Bài 3 2 giới hạn hàm số cd lời giải

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa  a; b  ,    ; b  ,  a;   ,    ;   Ta viết khoảng K thay cho khoảng Tổng quát ta có: f  x K \  x0  f  x Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số xác định K Hàm số có x  K \  xo  f  xn   L x  giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số n bất kì, n xn  x0 Kí hiệu: lim x  x0 f  x  L Nhận xét: hay lim x  x0 ; lim c c x  x0 x  x0 f  x  L x  x0 , với c số Chú ý: f  x Hàm số x0 không xác định x  x0 tồn giới hạn hàm số x dần tới Phép toán giới hạn hữu hạn hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim f  x  L x  xo lim g  x  M  L, M  R  x  xo lim  f  x   g  x   L  M x  xo x  xo b) Nếu lim f  x  L x  xo lim  f  x   g  x   L  M ; lim  f  x  g  x   L.M f  x  0 x  xo f  x L  ( M x  xo g  x  lim L 0 lim x  xo M 0) f  x  L Giới hạn phía -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau:  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  a; x0  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên trái hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, a  xn  x0 xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  x0  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  x0 ; b  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên phải hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, x0  xn  b xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  xo Định lí sau cho ta mối liên hệ "giới hạn hai phía" giới hạn bên phải lim f  x  x  xo lim f  x  x  xo lim f  x  với giới hạn bên trái x  x o lim f  x  L x  x0 lim f  x   lim f  x  L x  x0 x  x0 II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: y  f  x a) Cho hàm số xác định khoảng  a;   y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn số L x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L hay x   f  x  L x   b) Cho hàm số y  f  x xác định khoảng   ; a  Ta nói hàm số y  f  x x  có giới hạn số L x    với dãy số n bất kì, xn  a xn    , ta có f  xn   L Kí hiệu: Chú ý lim f  x  L hay x   f  x  L x    Với c, k số k ngun dương, ta ln có: lim c c; lim c c; lim x   x   x   c c 0; lim k 0 k x    x x Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số x  x0 x   x    III GIỚI HẠN VƠ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x Ta nói hàm số có y  f  x f  xn    Kí hiệu xác định khoảng  x  có giới hạn  x  a với dãy số n bất kì, xn  a xn  a , ta lim f  x   x a Các trường hợp  a;   hay f  x     x  a lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    x a x a x a Chú ý: Ta có hai giới hạn sau: lim x a 1  ; lim   x  a x a x a IV GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: định nghĩa tương tự Cho hàm số y  f  x y  f  x Ta nói hàm số f  xn    , ta có Kí hiệu: xác định khoảng  a;   x  có giới hạn  x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   lim f  x   x   f  x    hay x   lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    Các trường hợp x   x   x   định nghĩa tương tự Chú ý: Ta có ba giới hạn sau: lim x k  với k số nguyên dương x   lim x k  với k số nguyên dương chẵn x   lim x k   x   với k số nguyên dương lẻ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn Phương pháp f x Nếu hàm số   xác định Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính K  x0 lim f  x  f  x  x x0 lim x  x  x    Hướng dẫn giải lim x2  x  1   9 x    Ví dụ 2: Tính 3x  2x lim x  5x  3x6  Hướng dẫn giải lim 3x  2x5 x  5x  3x  Ví dụ 3: Tính  3   1 lim 4x3  2x  x  Hướng dẫn giải lim 4x3  2x      5 x  lim Ví dụ 4: Tính x  3 x 1 x 3  Hướng dẫn giải lim x  3 x 1 x2     1 4 lim Ví dụ 5: Tính x  0 x  4x  7x  9x  Hướng dẫn giải lim x  x  4x  7x  9x   16  16   28  18  Dạng Giới hạn vô cực Phương pháp Giới hạn hữu hạn vô cực f ( x ) L   a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số  xn  , xn  a xn   ta có lim f ( x ) L lim f ( x ) L LƯU Ý: Định nghĩa x    phát biểu hoàn toàn tương tự Giới hạn vô cực vô cực f ( x )    a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số  xn  , xn  a xn   ta có lim f ( x )  lim f ( x ) , lim f ( x )  , lim f ( x )   x   x   LƯU Ý: Các định nghĩa: x    phát biểu hoàn toàn tương tự Một số giới hạn đặc biệt c 0 x   x k ( c số, k nguyên dương ) lim x k  lim x k   lim x k  k k x   x    x với nguyên dương; số nguyên lẻ;    k số nguyên chẵn lim Nhận xét: lim f ( x )   lim   f ( x )   x   x   Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim   x  x  x   Lời giải Cách 1: Sử dụng MTCT tính giá trị f  x   x  x điểm có giá trị âm nhỏ 20 (do ta xét giới hạn hàm số x    ), chẳng hạn  10 Máy hiển thị kết hình: Đó giá trị dương lớn Vậy chọn đáp án C , tức   lim  x  x  x      x3  x x3     x   Cách 2: Ta có lim x3   Vì x        lim       lim x3      x    x  x    nên x     lim   x3  x   lim x      x   x   Vậy theo Quy tắc 1, x   Ví dụ 2: Tính   lim x  x  x   Lời giải Cách 1: Theo nhận xét lim  x  x 1  x   a 0 ( x   , k chẵn k ) Thật   3x  x 1 x     x x   vậy, ta có Vì lim x  x     lim     3  lim  3x  x  1  x  x x   x nên    Nhận xét: - Giới hạn vô cực hàm đa thức vô cực, phụ thuộc vào số hạng chứa lũy thừa bậc cao - Giới hạn hàm đa thức  phụ thuộc vào hệ số lũy thừa bậc cao (Giống với giới hạn dãy số dạng đa thức) - Giới hạn hàm đa thức   phụ thuộc vào bậc hệ số lũy thừa bậc cao f  x  3 x  x  Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số hình : Kết số dương lớn Do chọn đáp án A, Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   x2  2x  Tính lim f  x  x   Lời giải Hàm số f  x   x2  2x  xác định  20 x  10 , ta kết Có thể giải nhanh sau : Vì x  x  hàm đa thức x nên có giới hạn vơ x  x   với x nên giới hạn f  x   x  x    chắn cực Mà  Thật vậy, ta có Vì lim x  x     x2  2x   x2      x   x x  x x   1  lim x  x   x x2 x   nên lim  x   Hoặc ta sử dụng MTCT để tính giá trị 20 hạn x  10 ta kết hình: f  x giá trị âm nhỏ x , chẳng Kết số dương lớn Do ta chọn đáp án B (Dễ thâý kết hiển thị máy tính kết gần khả tính tốn hạn chế MTCT Tuy nhiên kết giúp ta lựa chọn đáp án xác) Lưu ý: Ta có lim x  x   Khi x    x  Với x  ta có x  x Cần đặc biệt lưu ý điều tính giới hạn   hàm chứa thức Ví dụ 4: lim x    x2  x  x2 1  Lời giải Cách 1: Ta có:  1 x2 1  x2     x  x2  x    x    x   lim    lim x  x  x  Mà x    lim Vậy x   Lưu ý:  x2  x    x2     x   x x  x  4 x2 4    x2   1       x   lim  x    x   x    4 4 x2        x2 - Độc giả nên đọc lại phần giới hạn dãy số có chứa thức để hiểu lại có định hướng giải (mà không nhân chia với biểu thức liên hợp) - Có thể thấy sau: Vì lim x   x  x ; lim x 1  x   2 2 Mà hệ số x x  lớn hệ số x x  x nên suy lim x    x2  x   x    10 Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị hàm số x  10 ta kết hình Dạng giới hạn bên Phương pháp Ta cần nắm tính chất sau lim f(x) L    x n  ,x  x n  b, lim x n x  lim f(x n ) L n   x x n   lim f(x) L    x n  ,a  x n  x , lim x n x  lim f(x n ) L n   x  x 0 n   lim f(x)  lim f(x) L  lim f(x) L x  x 0 x x0 x x Các ví dụ rèn luyện kĩ lim x  Ví dụ 1: Tính x 2x  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận lim x  3 x 2x  x  x  3  x    lim Cách 2: Giải nhanh máy tính x 5 Nhập vào hình 2x  ấn CALC  10  ta kết lim Ví dụ 2: Tính x 1  x3 3x  x Hướng dẫn giải  x3 lim 3x  x x  1 0  x3  2x  lim x2  2x x   2 Ví dụ 3: Tính Hướng dẫn giải Tử số có giới hạn  , mẫu số có giới hạn x   x  2x  lim Do x3  2x  x  2x x   2 2x  x lim Ví dụ 4: Tính   x  0 5x  x Hướng dẫn giải lim x  0 2x  x 5x  x  x5 x  0 lim Ví dụ 5: Tính   lim  x  1 5 x x 1  lim x    1 x  0     x  1 x 1 x2  4x  x3  x  Hướng dẫn giải lim x    1 x  4x   x3  x  x  1  x  3  lim   x    1 x    1 x  x  1  lim Ví dụ 6: Cho hàm số  x2  với x   f  x    x   2x  với x 1 x   x  3 x2 Khi  0 lim f  x  x  1 bao nhiêu? Hướng dẫn giải lim f  x   lim x  1 x  1 x2   1 x tử số có giới hạn 2, mẫu số có giới hạn  x  với x  Dạng Dạng vô định Phương pháp lim u(x) lim u(x)  lim u(x) 0 x x0 x x  Nhận dạng vô định : x x0 v(x)  Phân tích tử mẫu thành nhân tử giản ước (x  x )A(x) u(x) A(x) A(x)  lim  lim tính lim x  xo v(x) x  xo (x  x )B(x) x x o B(x) x  xo B(x) lim Nếu phương trình f  x  0 có nghiệm x0 f  x   x  x  g  x  Đặc biệt: f(x) ax  bx  c,mà f(x) 0 có hai nghiệm phâ n biệt x1 ,x f(x) phân tích thànhf(x) a  x - x1   x - x2   Nếu tam thức bậc hai  Phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0 (a 0) a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1 1, để phân tích  thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ đồ Hooc-ner a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1  1, để phân tích   thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ ñoà Hooc-ner u x v x Nếu     có chứa dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hiệp, sau phân tích chúng thành tích để giản ước A B lượng liên hiệp là: A  B A B A lượng liên hiệp là: A  B B lượng liên hiệp là: A B A B A  B lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    Các ví dụ rèn luyện kĩ x  3x  Ví dụ 1: Tính x x  lim Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận  x  1  x   lim x   x  3x  lim   x x x x x lim Cách 2: Giải nhanh máy tính X2  3X   10 X Nhập vào hình ấn CALC  10  ta kết Ví dụ 2: Tính L lim x 2x  3x  1  x2 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận lim x 2x2  3x  1  x2  2x  1  x  1 lim   2x  1   x   x    x  x   x  lim Cách 2: Giải nhanh máy tính 2X2  3X  Nhập vào hình Ví dụ 3: Tính lim  10 ấn CALC  10  ta kết  X2 x  3x  x x3  Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận lim x x2  3x  x 1  x  1  x   lim x    x x  x2  x     x x2  x  lim Cách 2: Giải nhanh máy tính x2  3x  Nhập vào hình x3   10 ấn CALC  10  ta kết t  a4 Ví dụ 4: Tính t  a t  a lim Hướng dẫn giải t  a4 lim t  t 2a  ta2  a3 4a3 t a t  a t a  lim lim Ví dụ 5: Tính  y4  y y3 1 Hướng dẫn giải Cách 1: Giải tự luận  y  1  y3  y2  y  1 y3  y  y  lim lim lim  y  y3  y   y  1  y2  y  1 y y2  y  y4  Cách 2: Giải nhanh máy tính