Chương iii bài 1 giới hạn dãy số cánh diều thpt số 1 văn bàn phản biện thpt số 2 văn bàn

Trường THPT số Văn Bàn Tổ Tốn- Cơng nghệ Họ tên GV soạn: Nguyễn Giang Biên Trường phản biện: THPT số Văn Bàn KẾ HOẠCH BÀI DẠY TÊN BÀI DẠY: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Môn học/Hoạt động giáo dục: Toán; lớp: 11 Thời gian thực hiện: (03 tiết) I Mục tiêu Về kiến thức: - Nhận biết khái niệm giới hạn dãy số - Giải thích số giới hạn như: 0 (k   ); lim q n 0 ( q  1); lim c c n   n k n   n   với c số lim - Vận dụng phép tốn giới hạn dãy số để tìm giới hạn số dãy số đơn giản - Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn vận dụng kết để giải số tình thực tiễn giả định liên quan đến thực tiễn Về lực: - Năng lực tự học: Học sinh xác định đắn động thái độ học tập; tự đánh giá điều chỉnh kế hoạch học tập; tự nhận sai sót cách khắc phục sai sót - Năng lực giải vấn đề: Biết tiếp nhận câu hỏi, tập có vấn đề đặt câu hỏi Phân tích tình học tập - Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc thân trình học tập vào sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân cơng nhiệm vụ cụ thể cho thành viên nhóm, thành viên tự ý thức nhiệm vụ hồn thành nhiệm vụ giao - Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thơng qua hoạt động nhóm; có thái độ tơn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực giao tiếp - Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ nhóm, trách nhiệm thân đưa ý kiến đóng góp hồn thành nhiệm vụ chủ đề - Năng lực sử dụng ngơn ngữ: Học sinh nói viết xác ngơn ngữ Tốn học Về phẩm chất: - Rèn luyện tính cẩn thận, xác Tư vấn đề toán học cách lôgic hệ thống - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ quen, có tinh thần trách nhiệm hợp tác xây dựng cao - Chăm tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn GV - Năng động, trung thựcsáng tạo trình tiếp cận tri thức ,biết quy lạ quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao - Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, linh hoạt trình suy nghĩ II Thiết bị dạy học học liệu - Kế hoạch dạy, SGK, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu… III Tiến trình dạy học Tiết 1 Hoạt động 1: Khởi động a) Mục tiêu: Tạo tâm học tập cho học sinh, giúp em ý thức nhiệm vụ học tập, cần thiết phải tìm hiểu vấn đề nêu ra, từ gây hứng thú với việc học b) Nội dung: Zé non (Zê-nông, 496-429 trước công nguyên) triết gia Hy Lạp thành phố Edée phát biểu nghịch lý sau: Achille(A-sin) lực sĩ thần thoại Hy Lạp, người mệnh danh “có đơi chân chạy nhanh gió” đuổi theo ruaftreen đường thẳng Nếu lúc xuất phát, rùa điểm cách Achille khoảng a khác Khi Achille chạy đến vị trí rùa xuất phát rùa chạy phía trước khột khoảng ( Hình 1) Q trình tiếp tục vơ hạn Vì thế, Achille khơng đuổi kịp rùa Trên thực tế, Achille không đuổi kịp rùa có khơng? c) Sản phẩm: Câu trả lời học sinh d) Tổ chức thực hiện: Chuyển giao * Giáo viên trình chiếu hình ảnh - HS quan sát Thực - HS tìm câu trả lời - Mong đợi: Kích thích tị mị HS : + Huy động kiến thức học để trả lời câu hỏi Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh Đánh giá, nhận xét, lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Dẫn dắt vào Giới hạn hữu hạn hàm số giải thích nghịch lí Zénon nói khơng Trong học ngày hôm tìm hiểu điều 3 Hoạt động 2: Hình thành kiến thức I GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1.ĐỊNH NGHĨA Hoạt động 2.1 Hình thành định nghĩa dãy số có giới hạn a) Mục tiêu: Nhận biết định nghĩa dãy số có giới hạn b) Nội dung: * HĐ.1- Hình biểu diễn số hạng dãy số  un  với un  n hệ trục tọa độ Hình u a Nhận xét thay đổi giá trị n n ngày lớn b Hoàn thành bảng trả lời câu hỏi sau: Kể từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un đến nhỏ 0, 001? 0, 0001 ? Lời giải a) K/c từ un tới nhỏ n lớn b) Từ số hạng thứ 101 trở Từ số hạng thứ 1001 trở *Định nghĩa 1: Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn sau: u có giới hạn n dần tới dương vô cực n nhỏ số dương bé lim un 0 tuỳ ý, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu n   lim un 0 lim un 0 hay un  *Chú ý: Ngồi kí hiệu n   , ta sử dụng kí hiệu sau: n   Dãy số  un  lim +) ta có: +) lim 0; lim +) n 0 n 0 c) Sản phẩm: Học sinh trả lời câu hỏi hoạt động SGK d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi GV: Chiếu hoạt động 1- Hình SGK Cho học sinh trả lời câu hỏi hoạt động Chuyển giao - Tìm câu trả lời - HS làm việc cặp đôi theo bàn -Mong đợi Thực a) K/c từ un tới nhỏ n lớn b) Từ số hạng thứ 101 trở Báo cáo thảo luận Từ số hạng thứ 1001 trở * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh Đánh giá, nhận xét, cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa Hoạt động 2.2 Tìm hiểu định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn a) Mục tiêu: Nắm định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn b) Nội dung: un u *HĐ Cho dãy số  n  , với 2  lim  u   n Tính n  n Giải Ta có: lim  un    lim n   n   0 n u Vì dãy  n  tiến tới n dần tới vô cực *Định nghĩa 2: Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn sau: u Dãy số  n  có giới hạn hữu hạn a n dần tới dương vô cực lim un a lim  un  a  0 n   , kí hiệu n   *Chú ý: lim un a lim un a hay Ngồi kí hiệu n   ta sử dụng kí hiệu sau: un  a n   * Ví dụ Chứng minh rằng: a) lim c c , với c số; 6n  lim 6 n b) Lời giải lim  c  c  lim 0 a) Do nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, ta có: lim c c  6n  lim    n b) Do  6n   lim 0 lim 6 n  n nên  4n  lim  n *Luyện tập 2: Chứng minh Lời giải   4n    4n  lim       lim 0 lim  n  n  n Do nên *Chú ý: -Một dãy số có giới hạn giới hạn -Khơng phải dãy số có giới hạn, chẳng hạn dãy số un   1  un  với n Một số giới hạn Ta chứng tỏ giới hạn sau : 1 lim 0 lim k 0 n n a) ; với k số nguyên dương cho trước; c c 0 lim k 0 n n b) ; với c số, k số nguyên dương cho trước; n q 1 c) Nếu lim q 0 ; lim n d) Dãy số  1 un    n  có giới hạn số vơ tỉ gọi giới hạn e ,  với  un  n  1 e lim     n Một giá trị gần e 2, 718281828459045 n *Ví dụ  1 lim    0  2 Chứng minh Lời giải n 1  1 lim    0   1  2 Do 2 nên n e lim   0   *Luyện tập Chứng minh Lời giải n e e e lim   0  1   Do   nên c) Sản phẩm: Học sinh trả lời câu hỏi hoạt động SGK d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đôi un u + GV: Cho dãy số  n  , với 2  lim  u   n Tính n  n + Gọi học sinh nêu định nghĩa tính chất Chuyển giao + Yêu cầu học sinh đọc ví dụ làm luyện tập +Cho học sinh nêu ý số giới hạn +Yêu cầu học sinh đọc ví dụ làm luyện tập - Tìm câu trả lời Thực - HS làm việc cặp đôi theo bàn Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận Đánh giá, nhận xét, tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa II ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Hoạt động 2.3 Hình thành định lí giới hạn hữu hạn a) Mục tiêu: Hình thành định lí giới hạn hữu hạn dãy số: b) Nội dung: u , v * HĐ.3 Cho hai dãy số  n   n  a) Tính un 8  ; 4  n n với lim un , lim lim  un   lim un  lim so sánh giá trị với tổng lim  un  lim un   lim  c) Tính so sánh giá trị với tích  Giải lim un 8, lim 4 a) Ta có : lim  un   12 lim un  lim 12 lim  un   lim un  lim b) Ta có : ; Suy ra: lim  un  32  lim un   lim  32 lim  un   lim un   lim  c) Ta có : ; Suy ra: Định lí : Ta có định lí giới hạn hữu hạn tổng, hiệu, tích, thương thức sau : lim un a, lim b thì: a) Nếu b) Tính lim  un   a  b; lim  un   a  b lim  un  a.b; lim un a   0, b 0  b u 0 với n lim un a a 0 lim un  a b) Nếu n *Ví dụ Tính giới hạn sau:   lim    ; n   a) b) lim 4n  ; n    lim      n  n    c) Lời giải   lim    lim  lim 2  2 n  n  a) 4n  3  4n  lim lim    lim  lim 4  4 n n  n n b) n    1    1  lim      n  lim    lim      5.6 30 n  n        c) *Luyệ tập Tính giới hạn sau: 8n  n lim ; n2 a)  n2 lim n b) Lời giải a) b) lim 8n  n 8 n2 lim  n2 1 n c) Sản phẩm: Kết hoạt động d) Tổ chức thực hiện: Học sinh thảo luận cặp đơi Chuyển giao +; GV chia nhóm sau yêu cầu học sinh làm ý a,b,c u   ; v   n n u , v n n Cho hai dãy số  n   n  với a) Tính lim un , lim lim  un   b) Tính so sánh giá trị với tổng lim un  lim lim  un  c) Tính so sánh giá trị với tổng  lim un   lim  +; Yêu cầu học sinh nêu định lí +; HS Đọc ví dụ làm câu hỏi luyện tập - Tìm câu trả lời Thực - HS làm việc cặp đôi theo bàn Báo cáo thảo luận * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh Đánh giá, nhận xét, cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức dẫn dắt đến định lí: Tiết III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Hoạt động 2.4: Hình thành cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn a) Mục tiêu: Nhận cấp số nhân lùi vô hạn, nhớ cơng thức tính tổng số hạng cấp số nhân lùi vơ hạn, áp dụng tính tổng cụ thể b) Nội dung: *HĐ.4 a)nhận xét công bội q dãy số này, so sánh q với -1 1 1 , , , , n , + Dãy số + Dãy số 1,  1 1 , , , , (  ) n , 27 1 1 , , , , n , b) Cho cấp số nhân: Tính S n u1  u2   un Từ đó, tính lim S n Giải a) + Dãy số thứ có cơng bội + Dãy số thứ hai có cơng bội q q  + Cả hai dãy số có cơng bội q thoả :   q    n      1 u1  q n  1)     S n u1  u2   un    q 1 b) n        1      1 lim S n lim    2 1 1 1 1 2 u  * Ta nói n cấp số nhân lùi vô hạn lim Sn tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Trong trường hợp tổng qt, ta có: Cấp số nhân vơ hạn u1 , u1q , , u1q số nhân lùi vô hạn n , có cơng bội q thỏa mãn q  gọi cấp u S u1  u1q   u1q n    1 q Tổng cấp số nhân lùi vô hạn cho là: 1 T 1     n   3 *Ví dụ Tính tổng Giải q u  Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân có n , có u1 1 , nên 1 1 T 1     n     3 1 1  1 M 1        2  2 *Luyện tập Tính tổng Giải n  q  u  Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân có n , có u1 1 , 1  1 M 1        2  2 n 1     1 1     2 *Ví dụ Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hoàn Giải 0,  3 dạng phân số 3 3 0,  3     n   10  10 10 10 1 10 Ta có nên 10 *Luyện tập Giải thích nghịch lí Zénon phần mở đầu không Chiếu vi deo: https://www.youtube.com/watch?v=e1vtZ9aj-cI (Nghịch Lý ZENO: Cuộc đua A-sin Rùa) c) Sản phẩm: Câu trả lời học sinh (hoặc kết hoạt động nhóm học sinh) d) Tổ chức thực hiện: - GV: Chia nhóm cho nhóm trả lời câu hỏi a) nhận xét cơng bội q dãy số 1 1 , , , , n , + Dãy số Chuyển giao 1  1 1,  , ,  , ,    27  3 + Dãy số - Báo cáo thảo luận , 1 1 , , , , n , b) Cho cấp số nhân: Tính S n u1  u2   un Từ đó, tính lim S n - Thực n GV: Cho học sinh nêu công thức tổng cấp số nhân lùi vơ hạn u cầu học sinh đọc ví dụ 5, ví dụ thảo luận làm luyện tập 5, luyện tập - Tìm câu trả lời - HS làm việc cặp đơi theo bàn * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận Đánh giá, nhận xét, tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức dẫn dắt đến định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn IV.Giới hạn vô cực Hoạt động 2.5: Hình thành kiến thức giới hạn vơ cực a) Mục tiêu: Nắm cơng thức tính giới hạn vô cực b) Nội dung: u  *HD.5 Quan sát dãy số n với un n cho biết giá trị un lớn số dương hay không kể từ số hạng trở ? *khái niệm: Ta thấy un lớn só dương kể từ số hạng trở Ta nói dãy  un  có giới hạn  n   11 u  ● Ta nói dãy n có giới hạn  n   , un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở lim un  lim un  Kí hiệu n   hay hay un   n   lim   un   u  ● Ta nói dãy n có giới hạn   n   , n   lim un   lim un   Kí hiệu n   hay hay un    n   *Ví dụ Chứng tỏ lim n  dạng phân số Giải Xét dãy số  un  , un n Với M số dương bất kì, ta thấy : un  M  n  M  n  M Vậy với số tự nhiên n  M un  M Do , lim n  *Luyện tập Tính lim   n3  Giải lim   n3    *Nhận xét k ● lim n  với k số nguyên dương cho trước n ● lim q  với q  số thực cho trước un 0 lim u  a lim v  lim v   v n n n n ● Nếu (hoặc ) u lim n  ● Nếu lim un a , a  lim 0,  với n lim ● lim un   lim   un    n e lim     2 *Ví dụ Chứng tỏ Giải n e e lim    1  2 Do nên n lim 0 n *Luyện tập Chứng tỏ Giải VT lim n  n  1  lim    lim    0 VP n n n  n n  c) Sản phẩm: Câu trả lời học sinh (hoặc kết hoạt động nhóm học sinh) 12 d) Tổ chức thực hiện: - GV: Chia nhóm cho nhóm trả lời câu hỏi u  Quan sát dãy số n với un n cho biết giá trị un lớn số dương hay khơng kể từ số hạng trở ? Chuyển giao - GV: Yêu cầu học sinh nêu khái niệm Yêu cầu học sinh đọc ví dụ 7, ví dụ thảo luận làm luyện tập 7, luyện tập Nêu nhận xét? SGK - Tìm câu trả lời Thực Báo cáo thảo luận - HS làm việc cặp đôi theo bàn * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh Đánh giá, nhận xét, lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức Tiết Hoạt động 3: Luyện tập a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức giới hạn dãy số giải dạng toán SGK b) Nội dung:  u  ,   Bài tập 1: Cho hai dãy số n un 3  ; 5  n n Tính giới hạn sau : với a) lim un , lim b) un Giải lim  un   , lim  un   ,lim  un  , lim a) lim un 3, lim 5 lim  un   8,lim  un    2, lim  un  15, lim b) Bài tập 2: Tính giới hạn sau : a) lim 5n  2n ; 1  lim   n  ;  d) a) lim 5n   2n 2; b) lim 6n  8n  5n  ; 3n  2n lim 4.3n ; e) Giải b) lim n  8n   5n  5; c) lim un  n  5n  6n  ; 2 g) lim n 3n ; c) lim n  5n   6n  6; 13 1  lim   n  2   d) ; Bài tập 3: 3n  2n lim  4.3n 4; e) u  a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn n lim n n 0 g) ; 2 u1  , q  , với 1,   b) Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số Giải a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn  un  u S u1  u1q   u1q n      q 15 : b) Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 1,   dạng phân số Ta có: 1,     0,     0,  0, 06  0, 006   0, 000006  Dãy số 0, 6; 0, 006; 0, 0006; lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u1  0, cơng bội q 10 có q  nên ta có: 0, 0,  0, 06  0, 006   0, 000006    1 10 1,      3 Suy Bài tập Từ hình vng có độ dài 1, người ta nối trung điểm cạnh hình vng để tạo hình vng hình Tiếp tục trình đến vơ hạn a) Tính diện tích Sn hình vng tạo thành bước thứ n ; b) Tính diện tích tổng tất hình vng tạo thành Giải 14 a) Gọi Sn diện tích hình vng thứ n 1 S1  1; S  ; S3   ;  2 Ta có: Dãy  Sn  lập thành cấp số nhân có số hạng đầu 1 Sn    2 quát là: s1  1 cơng bội q  có cơng thức tổng n nên dãy  S n  lập thành cấp số nhân lùi hạn nên ta có: b) Ta có: 1 Sn 1    2 1 Vậy tổng diện tích hình vng (đvdt) q c) Sản phẩm: Bài làm học sinh d) Tổ chức thực hiện: Làm việc theo nhóm đơi Chuyển giao Thực Báo cáo thảo luận * GV chia nhóm yêu cầu hoc sinh thảo luận làm * GV đề nghị hs nêu cách giải phần * HS suy nghĩ đưa lời giải * Thảo luận theo nhóm đơi * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận Hoạt động 4: Vận dụng a) Mục tiêu: Vận dụng kiến thức giới hạn dãy số giải toán thực tiễn b) Nội dung: Bài tập 5: Có chất phóng xạ độc hại Biết rằng, sau khoảng thời gian T=24 000 năm nửa số phóng xạ bị phân rã thành chất khác không độc hại sức khỏe người (T gọi chu kỳ bán rã) (Nguồn: Đại số giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021) Gọi un khối lượng chất phóng xạ cịn lại sau chu kỳ thứ n u  a) Tìm số hạng tổng quát un dãy số n u  b) Chứng minh n có giới hạn c) Từ kết câu b), chứng tỏ sau số năm khối lượng chất phóng xạ ban đầu khơng cịn độc hại với người, biết chất phóng xạ khơng cịn độc 6 hại khối lượng chất phóng xạ cịn lại bé 10 g Giải  1 u1 1; u2  ; u3   ;  2 a) Ta có: 15 Suy  un  lập thành cấp số nhân có số hạng đầu 1 un    2 quát là: u1  q có số hạng tổng n 1 lim un lim    2 b) Ta có:  1 un    2 c) Đổi n n  1 kg    2 0 n 103 g n 1 6   10  10  n  31 10  g  Để chất phóng xạ bé   Vậy cần 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ cho ban đầu khơng cịn độc hại người Bài tập Gọi C nửa đường trịn đường kính AB 2 R , AB C1 đường gồm hai nửa đường tròn đường kính , AB C2 đường gồm bốn nửa đường trịn đường kính ,… AB Cn đường gồm nửa đường trịn đường kính 2n ,… (Hình 4) n Gọi pn độ dài Cn , Sn diện tích hình phẳng giới hạn Cn đoạn thẳng AB a) Tính pn , Sn b) Tìm giới hạn dãy số  pn  Giải a) R R R R p1  ; p2   ; p3  2 +) Ta có:  Sn  16 R p  q   pn  lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu công bội có số hạng n  R   pn     2 tổng quát +) Ta có: S1   R2  R2  R2 ; S  ; S3  ; 4  R2 S  q   Sn  lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu cơng bội có số hạng n  R   Sn     4 tổng quát b) Ta có: lim pn 0; lim sn 0 c) Sản phẩm: Kết làm học sinh d) Tổ chức thực hiện: Thảo luận cặp đơi, theo nhóm Chuyển giao Thực Báo cáo thảo luận - GV: hướng dẫn học sinh tiếp cận vấn đề giao nhiệm vụ - GV: đề nghị HS nêu cách giải phần lời giải chi tiết - HS suy nghĩ đưa lời giải - Thảo luận theo nhóm đơi * Đại diện nhóm báo cáo, nhóm cịn lại theo dõi thảo luận - GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời học sinh, ghi nhận tuyên dương học sinh có câu trả lời tốt Động viên học sinh Đánh giá, nhận xét, cịn lại tích cực, cố gắng hoạt động học tổng hợp - Chốt kiến thức