x 1 x  x 1 x 1 x2  x   x  1  x  x  1  x  3  x  x  3 x3  x  3x  x2  x   lim  lim 0 c) lim x 3 x 3 x4  8x2   x  1  x  3 x  3 x3  x  1  x  3 Ví dụ Tính giới hạn sau   a) lim    x 1 x  x 1    b) lim    x 1  x  x3     c) lim    x 2 x  x 4  Lời giải:    x  1     1 x   1  a) lim    lim   lim   lim       x 1 x  x   x1  x   x1  x   x1  x      b) lim  x 1  x  x3   1  x  x      x  1 x      x2       lim   lim  lim  x 1 2 x 1  x  x   1  x  1  x  x   x 1  1  x  1  x  x       1  Trang  x24   1  c) lim    lim   lim    x 2 x  x   x2   x   x    x2 x   Ví dụ Tìm giới hạn hàm số sau a) lim x3 2 49  x c) lim 2x   x  x2  x 7 x 1 2 x2 x  3x  b) lim x 2 Lời giải: x3 2  lim x 7 49  x a) lim x 7   x3 2   x3 2   lim x     x   x     x 7 7  x    x3 2   56 b) lim 2 x2 2 x2 2 x2 1  lim  lim  x 2 x  x  x 2  x  1 x    x   x  1  x  c) lim 2x   2x   2x    lim  lim  x 1 x  x  x 1  x  1  x  x  3 x    x  3x  3 x   15 x 2 x 1          Ví dụ 10 Tìm giới hạn hàm số sau  x2  x 1  x  x  a) lim c) lim x 2 4x   x2  b) lim x 2 x x2 x3      Lời giải:   3x   x   x2  x 1 a) lim  lim  lim  x 1  x  x  x 1   x   x  1 x   x 1  x   x    x 2 x 2       x   3  x  x   x  x    lim x2 x 1  lim  8  x  2  x  2x  4  x  x    x  x    x  x   16 4x   4x   4x    lim  lim x 2 x2   x   x   x   x2  x   b) lim c) lim   x x3 x 2 x 2 2 Ví dụ 11 Tìm giới hạn hàm số sau x 1 x 1 x  x  3 a) lim c) lim x 2 x  12  x x2  x 1 1 x x 0 x  x b) lim x 1 x  x2  d) lim x 1 Lời giải: Trang    x  x  x  x 1 a) lim  lim  lim x 1 x  x  x 1 3  x  1 x  3 x  x  x1  x  3 1    1 x 1 1 x   1  x  1 1 x  lim x 0 x  x x 0 x  x     x  1  x  b) lim c) lim x 2 x  12  x  lim x 2 x2  x    x  x  2 x 2    x  1  x  1  4 x 1 d) lim  lim x 1 x  x  x 1  x  1  x  x    lim x 1  lim   x  1  x  1  x  x    x  1  x 1  x 1 x 2 x 1   x  x  12  (2 x  12)  x x  12  x x   3 1  x 1  x 1  lim   x  x   x     x  1  x  (2 x  12)  x x  12  x (2 x  12)  x x  12  x x 0 x  x  2    lim  x  12  x    x  12   x x  12  x   x    x  x  12   lim   x 1 x  x  2    x 1 x 1  12 Ví dụ 12 Tính giới hạn sau a) lim 2x   x  x3  x  c) lim x   x3  3x x 1 x 1 x 1 b) lim x 1 x3  3x  x2  Lời giải: 2x    x  4 2x   x   lim a) Ta có lim 3 x 1 x 1 x  4x   x  x  x  3 x   x    lim x 1  lim x 1 x x b) lim  x  10 x    x  1   2x   x  9 x   x  1   2x   x       x  1  x   x  1  x    x  1   x   x   1  1  3.2     15 x   x3  3x x6  3x  x6   3x   lim  lim x 1 x2 1  x  1 x3  3x  x1  x  1 x  1 x3  3x    x  1 x  1   x  1  lim  x  1   x  1 x  x  1  3  lim  x  1 x  1  x  3x    x  1 x  1  x  3x   x 1  x 1  3 x 1  Trang x  lim  1 x  x  1  3  x  1  x3  x 1 3x    1  11   1  2.3  3   2.2 1  11  1 x    x3  3x  x   x3  3x x2   x6  x4  x2 c) lim  lim  lim x 1 x 1 x 1  x  1 x   x3  3x x1  x  1 x   x3  3x    lim x 1  lim x 1  x6  x4  8x2   x  1  x x   x3  3x  1  x  x  3  x  1  x   x3  3x   Ví dụ 13 Cho hàm số f  x    lim   x  x  x  x   3x  x  1  x 1  lim  x   x3  3x   x  1   x  x  3 1  1 1   3 x 1  x   x3  3x   1   mx   mx Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f  x  có 5x giới hạn x dần tới Lời giải: Ta có 1  mx   1  mx    Suy  mx   mx   mx   mx mx  mx 2 Khi f  x     mx   mx m 1  x   mx   mx Vậy giới hạn lim f  x   g    x 0    mx   mx mx 1  x    g  x    mx   mx  m 1  x   mx   mx   g  0  m 10 m   m  10 10 Dạng Khử dạng vô định ∞/∞, 0.∞ ∞ - ∞ Ví dụ Tính giới hạn sau 2x 1 x  x  a) lim x2  x   x  x b) lim x x 1 x  x  x  c) lim Lời giải: 2 2x 1 x  20  a) lim  lim x  x  x  1 1 x Trang 1 x2  1 x b) lim  lim   x   x  x x     3.0  x x 1  x x 1 00 x c) lim  lim x  0 x  x  x  x  1 1  1  x x Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x  x  x  1 3x3  x  x  x  x  b) lim  x  1  x  x  3x3  x  x  2 x  x  c) lim Lời giải:  3.0 x2 a) lim  lim   x  x       1  2.0   x  1  x  x    1   x  x  3x  x  1 6   3x  x  x  3.0  2.0   b) lim  lim x x x  x  x  x   3.0  2.0 4  x x 2  3x  x  x x   2.0  2.0   c) lim  lim x  2 x  x  x  2  2.0  2   x x 3 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x  x  3x  x 3x  b) lim x  x  x   3x  4x2    x x x3 x  x  c) lim Lời giải: a) Đặt x  t Với x    t   x  3x  x t  3t  2t  lim   lim t  t  3x  3t  Khi lim x  2  3.0  t   3  3  t 1 Trang x  x   3x  b) lim x   3 x x x 4 1   1 x x 1  lim x  4x2    x Đặt x  t Với x    t   Khi 1    x  x   3x  t  t   3t  t t t  lim  lim  2 t  t  1 4x    x 4t    t   1 t t lim x   x x3  3.0 x x2 c) lim  lim  0 x  x  x  1 1 x Ví dụ Tính giới hạn sau x2  x    x a) lim x  x  x2  2x   4x  x  x  3x  x c) lim b) lim x2    x x3  x  x 2x  Lời giải: 4x2  2x    x a) lim x  4  lim x  x  3x  x 2   1 x x2 x  9 2 x Đặt x  t Với x    t   Khi 4x  2x    x lim x  x  3x  x b) lim  lim x  2x   4x 1 x2    x x  4t  2t    t t  9t  3t  2t 4  lim t  2   1 t t2 t 3 9 2 t  4 x x x 5   1 x x 1  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi lim x  x2  2x   4x  4x2    x  lim t  t  2t   4t  4t    t  4 t t t  1   1 t t 1  lim t  Trang c) lim x  x3  x  x  lim x  2x  1  2.0  x  1 2  2.0 2 x 1 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x  x   x x3  x  x 2 x  3x  x  x  x  b) lim 3x  x x  Lời giải: a) Đặt x  t Với x    t   Khi L  lim  t  2t   t t  2t  t 2 3t  2t x   lim t  2t   t t  2t  t 2 3t  2t t  2  2 1      t t   lim  t  3 t 3 1  2.0    2.0   2.0 1  2 x  3x  x x   3.0   b) lim  lim x  x  x  x    5.0 3  x x 2 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x x  c) lim x   x  x 1  x 1  x   x  1 x5  x  x  x3  b) lim x2  2x  Lời giải:  1          x x  x 1 x 1 x x x  x  1   1     lim  1 a) lim x  x   2.0 1       x   x  1  1   1   x  x    x5  x   lim x b) lim x  x  x 1 lim x  ; lim x  x   1  x  lim x x x x  x 1 1 x x3   2  1  5 x x   2.0     lim x x x    lim x  x    x  x  1 1 x3  1 1 x x 1 Trang x2  c) lim  lim x  x  x  1 x2   2  3.0 2  x 1 Ví dụ Tính giới hạn sau  a) lim x   x  x  x   b) lim x   x  3x   x   Lời giải:   a) Ta có lim x   x  x    x    lim x   x  x   lim x  b) lim x   x  2x   4x2  4x  0   2 x  3x   x   lim x         x  x x x  Ví dụ Tính giới hạn sau  a) lim 3x   x  12 x  x   b) lim x   x  3x   x   Lời giải:   a) Ta có lim 3x   x  12 x    x    lim 3x   x  12 x   lim x  b) lim x    x  3x   x  12 x  x2 x  3x   x   lim x  3x   x  x  0  lim x  1 x    1  x x  1   1 Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x    x  3x   x  b) lim x   x  3x   x   Lời giải: a) Ta có lim x  lim x     x  3x   x    ;  x  x  3x   x   lim b) Ta có lim x   x  x  3x   x  1   lim x   1 x  1 x x    3 x  3x   x   lim   x          x  x x x  Trang 10   x2 Câu 61 Biết lim x 0 a  x  16  , a số nguyên, b số nguyên tố Giá trị biểu thức b a  2b A B C 13 Câu 62 Cho hàm số f  x  thỏa mãn lim x 2 A  24 B  Câu 63 Giá trị lim x 1 B x 2 C 2019 2018 f  x   x2  24 D C 2019 D 2018 1  x 1  x 1  3x  1  2018 x   x 0 x A 2018.2019 Câu 65 Biết lim x2  , tìm I  lim x 2018  x2017   x  2018 x 2018  A 2018 Câu 64 Tính lim f  x 1 D 14 x  B 2019   a  x    x  x 1 A C 2018 D 1009.2019 với a tham số Giá trị nhỏ P  a  2a  B C D a x   2017  Khi giá trị a x  x  2018 Câu 66 Cho số thực a thỏa mãn lim A a  2 B a   Câu 67 Giá trị m để lim x  A m   3; 0 Câu 68 Biết lim x 0 2 C a  D a   x2  x    thuộc tập hợp nào? mx  2 B m   6;  3 C m  1; 3 D m  3; 6 a 3x   a tối giản Tính giá  , a, b hai số nguyên dương phân số b x b trị biểu thức P  a  b A P  13 B P  C P  D P  40  x4 2 , x0  x Câu 69 Cho hàm số f  x    m tham số Tìm giá trị tham số m để hàm số có  mx  m  , x   giới hạn x  A m  B m  C m  21 D m   Trang 25  x2   Câu 70 Cho hàm số f  x     x  2x   A +∞ voi x  x 1 voi x  B -1 C  x2 3  Câu 71 Cho hàm số f  x    ax  A a  Khi lim f  x  voi x  voi x  B a  D Tìm a để tồn lim f  x  x2 C a   x2  2x   Câu 72 Cho hàm số f  x   1 3  x  D a  voi x  voi x  Khẳng định sai? voi x  A lim f  x   B Không tồn lim f  x  C lim f  x   D lim f  x   15 x 3 x 3 x 3 Câu 73 Biết x 3 2  a x  x2   x có giới hạn +∞ x   với a tham số Tính giá trị nhỏ cuả biểu thức P  a  2a  A Pmin  B Pmin  Câu 74 Biết L  lim C Pmin  4 x2  x    x x  ax  3x  bx D Pmin   hữu hạn, với a, b tham số Khẳng định đúng? A a  B L   ab C L  b a D b  b  a   a  b Câu 75 Biết a  b  lim  hữu hạn Tính L  lim      3 x 1  x x 1  x 1 x  1 x    A B Câu 76 Giá trị giới hạn lim   x3  1 x  1 A B +∞ C -1 D -2 C D -∞ x x 1 ax  bx  Câu 77 Cho a, b số nguyên lim  Tính a  b  a  b x 1 x 1 A 18 B C 15 D   Câu 78 Cho a, b hai số dương thỏa mãn giới hạn I  lim ax  bx  x  2018 hữu hạn Tính I x  A a b B a  b C a D ab Trang 26 Câu 79 Biết b  0, a  b  lim x 0 A a  b  10 B a  b  ax    bx  Khẳng định sai? x C  a  D a  b  Câu 80 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m bất phương trình  2m  m  3 x  x   m  1 x    m  x2  2x   với x thuộc tập xác định bất phương trình Số phần tử S A 13 B 19 C D Trang 27 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP THÊM 1-B 2-B 3-C 4-A 5-A 6-B 7-D 8-C 9-D 10-C 11-C 12-B 13-A 14-C 15-B 16-A 17-A 18-D 19-C 20-A 21-B 22-C 23-A 24-B 25-B 26-B 27-D 28-C 29-C 30-B 31-C 32-A 33-B 34-C 35-D 36-C 37-D 38-C 39-C 40-A 41-A 42-D 43-D 44-C 45-B 46-D 47-D 48-A 49-C 50-C 51-C 52-D 53-A 54-B 55-D 56-C 57-D 58-D 59-D 60-A 61-D 62-C 63-C 64-D 65-A 66-A 67-B 68-A 69-B 70-A 71-B 72-C 73-B 74-A 75-A 76-C 77-A 78-C 79-D 80-C  lim ax Câu 1: lim   x3  x     Chọn B x  Câu 2: lim x  ax  lim x     x  Câu 3: lim x x  a  3x x x 0 x  x  x  ax  3x a  lim  9 a 3 x   x 2017  x 2019  x  lim   x   x 2019 x 2019  1 x 1  lim x 0 x Câu 4: lim x  ax  x x  ax  3x  lim  x  x  ax  3x a  2  a  12 Chọn B      lim    2017  1 Chọn C  x x      1  lim      Chọn A x 0  x  x  1 x 1 1 x 1  x2  4  x2  4  x  2  x2  4  x  16  lim  lim  2 Chọn A Câu 5: lim x2  x3 x2   x    x  x  x2  x  x  Câu 6: lim   x3  x     Chọn B x  Câu 7: Theo ra, ta có x  nghiệm phương trình: x  bx  c   3b  c  9 Do lim x 3  x  3  x   b  x  bx  c x  bx  3b   lim  lim b6 x 3 x 3 x3 x3 x3 Suy b    b   c  9  3.2  15 Vậy b  c  13 Chọn D Câu 8: lim x 1 Câu 9: lim x 1 1 x x  2x   lim x 1  lim x 1 x 1 x 1   x  1  x  1 x 1  x 1  lim x 1  x 1  x  1  lim x 1 x 1   Chọn C  Chọn D Trang 28  x    x  1 x2  x  x 1 Câu 10: lim  lim  lim  Chọn C x 2 x  x  x2 x 4  x  2  x  2 x 1  lim x  x2 Câu 11: lim x  Câu 12: lim x 2 x2  x  x2  1 Chọn C 1 x  1  lim x2 x   x    x  1 x  3x  x 1  lim  lim  Chọn B x 2 x 2 2x   x   2 Câu 13: lim  x3  x    Chọn A x  Câu 14: lim x 5  x  5  x   x  12 x  35  lim  lim  x    2 Chọn C x 5 x 5 x5 x5 Câu 15: lim  x 1 x2   Chọn B x 1 Câu 16: lim x 1   Chọn A x 1 Câu 17: lim  x 1 x   lim x  8x   x    x x x x   lim x  x  x  8x   x 8 x  4  2 x x x  x  4x   lim x  2x  Câu 18: lim  x2  8x   x2 x  x   x  lim  x   x  1   lim x   2 8x  x  8x   x  2 Chọn A 1 1  x   1   x x x x  lim  Chọn D x  2x  2 x  5x   x  3x x  4x   x   5x   lim  lim Câu 19: lim   x 3 x 3 x 3 x  x  x2  4x  x  4x  x   5x    x  4x  x   5x   x  x  3  x x  4x   x  4x   = lim   lim    x 3  x  1  x  3 x   x   x3  x  x   x    Vậy a  9; b   a  b  2.9   10 Chọn C Câu 20: Ta có lim f  x   lim  x  ax  1  2a  x 2 x 2 Lại có lim f  x   lim  x  x  1  2.22    x 2 x 2 Theo ra, ta có 2a    a  Chọn A Trang 29 Câu 21: lim x  21 2 x    Chọn B x 1 x  Câu 22: lim  lim x  x  x  x  1  1 Chọn C 1 x 1  3 3x  x    Chọn A Câu 23: lim  lim x   x x  2 2 x  x  1  x   x  3x  x 1 Câu 24: lim  lim  lim  x 2 x  x  x2 x 4  x  2  x  2 Vậy a  1; b   a  b  12   17 Chọn B  x  1  x  1 x  3x  1  2x  lim  lim   Chọn B x 1 x 1   x  1  x  1 x 1 x  1 x Câu 25: lim ax   bx  Câu 26: lim  x  1  x   x 1  a  b  x  4b.x  x 1  x  1  x    ax   bx    lim Để tồn giới hạn → nhân tử  x  1 bị triệt tiêu  a  b 4b 3   2 9 45  3 Chọn B  b   a  b         Vậy a  b    16 16  2  x  1  x   x  3x  Câu 27: lim  lim  lim  x      1 Chọn D x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Câu 28: lim x   x  3 x  lim  x    x  2 x x x  x 3 x   5x  x  4x  x  4x  x  x 3  lim x   1  x  1 Câu 29: lim x2  x  x2  x x  x  x  x  lim  lim x 3  1 2 x x   lim x  3x x  4x  x2  x 3  Chọn C 1   5x   x  3x x  4x   x   5x   lim   x 3 x  x  x2  4x  x   5x    x  4x   x  x  3  x x  4x   x  4x   = lim   lim    x 3  x  1  x  3 x   x   x3  x  x   x    Vậy a  9; b   a  b    Chọn C Trang 30 x 2018 x  Câu 30: lim  x  1 x  2019 x 2019   lim  x  1 x  Câu 31: Vì lim  3 x    2 nên lim x 2 Câu 32: lim x 1 x 2 x 3  lim x  x3 Câu 33: lim x  x 1 2019 4  lim x  x2 1  2   x  2019  2019  2018 Chọn B 3x    Chọn C x2 x  x  12  2.1    Chọn A x 1 11 Câu 34: lim x2 x2  x  x3 x2  1 CHọn B 1 x  1  lim x  x 1 x 1 1  lim  lim  Chọn C x  x  x 1 x 1  x  1  x  1  x  1 x  1  lim x   2 Chọn D x2 1 Câu 35: lim  lim   x 1 x  x 1 x 1 x 1 x  3x   lim x   3x 2 Câu 36: lim x  Câu 37: lim x 2  x x  1 Chọn C 3 x 1  x  1 x   x2  x  x 1  lim  lim  Chọn D x 2  x   x   x 2 x  x 4 3 2 x x  lim  lim   1 Chọn C x  2 x   x x x2    1  1 x x2 2 2x  Câu 38: lim x  Câu 39: Chọn C Câu 40: lim x    x   x  lim Câu 41: lim f  x   lim x  x  Và lim f  x   lim x  x  x  x 1  x  Chọn A x 1 x 1 x 1  lim  lim x  x  1 x 1 x  1 x x 1 x 1 x2   lim x  x 1  x  x  lim x  1 x  1 x  1 Chọn A Câu 42: Ta có lim f  x   lim  0; lim f  x   lim  x3  1  x 1 x 1 x 1 x 1 Trang 31 Suy lim f  x   lim f  x  nên không tồn lim f  x  Chọn D x 1 Câu 43: lim f  x   lim x 2 x 2 x2 1  lim  Chọn D x  x 2 2 4x2  x    lim x  mx  Câu 44: lim x  Do  x 1 x 1 1 1  4  4   x x x x x   lim x  mx  m m x  x    m  4   6;  3 Chọn C m x  x  12  lim x  a x  17 Câu 45: lim x  12 12  4  2 x x x x  lim    a  Chọn B x  17 a.x  17 a a x  x  x 1  x  x 1  2 x5 Câu 46: lim  lim  lim x 3 x 3 x 3 x3 x3 x3 * Xét lim x 3 x 1  1  lim   x  x3 x 1  1  2 x5   lim x 3 x  x3  23 x   * Xét lim Vậy lim x 3  x5   12 x 1  x  1    Chọn D x3 12 Câu 47: Ta có lim  x  1 Mặt khác lim x  3x  3x   , lim    x  1 x 1 x 1    1 2 x  x   x   lim x        lim x   Chọn D x  x x x  x   x  1 x  2 x2  x  x2 3 Chọn A  lim  lim  lim x 1 x  x  x 1  x  1 x   x 1 x  x 1 Câu 48: L  lim Câu 49: lim x 4  x   x  1 x  3x   lim  lim  x  1  Chọn C x 4 x 4 x4 x4 Câu 50: Ta có lim x2   a  2 x  a  x 1  lim x 1 x3  x  x  1   a  1 x  1  x  1  x  x  1  lim x 1 x  x   a  1 x  a   x  1  x  x  1  x  1 x  a  1 x  a  a  lim  Chọn C x 1 x 1 x  x   x  1  x  x  1  lim Trang 32 Câu 51: lim x  Vây lim x    x  bx   x  lim   bx  b x  lim  x  b x  bx   x 1  1 x x b x  bx   x  x  b b    b  Chọn C 2 x  3x    ax  b  Câu 52: lim  x  3x    ax  b    lim x    x x  3x   ax  b   a  x    2ab  x   b = lim x   b2 x 0 b 4  a x x x   a  x 2  lim x  x  3x   ax  b   2ab  4  a  a  a   Khi  3  2ab    a  4b  Chọn D   ab  b        2a Câu 53: lim x     a  1 x  1  b  x  ax  x   x   bx   lim x  ax  x   x  bx  a   a   x   a.b  Chọn A  lim    b x  1 1 b b    a    1   a 1 x x x x  a  1 x   b  Câu 54: lim x   ax  bx  cx   a  c  x  lim x   bx ax  bx  cx  a  c  x  b  2  lim x  a b c x a  c   a  c  2   Khi  b Kết hợp với c  a  18  b  2 a  2c  a c Do 2c  18  c   a  c  (vì c   a ) Vậy b  2 a  2c    2.3  12 nên a  b  5c   12  5.3  12 Chọn B Câu 55: lim x 1 Do lim x 1  f  x   10 x 1   f  x   10   x  1  f  x   x  f  x   10  x 1 f  x     lim x 1  5x   x 1 20 x  29    Chọn D Câu 56: lim f  x   lim  x  1  1; x 2 x 2 Do để tồn lim f  x  lim f  x   lim f  x  x 2 x 2 x 2 Trang 33 Suy lim f  x   lim x 2 x 2 x  ax  b  1 nên x  2 nghiệm tử số x2    2   a  2   b   b  2a   lim x 2  lim x 2 x  ax  2a  x2  x2a a4   1  a   b  12 Vậy 3a  b  12 Chọn C x2 4 Câu 57: lim x 1 Khi lim x 1 x  mx  n   x  mx  n   x  1 x  n  x 1  x  1 x  n  x  mx  n  lim  lim  x  n    n   n  2 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy x  mx    x  1 x    x  x   m  Do mn  2 Chọn D  x  1 Câu 58: lim x 3 x   5x  x  4x    x  1 x   5x  x2  4x   lim x 3  lim x 3 x  3x x  4x  x  4x  x   5x  x  4x   lim x 3 x  x  3 x  4x   x  3 x  1 x   Câu 59: lim1 x 5x   lim x 3 x x  4x   Chọn D x  x   5x   ax  bx   ax  bx   lim x3  3x  x  x  1  x  1 Khi phương trình  ax  bx   ax   b2 x  4bx   ax  bx    a  b  x  4bx  có nghiệm kép x   có nghiệm kép x  2   b b  2b a  a   4b  a  b    3  a  b     2 b  3a     4b   a  b    4b  b  b  4b  4b     3  a  b   loai   ax  bx   3x  3x   lim suy lim1  x3  3x  x3  3x  x x b  3, a  3 2  3x  x  12 x   3x  3x  2  x  1  x  1  lim x  lim x  3  x  1   lim x  12 x  12 x    3x  3x   x  1  x  x   x  1  x  1  lim x  3  x  1   x  x   x  1  c Trang 34  3 x  4 Khi ax  bx  c   3x  3x     nên phương trình có nghiệm  3 x   Chọn D Câu 60: Ta có lim x    x  ax  27 x3  bx   lim   x  ax  x = lim   x   x  ax  3x    ax = lim   x  x  ax  x     x   x  ax  3x  27 x3  bx   3x     27 x3  bx   27 x3  bx   x   27 x  bx   27 x 3     27 x3  bx   3x 27 x3  bx   x    bx      b   a a b x  lim       x   9 a 3 3  6 27 27 b  b 27  27          x c x  c x2     9a 2b 14    2b  9a  14 54 54 54 Ta số thỏa mãn 16;  ,  25;  Suy tồn số a  2b  25  4.2  33 Chọn A   x2   x2 x  16    x2  lim  lim   2 x  x  16  16 x 0 5 x  16   5 x x  16  Câu 61: lim x 0 a  Do   a  2b  14 Chọn D b  Câu 62: Do lim x 2 f  x 1 x2   f  x    A  x . x  2 Suy f      f    f  x   Ta có: I  lim x 2 f  x   x2    f  x  7  23 f  x    x   x   Trang 35  lim x2 f  x 1 x2  f x   f x   4 x            x x 2018  x 2017   x  2018 Câu 63: I  lim  lim x 1 x 1 x 2018  2018  2  2.2  2    2  Chọn C 24  1   x 2017  1    x  1 x 2018   x  1  x n1  x n2   1 xn  x n 1  x n    n  lim  lim  Xét lim 2018 2017 2016 2017 2016 x 1 x  x 1  x  1  x x   2018 x   1 x 1 x 2019.2018 2018  2017   2019   Do I  Chọn C 2018 2018 Câu 64: lim 1  x 1  x 1  3x  1  2018 x   x 0  lim x 1  1  x   1  x   1  x 1  x   1  x 1  x   1  x 1  x 1  3x  x 0 x  1  x  x 1  x 1  x  3x 1  x 1  x  2018 x   lim 1     x 0 x x x    lim 1  1  x   1  x 1  x   2018 1  x 1  x  1  2017  x  x 0      2018  Câu 65: I  lim x  2018.2019  1009.2019 Chọn D 2  a x  x  x 1  lim 2  a x  x  x  x 1 2   x  x   lim  a   x  3 x   x2   x  Để I   a    a  Pmin  22  2.2   Chọn A 2017 x  2017 a 2  a  a x   2017 a x x x x  lim Câu 66: lim  lim  x  x  x  2018 2018 x  2018 2 2 x x a x   2017 a 1 Do lim Chọn A    a x  x  2018 2 2 Câu 67: lim x  4x2  x    lim x  mx  1 4x2  x    4   x x x 2 x  lim   x  2 m m m x x  m  4 Chọn B Câu 68: lim x 0 3x   3x    lim  lim x 0 x 0 x x 3x   x    3x  3x    lim x 0 3x    Khi a  3, b   P  13 Chọn A Trang 36 Câu 69: Ta có lim f  x   f    m  x 0 x4 2 x44  lim  lim x 0 x 0 x x x4 2 x Lại có lim f  x   lim x 0  x 0 Để hàm số có giới hạn x  m  Câu 70: lim f  x   lim x 1 x 1   x x4 2   lim x42 x 0  1   m  Chọn B 4 x2    Chọn A 1 x Câu 71: lim f  x   f    x 2 Mặt khác lim f  x   lim  ax  1  2a  x 2 x 2 Để tồn lim f  x   2a   a  Chọn B x2 Câu 72: lim f  x   lim  x  x  3  6, lim f  x   lim   x   15 x 3 x 3 x 3 x 3 Do lim f  x   lim f  x  nên không tồn lim f  x  x 3 x 3 x 3 Khẳng định sai C Chọn C Câu 73: lim 2  a x  x  x 1  x  lim   a  x  3  x2   x x 1 x x    lim   a  x  3 x     x2   x      lim x   a      1  lim   a  x     a   a  x  x  x  x   Khi P  a  2a    a  1   Dấu xảy  a  Chọn B Câu 74: L  lim x  4x2  2x    x ax  x  bx  lim x   lim x  2   1 3 x x2 x    a b  a b x  4 b  a  Câu 75: lim  x 1  x  x3  x2  x   1 x x ax  3x b x a b   a  b (trong a  ) Chọn A a 1  x  x   b    lim  x 1 1  x  1  x  x  b   a Vì lim    f  x   a 1  x  x   b có nghiệm x   x 1  x  x   Trang 37 a  Khi f 1  3a  b  , kết hợp a  b    b  3  1  x  x  a    b    Suy L  lim    lim    lim x 1  x  x  x 1   x  x  x 1 1  x  1  x  x    lim x 1  x  x2 1  x  1  x  x Câu 76: lim   x3  1 x  1  lim   x  x  1 x  1  1  x   x  2 x  lim x 1 1  x  1  x  x  x1  x  x  lim  Chọn A x  lim  x  1  x  x  1 x  x 1 x x  x  1  x  1 x  1  lim   x  x  1  x  1 x  1 x  x  1 x  1 x 1  Chọn C ax  bx    ax  bx   a  x  1 x  x0   ax  a 1  x0  x  ax0 x 1 x 1 Câu 77: Do lim Do ax0  5 ax  bx    lim a  x  x0   a 1  x0    a    a  x 1 x 1 x 1 Khi lim Với a   x0    b  a 1  x0   Do a  b  a  b  18 Chọn A   Câu 78: I  lim ax  bx  x  2018  lim x  ax  bx  x  2018  b x   2018 x  lim 2 x  2018 ax  bx  x  2018 a2  b   x x a  lim x  a x  a x  bx  x  2018  b  x  x  2018 Để I hữu hạn a  b I  2 a  a2   Chọn C aa a ax    bx ax      bx Câu 79: lim  lim x 0 x  x x ax     3      bx  a b   ax  1  ax      lim    lim   x 0 x   x   bx    bx x     ax  1  ax           a  a b Chọn D   , mặt khác a  b    b  Trang 38 Câu 80: Đặt f  x   2m   m  3 x3  x   m  1 x    m  x2  2x  Ta có: lim y  lim  2m2  7m  3 x  x  x  Nếu 2m  m   lim y   điều kiện tốn khơng thỏa mãn x  Nếu 2m  m   lim y   điều kiện tốn khơng thỏa mãn x  Vậy điều kiện cần để  2m  m  3 x  x   m  1 x    m  x2  2x   với x thuộc tập xác định m  2m  m     m   2 Điều kiện đủ:  x  1  x2  x    x  * Với m   f  x    x  x    x  12  2 x2  x  x * Với m   f  x   không thỏa mãn f  x    x  2 x  2x  Vậy có giá trị m m  Chọn C Trang 39 ... 2 2 x x2  5x  Lời giải: a) lim x ? ?2 b) lim x ? ?2 x2   lim x ? ?2 x? ?2 2 x x  5x  2 x? ?2   x? ?2  lim x ? ?2 x? ?2 1  lim   x   x  1 x? ?2 x  Trang 12 c) lim x ? ?2 2 x x  5x  2. .. Câu 31 Trong bốn giới hạn sau, giới hạn -∞? A lim  x  3x  x? ?2 Câu 32 Giới hạn lim x 1 B lim x ? ?2 3x  x? ?2 C lim x ? ?2 3x  x? ?2 D lim x  3x  x? ?2 x2  2x  x 1 Trang 21 A B x  A... trị để hàm số f  x    x  x    D x  ? ?2 có giới hạn hữu hạn x x  ? ?2 dần tới -2 Tính 3a  b A 24 B C 12 Câu 57 Cho m, n số thực khác Nếu giới hạn lim x 1 A -3 B -1 Câu 58 Giới hạn lim