Hàm số liên tục lớp 11

GVTH : Nguyn Hng Trung TRNG THPT HM THUN BC TO TOAN BAỉI DAẽY 2 )( xxf = )(xf 1x limvà f(1) Tính → có) nếulimvà f(1) sánh So 1x ( )(xf → ? gnét khôn liền đườngmột là có này thò Đồ . số hàmcủa thò đồ phácVẽ 2 )( xxf = 1)1( =f 1lim)(lim 2 11 == →→ xxf xx )1()(lim 1 fxf x = → Đồ thị là một đường liền nét y x o 1 1 M (P) Đồ thị không là một đường liền nét g(1) = 1 Không tồn tại 1 lim ( ) x g x → ⇒ x y o 1 2 3 • y x o 1 1 2 y x o 1 1 Đồ thị không là một đường liền nét Đồ thị không là một đường liền nétĐồ thị là một đường liền nét )1()(lim 1 fxf x ≠ → )1()(lim 1 fxf x = → )(lim 1 xf x → taïi toàn khoâng 1)1( = f Hàm số liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Hàm số không liên tục tại x=1 Theo các em thì hàm số phải thỏa mãn điều kiện gì thì liên tục tại x=1 ? )1(f = Hàm số phải thỏa điều kiện )(lim 1 xf x → Các hàm số có tính chất giới hạn và giá trị của hàm số tại một điểm mà nó xác định là bằng nhau đóng một vai trò rất quan trọng trong giải tích và trong các nghành toán học khác. Người ta gọi đó là các hàm số liên tục HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.Hàm số liên tục tại một điểm: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng Kvà x 0 ∈K. )()(lim 0 0 xfxf xx = → Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu: a) Định nghĩa: 2 3 4 1 ; 1 ( ) 1 5 ; 1 x x x f x x x − +  ≠  = −   =  Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1. VD1 : Cho hàm số : -1-2 1 1 5 2 2 -1 0 x y Ta có: f(1)=5 2 3 4 1 ( 1)(3 1) lim ( ) lim lim 1 ( 1) 1 1 1 x x x x f x x x x x x − + − − = = − − → → → lim (3 1) 3.1 1 2 1 x x − = − = → Vì f(1) ≠ 1 limf(x) x→ Hàm số đã cho khơng liên tục tại x = 1 Đồ thị minh họa [...]... Tìm a để f(x) liên tục tại x = 0 f(x)=f(0)= a Limf(x)=limf(x2)=0 khi x tiến về 0 Vậy a = 0 thì hàm số liên tục y = x2 4 y=a a 2 Nhận xét : f(x) liên tục tại x0 thì đồ thò không bò đứt đoạn tại x0 1 y=0 -2 -1 0 -1 1 2 x II HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG , ĐOẠN : Đònh nghóa * f(x) liên tục trong (a;b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi x0∈(a;b) f(x) liên tục trong (a;b)   ⇔ lim f ( x) = f (a ) : liên tục bên phải... f(x) liên tục trên [a;b] x →a  lim f ( x) = f (b) : liên tục bên trái tại b  x →b Chú ý : + − * Các hàm số gặp trong chương trình nếu f(x) =…… Cho bởi một công thức thì f(x) liên tục trên miền xác đònh của công thức đó * Đồ thò hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là một đường liền nét trên khoảng, đoạn đó Dựa vào định lý về sự tồn tại giới hạn của hàm số tại một điểm ta có định lý sau: Định lý: Hàm. .. So sánh Khơng bằng nhau Bằng nhau f (x) khơng liên tục tại x 0 f (x) liên tục tại x 0 Ví dụ 3: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = x2 trên (-2;2) ∀x0 ∈ (−2;2) ta có: f(x0)=x02 và 2 lim f ( x ) = lim x 2 = x0 x →x0 x →x0 (1) (2) (1) ∧ (2) ⇒ lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 Theo định nghĩa ta suy ra: f(x) liên tục trên (-2;2) y 4 x -2 0 2 Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng... lim f ( x ) x→ 0 f khơng liên tục tại x=0  x 2 + 1 nếu x > 0 f ( x) =  nếu x ≤ 0 x Minh họa y 1 y=x o y=x2+1 x Phương pháp xét tính liên tục của hàm số y=f(x) tại một điểm x0 Bước 1: Tính f(x0) f(x0) khơng xác định f (x) khơng liên tục tại x 0 f(x0) xác định Bước 2: Tìm tiếp tục bước 2 lim f ( x) x→ x0 Giới hạn khơng tồn tại Giới hạn tồn tại f(x) khơng liên tục tại x 0 tiếp tục bước 3 Bước 3: So sánh... nghiệm Giải Xét hàm số trên ta có : f(0)= - 5 và f(2) = 7 Do đó, f(0).f(2) < 0 Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2] Từ đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0 ∈ ( 0 ; 2 ) Hoạt động cá nhân Ví dụ 1: Cho hàm số:  x −1 nếu x ≠ 1  f ( x) =  x − 1 2 nếu x = 1  2 Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x0=1 x 2 − 1 nếu x ≠ 1  f ( x ) = x − 1  2 nếu x = 1... 2 x + 5 + x + 7 6 Từ (1) và (2) theo định nghĩa ta suy ra: Để f liên tục tại x=2 ta phải chọn: a=1/6 Một số nhà tốn học Bolzano 1781-1848 1789-1857 Veierstrass 1815-1897 Cha đẻ của GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI Dặn dò: ☺Học thuộc định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn ☺Nắm vững các bước chứng minh hàm số liên tục tại một điểm ☺Làm các bài tập 2;3;4;6 sách giáo khoa trang 141... Hàm số f liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi : lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Giải thích: Điều kiện cần và đủ để : đều tồn tại và bằng L lim f ( x ) = L là lim f ( x ), lim f ( x ) − + x →x0 x →x0 x →x0 III MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình f(x) = x3 +2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm Giải Xét hàm số. .. lim = lim x→ 1 x → x −1 1 x→ 1 x −1 (2) = lim( x +1) = 2 x→ 1 (1) ∧ (2) ⇒ lim f ( x) = f (1) x →1 Theo định nghĩa ta suy ra: Hàm số f(x) liên tục tại x=1  x2 − 1 nếu x ≠ 1  f ( x) =  x − 1  2 nếu x = 1  Minh họa y • 2 x o 1 Hoạt động cá nhân Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số x + 1 nếu x > 0 f ( x) =  nếu x ≤ 0 x 2 tại điểm x0=0 x 2 +1 nếu x > 0 f ( x) =  nếu x ≤ 0 x (1) Ta có: f(0)=0 và:... trên (-2;2) y 4 x -2 0 2 Đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó Các em hãy cùng nhóm của mình thực hiện bài tốn sau Cho hàm số:  2x + 5 − x + 7 nếu x ≠ 2  f ( x) =  x− 2  a nếu x = 2  Tìm a để hàm số f liên tục tại x0=2  2 x +5 − x + 7  f ( x) =  x −2  a  Ta có: f(2)=a (1) nếu x ≠2 nếu x = 2 và: 2x + 5 − x + 7 ( 2 x + 5 − x + 7 )( 2 x + 5 + x + 7 ) lim f . xxf = )(xf 1x limvà f(1) Tính → có) nếulimvà f(1) sánh So 1x ( )(xf → ? gnét khôn liền đườngmột là có này thò Đồ . số hàmcủa thò đồ phácVẽ 2 )( xxf = 1)1( =f 1lim)(lim 2 11 == →→ xxf xx )1()(lim 1 fxf x = → Đồ.      = ≠ − − = 1x neáu 2 1 x neáu 1 1 )( 2 x x xf Ta có: 2)1( = f 2)1(lim 1 )1)(1( lim 1 1 lim)(lim 1 1 2 11 =+= − −+ = − − = → →→→ x x xx x x xf x xxx và: (1) (2) )1()(lim)2()1( 1 fxf x =⇒∧ → Theo định