Bài 3 2 giới hạn hàm số cd đề bài

BÀI 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Định nghĩa  a; b  ,    ; b  ,  a;   ,    ;   Ta viết khoảng K thay cho khoảng Tổng quát ta có: f  x K \  x0  f  x Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số xác định K Hàm số có x  K \  xo  f  xn   L x  giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số n bất kì, n xn  x0 Kí hiệu: lim x  x0 f  x  L Nhận xét: hay lim x  x0 ; lim c c x  x0 x  x0 f  x  L x  x0 , với c số Chú ý: f  x Hàm số x0 không xác định x  x0 tồn giới hạn hàm số x dần tới Phép toán giới hạn hữu hạn hàm số Ta thừa nhận định lí sau: a) Nếu lim f  x  L x  xo lim g  x  M  L, M  R  x  xo lim  f  x   g  x   L  M x  xo x  xo b) Nếu lim f  x  L x  xo lim  f  x   g  x   L  M ; lim  f  x  g  x   L.M f  x  0 x  xo f  x L  ( M x  xo g  x  lim L 0 lim x  xo M 0) f  x  L Giới hạn phía -Trong trường hợp tổng qt, ta có định nghĩa sau:  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  a; x0  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên trái hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, a  xn  x0 xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  x0  Cho hàm số y  f  x xác định khoảng  x0 ; b  y  f  x x  Số L gọi giới hạn bên phải hàm số x  x0 với dãy số n bất kì, x0  xn  b xn  x0 , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L x  xo Định lí sau cho ta mối liên hệ "giới hạn hai phía" giới hạn bên phải lim f  x  x  xo lim f  x  x  xo lim f  x  với giới hạn bên trái x  x o lim f  x  L x  x0 lim f  x   lim f  x  L x  x0 x  x0 II GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: y  f  x a) Cho hàm số xác định khoảng  a;   y  f  x x  Ta nói hàm số có giới hạn số L x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   , ta có f  xn   L Kí hiệu: lim f  x  L hay x   f  x  L x   b) Cho hàm số y  f  x xác định khoảng   ; a  Ta nói hàm số y  f  x x  có giới hạn số L x    với dãy số n bất kì, xn  a xn    , ta có f  xn   L Kí hiệu: Chú ý lim f  x  L hay x   f  x  L x    Với c, k số k ngun dương, ta ln có: lim c c; lim c c; lim x   x   x   c c 0; lim k 0 k x    x x Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số x  x0 x   x    III GIỚI HẠN VƠ CỰC (MỘT PHÍA) CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: Cho hàm số y  f  x Ta nói hàm số có y  f  x f  xn    Kí hiệu xác định khoảng  x  có giới hạn  x  a với dãy số n bất kì, xn  a xn  a , ta lim f  x   x a Các trường hợp  a;   hay f  x     x  a lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    x a x a x a Chú ý: Ta có hai giới hạn sau: lim x a 1  ; lim   x  a x a x a IV GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC -Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau: định nghĩa tương tự Cho hàm số y  f  x y  f  x Ta nói hàm số , ta có f  xn    Kí hiệu: xác định khoảng  a;   x  có giới hạn  x   với dãy số n bất kì, xn  a xn   lim f  x   x   f  x    hay x   lim f  x    ; lim f  x   ; lim f  x    Các trường hợp x   x   x   định nghĩa tương tự Chú ý: Ta có ba giới hạn sau: lim x k  với k số nguyên dương x   lim x k  với k số nguyên dương chẵn x   lim x k   x   với k số nguyên dương lẻ B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Dãy số có giới hạn hữu hạn Phương pháp f x Nếu hàm số   xác định Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính Ví dụ 2: Tính Ví dụ 3: Tính  lim lim f  x  f  x  x x0  3x  2x x  5x  3x6  lim 4x3  2x  x  x  lim Ví dụ 5: Tính lim x  x  x  lim Ví dụ 4: Tính K  x0 x  x 1 x2   x  4x  7x  9x  Dạng Giới hạn vô cực Phương pháp Giới hạn hữu hạn vô cực f ( x ) L   a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số  xn  , xn  a xn   ta có lim f ( x ) L lim f ( x ) L LƯU Ý: Định nghĩa x    phát biểu hoàn toàn tương tự Giới hạn vô cực vô cực f ( x )    a;  xlim   Cho hàm số y  f ( x ) xác định khoảng với dãy số  xn  , xn  a xn   ta có lim f ( x )  lim f ( x ) , lim f ( x )  , lim f ( x )   x   x   LƯU Ý: Các định nghĩa: x    phát biểu hoàn toàn tương tự Một số giới hạn đặc biệt c 0 x   x k ( c số, k nguyên dương ) lim x k  lim x k   lim x k  k k x   x    x với nguyên dương; số nguyên lẻ;    k số nguyên chẵn lim Nhận xét: lim f ( x )   lim   f ( x )   x   x   Các ví dụ rèn luyện kĩ lim   x  x  Ví dụ 1: Tính x   Ví dụ 2: Tính x     lim x  x  Ví dụ 3: Cho hàm số Ví dụ 4: lim x    f  x   x2  2x  x2  x  x2 1 Tính lim f  x  x    Dạng giới hạn bên Phương pháp Ta cần nắm tính chất sau lim f(x) L    x n  ,x  x n  b, lim x n x  lim f(x n ) L n   x x n   lim f(x) L    x n  ,a  x n  x , lim x n x  lim f(x n ) L n   x  x 0 lim f(x)  lim f(x) L  lim f(x) L x  x 0 x x0 x x Các ví dụ rèn luyện kĩ lim x  Ví dụ 1: Tính x 2x  lim Ví dụ 2: Tính x 1 lim Ví dụ 3: Tính x   2  x3 3x  x x3  2x  x2  2x n   lim Ví dụ 4: Tính x  0 2x  x 5x  lim Ví dụ 5: Tính x    1 x x2  4x   Ví dụ 6: Cho hàm số x3  x  x2  với x   f  x    x   2x  với x 1 Khi lim f  x  x  1 bao nhiêu? Dạng Dạng vô định Phương pháp lim u(x) lim u(x)  lim u(x) 0 x x0 x x  Nhận dạng vô định : x x0 v(x)  Phân tích tử mẫu thành nhân tử giản ước (x  x )A(x) u(x) A(x) A(x)  lim  lim tính lim x  xo v(x) x  xo (x  x )B(x) x x o B(x) x  xo B(x) lim Nếu phương trình f  x  0 có nghiệm x0 f  x   x  x  g  x  Đặc biệt: f(x) ax  bx  c,mà f(x) 0 có hai nghiệm phâ n biệt x1 ,x f(x) phân tích thànhf(x) a  x - x1   x - x2   Nếu tam thức bậc hai  Phương trình bậc 3: ax  bx  cx  d 0 (a 0) a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1 1, để phân tích  thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ ñoà Hooc-ner a  b  c  d 0 pt có nghiệm x1  1, để phân tích   thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức dùng sơ đồ Hooc-ner u x v x Nếu     có chứa dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hiệp, sau phân tích chúng thành tích để giản ước A B lượng liên hiệp là: A  B A B A lượng liên hiệp là: A  B B lượng liên hiệp là: A B A B A  B lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    Các ví dụ rèn luyện kĩ x  3x  Ví dụ 1: Tính x x  lim 2x  3x  L lim  x2 x Ví dụ 2: Tính lim x  3x  x3  x Ví dụ 3: Tính t  a4 Ví dụ 4: Tính t  a t  a lim lim Ví dụ 5: Tính y4  y y3 1  x2 lim Ví dụ 7: Tính x7  x Ví dụ 6: Tính 1 x  x lim x lim Ví dụ 8: Tính x x lim Ví dụ 9: Tính x  6x  x Ví dụ 10: Tính Ví dụ 11: Tính x2   2x  4 lim x  12  x2  x  lim x x1 x 1 ¥ Dạng Dạng vơ định ¥ Phương pháp   Nhận biết dạng vô định  u(x) lim u(x) , lim v(x)  x  x v(x) x x0 x x0 u(x) lim lim u(x) , lim v(x)  x   v(x) x x x  x0 lim n  Chia tử mẫu cho x với n số mũ cao biến mẫu ( Hoặc phân tích thành tích chứa nhân n tử x giản ước)  Nếu u(x) v(x) có chứa biến x dấu đưa xk dấu (Với k mũ cao biến x dấu căn), sau chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x (thường bậc cao mẫu)  Cách tính giới hạn dạng hoàn toàn tương tự giới hạn dãy số Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính Ví dụ 2: Tính Ví dụ 3: Tính lim x  2x x   lim 3x  2x x   5x lim  3x  3x  2x5 x   5x  3x  3x  4x  lim Ví dụ 4: Tính 2x  x3  2x2  x   9x  5x  x  2x  3x L  lim x   Ví dụ 5: Tính Ví dụ 6: Tính Ví dụ 7: Tính Ví dụ 8: Tính lim x   4x   x  4x2   x  2x  x lim  x  5 x 1 x    lim x    x2     2x  94 2x100  Dạng Dạng vơ định ¥ - ¥ , 0.¥ Phương pháp  Nếu biểu thức chứa biến số dấu nhân chia với biểu thức liên hợp  Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức quy đồng mẫu đưa biểu thức  Thông thường, phép biến đổi cho ta khử dạng vơ định   ;0. chuyển  ; dạng vô định  Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính lim x    x 1  x  lim x  x   x   Ví dụ 2: Tính x   Ví dụ 3: Tính x  5x   lim  x  x    lim Ví dụ 4: Tính x 0 1   x  x 1  1  x  0 Ví dụ 6: Tính x  x lim lim x  x   x    Ví dụ 7: Tính x  x 1  lim Ví dụ 8: Tính x Ví dụ 9: Tính x   lim  x2  x  x x5  x  lim  x2  5x  x   Ví dụ 10: Tính x   x  1 Ví dụ 11: Tính x   x lim C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Sử dụng định nghĩa, tìm giới hạn sau: a) lim x b) x  Bài Biết hàm số giới hạn lim f  x  x f  x thoả mãn lim f  x  3 x  2 lim x x  25 x lim f  x  5 x  2 Trong trường hợp có tồn hay khơng? Giải thích Bài Tính giới hạn sau: a) lim x  x  3 x x2  5x  lim b) x x  c) lim x x1 x Bài Tính giới hạn sau: x 1 lim a) x   3x  ; d) lim x   x  11 lim x   x  b) ; x 1 x e) lim x c) x g) lim x   lim x x2 1 x ; x Bài Một công ty sản xuất máy tính xác định rằng, tính trung bình nhân viên lắp ráp N t  kết 50t  t 0  lim N  t  t 4 phận ngày sau t ngày đào tạo Tính t   cho biết ý nghĩa Bài Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm công ty xác định hàm số: C  x  50000  105 x _ a) Tính chi phí trung bình C  x để sản xuất sản phẩm _ b) Tính lim C  x  x   cho biết ý nghĩa kết D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: Câu 3: Giá trị giới hạn A 37 Giá trị giới hạn A Giá trị giới hạn A Câu 4: lim( 3x2 + 7x +11) x® B lim x2 - x® B sin D C - ¥ D x2 - 3 Giá trị giới hạn x®- x + là: B Giá trị giới hạn A ( 2x - 1) ( x4 - 3) B - - lim x®- Giá trị giới hạn A x®1 - C C C D - - - x - x3 Giá trị giới hạn A Câu 7: C là: B +¥ lim Câu 6: D 40 lim A Câu 5: C 39 là: lim x2 sin x® là: 38 lim x®- - x- x + x- B là: D là: D 3x2 +1- x x- là: B C - D 9x2 - x ( 2x - 1) ( x4 - 3) lim Câu 8: Giá trị giới hạn A Câu 9: B x® B Câu 10: Giá trị giới hạn lim x® C D x2 - x +1 x2 + 2x là: lim - là: 1 Giá trị giới hạn A x® C D 3x2 - - 3x - x +1 là: - C D +¥ C D +¥ C D - ¥ C - D - ¥ C - D - ¥ B - ¥ C D +¥ x3 - Câu 16: Giá trị giới hạn x®2 x - là: A B +¥ C D Khơng xác định A B Câu 11: Giá trị giới hạn A lim  x  x3  1 x   là: B - ¥  lim x  x  x Câu 12: Giá trị giới hạn A x   Câu 13: Giá trị giới hạn x    là: B +¥ lim  x2 1  x  là: B +¥ A Câu 14: Giá trị giới hạn lim x    3x3   x   là: B +¥ A +1 Câu 15: Giá trị giới hạn A lim x x    4x2  x  x  là: lim Câu 17: Giá trị giới hạn A - lim x®- x5 +1 x3 +1 là: B lim Câu 18: Biết x ®A C - x3 +6 = a + b 2 3- x2 Tính a + b B 25 C - x2 - x + x®- x2 + 3x lim Câu 19: Giá trị giới hạn là: D D 13 A B Câu 20: Giá trị giới hạn A B ( x2 + p21) 1- A là: 21 2p B Câu 22: Giá trị giới hạn A Câu 23: Giá trị giới hạn A - - 2p x2 + x x2 lim+ x® C x®1 1- 2p21 D là: 4x + - là: B 1+ x x® x Câu 24: Giá trị giới hạn 13 A B 12 2p21 C D +¥ C D +¥ x- lim b> 0, a+ b = - x B - ¥ lim Câu 25: Biết 2x - p21 x x® 21 - D 27- x3 là: x®3 lim C D 3- x lim- Câu 21: Giá trị giới hạn C lim x® 3 8- x là: C 11 12 D - 13 12 ax +1- 1- bx =2 x Khẳng định sai? 2 C a + b > 10 D a- b< 2x2 + 5x - Câu 26: Kết giới hạn x®- ¥ x + 6x + là: A - B +¥ C D 2x3 + 5x2 - Câu 27: Kết giới hn xđ- Ơ x + 6x + l: A - B +¥ C - ¥ D 2x3 - 7x2 +11 Câu 28: Kt qu ca gii hn xđ- Ơ 3x + 2x - là: A - B +¥ C D - ¥ C D - A 1< a < B b> lim lim lim lim Câu 29: Kết giới hạn A - 2x - x2 +1- x là: B +Ơ xđ- Ơ ( 2- a) x - Câu 30: Biết x2 +1- x có giới hn l +Ơ x đ +Ơ (vi a l tham số) Tính giá trị nhỏ P = a - 2a+ A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = 4x2 - x +1 x +1 Câu 31: Kết qu ca gii hn xđ- Ơ l: A - B - lim 4x2 - 2x +1+ 2- x lim Câu 32: Kết giới hạn A - 4x2 - 2x +1+ 2- x ax2 - 3x + bx xđ- Ơ A a B lim Cõu 34: Kết giới hạn L =- Câu 36: Giá trị giới hạn A lim x  lim ( 2x3 - x2 ) xđ- Ơ x   ax Câu 38: Kết giới hạn lim A - ¥ Câu 39: Kết giới hạn A - ¥ x - 15 x- x - là: B +¥ D Không xác định lim+ 3x + x + là: B Câu 40: Kết giới hạn A - ¥ C +¥ Câu 41: Kết giới hạn x® 2- D Khơng xác định lim D b> - D   C a> D a< C - D - ¥ C D C x +2 x®( - 2) a là: xđ 2+ 15 b- ữ ữ ữ 4ø là: B +¥ lim là: B +¥ ổ1 lim ỗ - ỗ ỗ ốx - x Câu 37: Giá trị giới hạn A - ¥ B +¥ C  B a< x® 2+ L= là: C x® 2- - C Câu 35: Tìm tất giá trị a để A a> hữu hạn (với a, b tham số) Khẳng định a+ b 2x2 +1 B >0 D x3 + 2x2 +1 xđ- Ơ A l: C - ¥ B +¥ L = lim Câu 33: Biết 9x2 - 3x + 2x xđ+Ơ D +Ơ C - 2- x 2x2 - 5x + là: - 15 D A - ¥ B +Ơ lim+ xđ- Cõu 42: Kt qu ca giới hạn C - D x2 +13x + 30 ( x + 3) ( x2 + 5) là: A - B Câu 43: Cho hàm số A +¥ D 15 C ìï 2x ïï víi x < f ( x) = ïí 1- x ïï ïỵï 3x +1 víi x ³ Khi lim f ( x) x®1+ B là: C ìï x +1 ïï víi x < f ( x ) = ïí 1- x ïï lim f ( x ) ïïỵ x - víi x ³ Câu 44: Cho hàm số Khi x ®1là: A +¥ B - C Câu 45: Cho hàm số A - Câu 46: Cho hàm số A a= ìï x - víi x ³ f ( x ) = ïí ïï x - víi x < ỵ Khi lim f ( x ) x ®2 B B a= D - ¥ D là: C ìï x - + víi x ³ f ( x) = ïí ïï ax - víi x < ỵ lim f ( x) Tìm a để tồn x®2 C a= D Khơng tồn D a= ìï x - x + víi x > ïï f ( x ) = ïí víi x = ïï ïïỵ - x víi x < Câu 47: Cho hàm số lim f ( x) = A x®3 lim f ( x) = C x®3 Khẳng định sai? lim f ( x ) B Không tồn x®3 lim f ( x) = - 15 D xđ3 + - - ổa b ữ lim ỗ L = lim ỗ 3ữ ữ xđ1 ỗ xđ1 è ø x x a + b = Câu 48: Biết hữu hạn Tính giới hạn A B C Câu 49: Giá trị giới hạn lim ( 1+ 2x2 - x) xđ+Ơ Cõu 50: Giỏ tr ca gii hn A ( ) x2 +1- x lim x    C - D - ¥ D - ¥ là: B +¥ Câu 51: Bit rng A S = lim xđ+Ơ C  x  x  x a  b B S = - D - là: B +¥ A ỉ b a ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố1- x 1- xø Tính S 5a  b C S = D S =- Câu 52: Giá tr ca gii hn A lim xđ+Ơ Câu 53: Giá trị giới hạn A Câu 56: Kết giới hạn A +¥ Câu 57: Kết giới hạn A Câu 58: Kết giới hạn A Câu 59: Kết giới hạn A Câu 60: Kết giới hạn A ) là: lim ( 3x3 - 1+ x2 + 2) lim xđ+Ơ ( x2 + x - x3 - x2 ) lim ( 2x - 1- 2x +1) D - ¥ C - D - ¥ C - D - ¥ C - D C D +¥ C D - ¥ C +¥ D - ¥ C D +¥ là: B +Ơ xđ+Ơ C +Ơ l: B +Ơ Câu 55: Giá trị giới hn - x2 + 4x xđ- Ơ A +1 A x2 + 3x - B Câu 54: Giá trị giới hạn ( là: B +¥ - Ơ ộ ổ 1ửự ữ ỳ lim ờxỗ ỗ1- ữ ữ xđ ỗ ố x ứỳ û là: B - lim ( x - 2) xđ 2+ x x2 - l: B +Ơ lim x xđ+Ơ B 2x +1 3x3 + x2 + l: ổ 1ử lim x2 ỗ sin px - ữ ữ ỗ ữ ỗ xđ è x ø là: B - lim+ ( x3 +1) xđ( - 1) B +Ơ x x2 - p là: C D - ¥