Bài 3 1 giới hạn dãy số cd đề bài

CHƯƠNG : GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Định nghĩa -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn sau: u có giới hạn n dần tới dương vô cực n nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể lim un 0 từ số hạng trở đi, kí hiệu n  lim un 0 Chú ý: Ngồi kí hiệu n  , ta sử dụng kí hiệu sau: limun 0 hay un  n   Dãy số  un  0 n Ta có: Nhận xét: Nếu un ngày gần tới n ngày lớn limun 0 lim -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn sau: lim  un  a  0 u  Dãy số n có giới hạn hữu hạn a n dần tới dương vô cực n  , kí hiệu lim un a n   Chú ý: Ngồi kí hiệu lim un a n   , ta sử dụng kí hiệu sau: limun a hay un  a n   Chú ý: -Một dãy số có giới hạn giới hạn -Khơng phải dãy số có giới hạn, chẳng hạn dãy số  un  với un (  1) n Một số giới hạn Ta chứng tỏ giới hạn sau: 1 lim 0;lim k 0 n n a) với k số nguyên dương cho trước; b) lim c) Nếu c c 0;lim k 0 n n với c số, k số nguyên dương cho trước; q 1 n limq 0 ; n  1  1 un    e lim    un    n  có giới hạn số vơ tỉ gọi giới hạn e ,  n d) Dãy số với Một giá trị gần e 2,718281828459045 n II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có định lí giới hạn hữu hạn tổng, hiệu, tích, thương thức sau: a) Nếu limun a, limvn b thì: lim  un   a  b; lim  un   a  b lim  un  a.b; lim un a   0, b 0  b lim un  a b) Nếu un 0 với n limun a a 0 III TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Trong trường hợp tổng qt, ta có: Cấp số nhân vô hạn hạn u1 , u1q, , u1q n  , có cơng bội q thoả mãn q  gọi cấp số nhân lùi vô u S u1  u1q  u1q   1 q Tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho là: IV GIỚI HẠN VƠ CỰC -Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn vơ cực sau: u  Ta nói dãy số n có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở lim un  Kí hiệu : n  hay limun  hay un   n   u  -Ta nói dãy số n Kí hiệu lim un   n   lim   un   có giới hạn   n   n   hay limun   hay un    n   Nhận xét limn k  với k số nguyên dương cho trước limq n  với q  số thực cho trước limvn    Nếu limun a limvn  (hoặc lim Nếu limun a, a  limvn 0,  với n limun   lim   un    un 0 lim un  B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Giới hạn hữu tỉ Phương pháp k Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia cà tử thức mẫu thức cho luỹ cao n , với k bậc cao mẫu, áp dụng quy tắc tinh giới hạn Chú ý : Cho P ( n) , Q ( n ) đa thức bậc m, k theo biến n : P ( x) = am n m + am- 1n m- +L + a1n + a0 ( am = / 0) Q ( n) = bk n k + bk - 1n k - +L + b1 n + b0 ( bk = / 0) lim Khi P ( n) Q ( n) = lim am n m bk n k P ( n) , viết tắt Q ( n) : am n m bk n k Nếu « bậc tử » < « bậc mẫu ( m < k ) Nếu « bậc tử » = « bậc mẫu ( m = k ) Nếu « bậc tử » > « bậc mẫu ( m > k ) , ta có trường hợp sau : lim lim lim P ( n) Q ( n) P ( n) Q ( n) = = am bk P ( n) ïì +¥ am bk > = ïí Q ( n) ùùợ - Ơ am bk < Để ý P ( n) , Q ( n) có chứa « » ta tính bậc Cụ thể m n k tì có bậc k n Ví dụ n có bậc , n có bậc , Trong sau ta dùng dấu hiệu để kết cách nhanh chóng ! Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ Tính Ví dụ 2: Tính Ví dụ 3: Tính 3n3  5n2  lim 2n3  6n  4n  lim lim n + 2n2 n + 3n- n7 + n n + 3n - 2n + b un = u 5n + b tham số thực Để dãy số ( un ) có giới hạn hữu hạn, Ví dụ 4: Cho dãy số ( n ) với giá trị b bào nhiêu u Ví dụ 5: Cho dãy số ( n ) với L = lim Ví dụ 6: Tính giới hạn un = 4n2 + n + an2 + Để dãy số cho có giới hạn , giá trị a ( n2 + 2n) ( 2n3 +1) ( 4n + 5) ( n4 - 3n- 1) ( 3n2 - 7) Dạng Dãy số chứa thức Phương pháp  Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng A B lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B Các ví dụ rèn luyện kĩ A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B2    Ví dụ Tính 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    lim  n   n       Ví dụ Tính Ví dụ Tính ( ) n2 - n +1- n lim lim  n2  n3  n lim é n ê ë Ví dụ Tính (  ) nù ú û n +1- Dạng Tính giới hạn dãy số chứa hàm mũ Phương pháp un mà un ; hàm số mũ chia tử mẫu cho a n với a số lớn Sau Trong tính giới hạn q  lim q n 0 lim sử dụng công thức: với Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Tính Ví dụ 2: Tính Ví dụ 3: Tính Ví dụ 4: Tính lim 3n  2.5n 1 2n 1  5n lim 3n  4.2n 1  3.2n  4n   1 lim n 25n 1 35n 2 lim 3n  4.2n 1  3.2 n  n Ví dụ 5: Có giá trị nguyên a thuộc ( 0;20) cho lim 3+ an2 - 1 3+ n2 2n Dạng Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội  Tổng số hạng cấp số nhân lùi vô hạn (un) q  số nguyên u S u1  u2   un   1 q  Mọi số thập phân biểu diễn dạng luỹ thừa 10 X N,a1a2 a3 an N  a1  a2 10 102  a3 103   an 10n  Các ví dụ rèn luyện kĩ 1,  Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn  1 1 , ,  , ,     2 n , Ví dụ 2: Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a 0,212121 (chu kỳ 21) Tìm a dạng phân số Ví dụ 3: Tổng Ví dụ 4: Cho Sn 1  0,9   0,9    0,9     0,9  n  có kết bao nhiêu? S 1  q  q2  q3  , q  T 1  Q  Q  Q3  , Q  E 1  qQ  q Q  q3Q3  Biểu thị biểu thức E theo S, T Ví dụ 5: Tìm số hạng U1 S 4; q  cấp số nhân lùi vơ hạn, biết Ví dụ 6: Tìm cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết S  6; U1  Dạng 5: Phương pháp sai phân quy nạp tính giới hạn Phương pháp 1) Dạng tồng phân số A Ví Dụ: 1   , n 2, n  N 2.3 3.4 n(n  1) 1   Ta phân tích : k (k  1) k k  (1) Để tính A ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (1) ta tính dễ dàng 2) Dạng tích phân số: Ví dụ: B 22  32   , n 2, n  N 22 k2  k  k  : (2) k k 1 Ta phân tích: k Để tính B ta thay k từ 2,3,, n vào biểu thức (2) ta tính dễ dàng 3) Dang đa thức: a) Mỗi đơn thức dạng tích: Ví dụ: C 1.2.3  2.3.4 99.100.101 Ta tách: 4k (k  1)(k  2) : k ( k 1)( k  2)[(k  3)  (k  1)] , k 1, k  N ( ( k  1)k (k  1)( k  2)  k ( k  1)(k  2)(k  3)) : (3) Để tính C ta thay k từ : 1,2,3,…, 99 vào biểu thức (3) ta tính dễ dàng Ví dụ: D 3.5.7  5.7.9  (2n  1)(2n  3)(2n  5), n 1, n  N Ta tách: (2k  1)(2k  3)(2k  5) (2k  1)(2 k  3)(2k  5)[(2k  7)  (2k 1)]: ((2k  1)(2k  3)(2k  5)(2k  7)  (2k  1)(2k  1)(2k  3) (2k  5)) : (4) Đề tính D ta thay k từ : 1, 2,3,, n vào biều thức (4) ta tính dễ dàng ) Đơn thức dạng lũy thừa 3 Ví Dụ: Tính E 1   n , n  N n 1 3 Ta dùng hẳng đẳng thức : ( x  1)  x  x  x  x 1 23 13  3.12  3.1  x 2 33 23 3 22  2  … x n (n  1)3 n3  n  n  Cộng vế theo vế (n  1)3  13 3  12  2  n   3(1    n)  n 3n(n  1) n  n(n  1)  3E n  3n  3n    n   2n  3n  n   n(n  1)(2n  1) E  n  3n  3n 3E  Ngồi ta dự đốn số hạng tổng qt, kết hợp quy nạp để khẳng đinh Có thể ùng vịng lặp MTCT để giải tốn Các ví dụ rèn luyện kĩ Ví dụ 1: Cho 1 un     1.2 2.3 n  n  1 un  Ví dụ 2: Cho Ví dụ 3: lim Tính lim un 1 1     3.5 5.7 7.9  2n  1  2n  1 Tính     n 2n bao nhiêu?      lim    1   2   n         Ví dụ 4: Tính giới hạn: U1 2   Un  * U  ; n    n 1 Ví dụ 5: Tìm giới hạn dãy:  U   * U n1   U n ; n   Ví dụ 6: Tìm giới hạn dãy: lim un U1 3   1  * U n 1   Un  U  ; n    n  Ví dụ 7: Tìm giới hạn dãy:  C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Cho hai dãy số a) limun , limvn b)  u n  ,   un 3  ; 5  n n Tính giới hạn sau: với lim  un   , lim  un   ,lim  un  ,lim un Bài Tính giới hạn sau: a) c) lim 5n  2n ; n  5n  6n  ; lim n e) lim b) lim 1  lim   n  ;  d) 2 n 2 4.3n ; 6n  8n  5n  ; g) lim n 3n u1  , q  u  Bài a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn n , với b) Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 1,   dạng phân số Bài Từ hình vng có độ dài cạnh , người ta nối trung điểm cạnh hình vng để tạo hình vng Hình Tiếp tục q trình đến vơ hạn a) Tính diện tích Sn hình vng tạo thành bước thứ n ; b) Tính tổng diện tích tất hình vng tạo thành Bài Có kg chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T 24000 năm nửa số chất phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khoẻ người ( T gọi chu kì bán rã) (Nguồn: Đại số Giải tich 11, NXB GD Việt Nam, 2021) Gọi un khối lượng chất phóng xạ cịn lại sau chu kì thứ n u  a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số n u  b) Chứng minh n có giối hạn c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau số năm khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu khơng cịn độc hại người, biết chất phóng xạ không độc hại khối lượng 6 chất phóng xạ cịn lại bé 10 g Bài Gọi C nửa đường tròn đường kính AB 2 R , C1 đường gồm hai nửa đường trịn đường kính AB AB , C2 , Cn đường gồm 2n nửa đường tròn đường gồm bốn nửa đường trịn đường kính AB , n đường kính (Hình 4) Gọi pn độ dài Cn , S n diện tích hình phẳng giới hạn Cn đoạn thẳng AB a) Tính pn , Sn b) Tìm giối hạn dãy số  pn   Sn  D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Giá trị giới hạn A Câu 2: - lim - 4n - 2n +1 là: B - ¥ Giá trị giới hạn lim A +¥ D - C 3n3 - 2n +1 4n4 + 2n +1 là: B C D v Câu 3: lim n un = = un ) ) ( ( un n +1 n + Khi Cho hai dãy số có có giá trị bằng: A B C D an + Câu 4: Câu 5: un = u 5n + a tham số thực Để dãy số ( un ) có giới hạn , Cho dãy số ( n ) với giá trị a là: A a= 10 B a= C a= D a= Tính giới hạn A L= L = lim n2 + n + 2n2 +1 B L= C L = D L = Câu 6: Tính giới hạn A Câu 7: L =- L = lim n2 - 3n3 2n3 + 5n- B L = lim B < a < L = lim Tính giới hạn A Câu 9: C Tìm tất giá trị tham số a để A a £ 0;a ³ Câu 8: L= L =- A lim D £ a < C L = D L = +¥ - ¥ D D D 2n + 3n3 4n2 + 2n +1 là: C 3n- n4 4n- là: B +¥ C a < 0; a > C B +¥ lim 5n2 - 3an4 > ( 1- a) n4 + 2n +1 n3 - 2n 1- 3n2 là: B +¥ Câu 11: Kết giới hạn A lim D L = B L = Câu 10: Kết giới hạn A n3 )( 3n2 +1) ( 2n- 1) ( n4 - 7) Kết giới hạn - ( 2n- L= C - ¥ Câu 12: Trong giới hạn sau đây, giới hạn 0? A lim 3+ 2n3 2n2 - B lim 2n2 - - 2n3 - C lim 2n- 3n3 - 2n2 - D lim 2n2 - 3n4 - 2n4 + n2 Câu 13: Dãy số sau có giới hạn - ¥ ? A 1+ 2n 5n + 5n2 Câu 14: Tính giới hạn A L = Câu 15: Có bao B B L = - ¥  giá trị C un = 2n - 3n n + 2n   A 17 C L = nguyên L lim 5n  a  n3   Câu 16: Tính giới hạn A L = n3 + 2n- - n + 2n3 D un = n2 - 2n 5n +1 L = lim( 3n2 + 5n- 3) nhiêu  un = tham số D L = +¥ a thuộc khoảng   10;10  B C D 10 C L = D L = +¥ C D lim( 3n4 + 4n2 - n +1) Câu 17: Giá trị giới hạn A B L = - ¥ ( lim n+ 5- B ) n +1 bằng: để Câu 18: Giá trị giới hạn A - Câu 19: Giá trị giới hạn A ( ( B ( ( ( Câu 23: Có giá trị nguyên A B ( ) 2n2 - 3n + D là: D +¥ C - ¥ ) 2n2 + n là: a D +¥ C - ¥ ( lim thỏa ) n2 - 2n + - n B D +¥ ) B 1- lim C C n2 + 2n- 1- lim D +¥ n2 +( a + 2) n +1 = n2 + a2n - lim C - ¥ là: 2 B A - Câu 24: Giá trị giới hạn A - n2 - 2n 2n2 - n +1- lim Câu 22: Giá trị giới hạn là: ) n2 + 2n - lim Câu 20: Có giá trị để A B A 3n2 + B a Câu 21: Giá trị giới hạn ) n2 - 1- lim ) n2 - 8n - n + a2 = C D Vô số C D +¥ là: u Câu 25: Cho dãy số ( n ) với un = n + an + - n2 +1 , a tham số thực Tìm a để limun =- A Câu 26: Giá trị giới hạn A Câu 27: Giá trị giới hạn A Câu 28: Giá trị giới hạn A - Câu 29: Giá trị giới hạn A - Câu 30: Giá trị giới hạn A - B ( lim n3 +1- 3 ( n3 - 2n2 - n B lim é n ê ë ( n +1- ( n2 +1- ( B C D ) ù n2 - ú û bằng: n2 + n +1- D ) B é lim ên ë C n- ù ú û là: B +¥ é lim ên ë D bằng: - C ) bằng: ) D - n3 + B lim C - C D +¥ ) ù n2 + n- ú û là: C D +¥ lim n +2- Câu 31: Giá trị giới hạn A Câu 32: Giá trị giới hạn A B B Câu 33: Giá trị giới hạn A Câu 34: Kết giới hạn A D +¥ C D +¥ C - ¥ D +¥ là: n +1- n là: B lim 2- 5n+2 3n + 2.5n bằng: B Câu 35: Kết giới hạn C - ¥ 25 - là: 9n2 - n - n + 3n- lim lim n2 + lim A - C D - 3n - 2n - 2.3n +1 bằng: B - C n ỉ ÷ a ç - 2n+1 +1 2n2 + 3÷ ç ÷ ữ limỗ + = +c ỗ ữ n + ỗ ữ n b n ỗ ữ 5.2 + ữ ỗ ố ứ D ( ) Câu 36: Biết ( ) S = a2 + b2 + c2 A S = 26 Câu 37: Kết giới hạn A B S = 30 lim Câu 38: Kết giới hạn Câu 39: Kết giới hạn A Câu 41: Kết giới hạn A +¥ é lim ê3n ë lim( 34.2n+1 - 5.3n ) lim lim D S = 31 C +¥ D C - ¥ D +¥ nù ú û là: B - Câu 40: Kết giới hạn A C S = 21 pn + 3n + 22n 3pn - 3n + 22n+2 là: B A vi a, b, cẻ Â Tớnh giỏ tr biểu thức là: B - C - ¥ D 3n - 4.2n+1 - 3.2n + 4n là: B C - ¥ D +¥ 2n+1 + 3n +10 3n2 - n + là: B C D - ¥ lim 4n + 2n+1 £ n n+a +4 1024 Câu 42: Tìm tất giá trị nguyên a thuộc ( 0;2018) để A 2007 B 2008 C 2017 Câu 43: Kết giới hạn A æ n2 + 2n ( - 1) n ữ ỗ limỗ + n ữ ữ ỗ ữ ỗ n ữ ỗ ố ứ bng: B Cõu 44: Kết giới hạn A D 2016 - C D - ỉ 3n +( - 1) n cos3nư ÷ ç ÷ limç ÷ ç ÷ ç ÷ n- ç è ø bằng: B n Câu 45: Kết giới hạn lim 2.3 - n + là: A B C D - C D +¥ Câu 46: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn , tổng ba số hạng cấp số nhân A Số hạng đầu u1 cấp số nhân là: u1 = B u1 = u1 = D u1 = C S = 16 D S = 15 C 1 S 9        n    Câu 47: Tính tổng A S= 27 B S = 14  1  S        n    Câu 48: Tính tổng A S = +1 B S = C 2n S 1      n   Câu 49: Tính tổng A S = B S = S = 2 C S = D S= D S = n+1 Câu 50: Tổng cấp số nhân vô hạn A B ( - 1) 1 ,- , , , , 18 2.3n- C bằng: D D  1  1  1 S           n  n    3  9 2  Câu 51: Tính tổng A B C Câu 52: Giá trị giới hạn A lim 1+ a+ a2 + + an ( a Câu 61: Tính giới hạn: 14 B a - b > lim      2n  1 3n2  13 C a - b > a b Khẳng định 12 D a - b > A B C D C D Khơng có giới hạn  1  lim      n  n  1   1.2 2.3 Câu 62: Tính giới hạn: A B   1 lim      n  2n  1  2n  1   1.3 3.5 Câu 63: Tính giới hạn: A B C D C D C D   1 lim      n  n     1.3 2.4 Câu 64: Tính giới hạn: A B   1 lim      n  n  3   1.4 2.5 Câu 65: Tính giới hạn: 11 A 18 Câu 66: u Cho dãy  n  A lim u n 0 B     n un  n2  với Mệnh đề sau mệnh đề đúng? lim un  B C lim u n 1 D lim un không tồn  U1    U   U n ; n  *  n 1 2 Câu 67: Tìm giới hạn dãy:  A B C D Khơng có giới hạn C D Khơng có giới hạn U1 5    U2n ; n  * U n 1  2U n Câu 68: Tìm giới hạn dãy:  A B U   * U  2.U n ; n   Câu 69: Tìm giới hạn dãy:  n 1 A B  1 C D Khơng có giới hạn