Đang tải... (xem toàn văn)
fx xác định trên khoảng a;b được gọi là liên tục trên khoảng a;b nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy... Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định củ[r]
(1)MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GV: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – THPT VINH LỘC 0835.606162 YOUTUBE: ĐẮC TUẤN OFFICIAL Bài Tính các giới hạn sau (dạng vô định 1) lim x→1 4) lim x→3 x3 − x2 − x + x2 − x + x3 − x2 + x + x − x2 − (1 + x)(1 + x)(1 + 3x) − x x→0 2) lim x→1 5) lim x4 − x3 − x2 + x − 5x5 + x6 (1 − x)2 x→1 x − 4x + 4x − 8) lim x →3 x − 3x x4 −1 7) lim x →1 x + 2x − 10) lim mà tử số và mẫu số là các hàm đa thức) Bài Tính các giới hạn sau (dạng vô định x − 3x + x →1 x − 4x + 11) lim 3) 6) x5 + lim x3 + x→−1 x4 − 16 lim x→−2 x3 + x2 8x − 9) lim x → 6x − 5x + 2x − 5x + 3x + x − x →1 3x − 8x + 6x − 12) lim ; ; −) 2.1 Nhân lượng liên hợp (có bậc hai, bậc ba) 1) lim x → −1 4) lim x →2 7) lim x→1 x +1 x + + 3x x2 + − x−2 x + x3 − x x3 − x2 + 1+ x + x2 −1 2) lim x →0 x x 5) lim 1+ x −1 x →0 8) lim x→2 + 2x − 2 x2 − x + x+4 −3 x − 25 3) lim x →5 6) lim x3 − x + x2 − x→1 9) lim 4x − x−2 3) lim 3x − − x − x − x − 3x + x →2 2.2 Nhân lượng liên hợp (có hai bậc hai, bậc ba) 1) lim 5+ x − 5− x x − 3x + x − + x 2) lim x →0 x 4) lim + x − x2 + x +1 x 5) lim x →0 x →0 x→0 + x − + 3x x Trang x →1 6) lim x→1 3 x − + − x + x2 x2 − (2) x −1 + x +1 8) lim x →0 2x + − x + 2x − − x 7) lim x →1 x −1 + 2x − x −2 10) lim x →8 x + x2 + x +1 9) lim x →−1 x +1 3 x −1 x − +1 12) lim x +1 x −7 +2 3) lim − x3 − x2 + x2 −1 11) lim x →1 3 x →−1 2.3 Nhân lượng liên hợp (có bậc hai và bậc ba) 1− x − − x x →0 x 1) lim 2) lim x →1 3x + − + x 5) lim x →0 x x + − − x2 x −1 4) lim x →1 1+ x − 1+ x 7) lim 8) lim x x→0 10) lim 1+ x − 1− x x →0 x → −1 + 2x − + 7x x 1+ 4x − 1+ 6x 9) lim x2 − x + 11) lim x →1 6) lim x + 11 − x + x→2 1− x − 1+ x x→0 3x − − x − x − x − 3x + x2 x→0 x +1 x + − x + 20 x − 8x + 12) lim x →7 x2 + − 2.4 Nhân lượng liên hợp (giới hạn vô cực) 1) 4) x2 + x + + x + lim x→ x2 + + − x lim x2 + − x3 − x→+ ) 11) lim ( 10) lim ( 2x + + x x →+ x →+ −6 x + x − x + x →+ x − x + x − 13) lim 16) lim x →+ ( x − 3) ( x + ) ( 3x )( x→− ( x +1 − x lim 8) lim ( x →− 5) lim x2 + x − x x→+ ) 7) lim x →+ 2) ) x →− 17) lim x →− lim x − − x2 − x − x→+ lim x3 − x2 + x2 + x x→− x2 + ) 6) 3x + x + − x ) 9) lim ( 12) lim x →+ ( x + 3x − x − 2x x →− ) ( x − 1) ( 3x + x + 1) 14) lim 3x − + 10 x + ( x3 − + 3) x + x + x + 3x 4x2 +1 − x + Trang 4x 15) lim x →− 18) lim x →− x2 + x − x2 + ) x + 2x + − x − 2x + x + x2 + x + 5x + 2x2 + x −1 x x2 −1 ) (3) x2 + 4x + + 2x +1 19) lim 3x − x + + x x →+ x − 3x 2x + 22) lim x →− x →− ( x →− 23) lim x →+ x + x2 + x 25) lim x →− x + 10 28) lim 20) lim x3 + − x 26) lim x →− ) x + x2 + x x →− 3x − x + x − 3x 2x + 5x + − x 1− x 24) lim x − 7x + 12 x − 17 27) lim x4 + x+4 30) lim x ( x →− 3x + 1 − x + 4x − x 29) lim x x →+ 21) lim ( x →− 3x + − 3x − ) x →+ Bài Một số dạng giới hạn khác và giới hạn bên lim + ( x + 1) 1) lim+ ( x − ) x x −4 2) 3) lim ( x + ) x −1 x3 + x 4) lim ( x + 1) 5) lim (1 − 2x ) 3x + x3 + 6) lim x x+4 4−x 8) lim+ x →2 x →+ x →+ 7) lim x →2 ( x − 2) 9) lim− x →2 13) lim− x →1 x →0 10) lim− x+2 x x− x x − 7x + 12 − x2 x →3 12) lim− x5 + x x →2 − x + x −1 14) lim+ x →1 x − x3 2x + x +x+2 2x + x x5 − x + x →− x + 3x + x x −1 x →( −1) x →− − x2 2−x 11) lim + x →( −1) 2 x2 − (x + 1) ( − x ) x3 −1 x2 −1 2x + 16) lim x →1 ( x − 1) 2x − 15) lim− − x →2 x − x −4 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Bài Tính các giới hạn sau (sử dụng biểu thức liên hợp để tính các giới hạn) Trang x + 2x + x − x + x ) (4) ( 1) lim n + − n2 + n ) ( 4) lim 3n − + n2 − 27n3 ) 7) lim ( n + n − n + ) 10) lim ( 3n − 9n + 4n 2) lim n − n3 + n n + − n6 5) lim n − 8n − n + n 6) lim 2n + n − n 3 8) lim ( 2n − n3 + n − 1) 11) lim n4 + − n2 3) lim n − 9n2 + n + 4n2 + 2n ( ) n2 − 2n + n2 − 8n3 + n2 + n ) 9) lim (1 + n − n + 3n + ) n − 4n − 4n + ( n n + 3n − n3 12) lim 3n + − n ) n − n + 5n Bài Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn) 1) lim + + + n n2 2) lim 4) lim n + + + (2n − 1) 2n + n + 5) lim n + + + 2n 3n + n − 3) lim + + + n 12 + 2 + + n n + 3n + 1 + + + 6) lim n(n + 1) 1.2 2.3 n2 + 3n Bài Tính các giới hạn sau (biến đổi đơn giản un để tính các giới hạn) 1) lim 4) lim + a + a + + a n + b + b2 + + bn ( a 1; b 1) n2 − n − n + 2) lim 5) lim 3n2 + + n − 2.3n + 6n 3) lim 2n (3n+1 − 5) (2n n + 1)( n + 3) (n + 1)(n + 2) 6) lim n2 + − n6 n + + n2 n2 + − n − n2 + n + − n MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) Hàm số gọi là liên tục điểm x0 (a;b) ( ) ( ) nếu: lim f x = f x0 Điểm x0 mà đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn hàm số x→ x0 f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục điểm x0 (a;b) lim f ( x ) = lim f ( x ) = lim f ( x ) = f ( x0 ) + − x→ x0 x→ x0 x→ x0 f(x) xác định trên khoảng (a;b) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nó liên tục điểm thuộc khoảng f(x) xác định trên khoảng [a;b] gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nó liên tục trên khoảng (a;b) lim f ( x ) = f ( a ) và x→a+ f ( x ) = f ( b ) xlim →b − Trang (5) ( ) ( ) ( ) ( ) Các hàm số f(x) và g(x) liên tục x0 thì: f x g x , f x g x , f ( x) g ( x) ( g ( x) ) liên tục x Các hàm đa thức, hàm hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định chúng Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn ít điểm c (a;b) cho f(c) = Tức là phương trình f(x) =0 có ít nghiệm thuộc khoảng (a;b) B BÀI TẬP Bài Xét tính liên tục các hàm số điểm đã ra: x3 − x − 1) f(x) = x − x − 11 x x − 3x + x 2) f(x) = x − xo = x − x xo = x = 1 − x − 3) f ( x ) = 2− x 1 x + x 4) f(x) = x + − x + x − ( x ) x0 = (x = 2) x2 −1 − x 5) f (x) = x − 4x + 3− x x 1 − 2x − 6) f (x) = − x 2x + − x + Bài Cho hàm số f (x) = x−4 a−2 3x + − Bài 10 Cho hàm số f (x) = x−2 ax + x Tìm a để hàm số liên tục x = x Tìm a để hàm số liên tục x 3x + − x Bài 11 Tìm a để hàm số f (x) = x − ax + x liên tục trên R x x f ( x) = ax + b x 4 − x x liên tục trên R Bài 12 Tìm a để hàm số Bài 13 Chứng minh các phương trình sau có nghiệm: Trang xo = điểm x o = x = x (6) 1) x3 – 2x – = 2) x5 + x3 – = 3) x3 + x2 + x + 2/3 = 4) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 5) x5 + 7x4 – 3x2 + x + = 6) cosx – x + = Bài 14 Chứng minh phương trình 1) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) 2) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) 3) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) 4) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) 5) x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm [0;5] 6) 4x + 2x − x − = có ít hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (-1;1) Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn 2a + 6b + 19c = Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0; 1] Bài 16 Chứng minh các PT sau luôn có nghiệm: 1) m( x − 1) ( x − 3) + x − = 3) a cos2 x + b sin x + cos x = 2) (m 4) ( m + 1) x 2 ) + m + x4 + x − = − 2m2 x2 − x + m2 + = luôn có nghiệm Pb Trang (7)