hàm số liên tục lớp 11

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG BA BỂ y TỔ TỐN – TIN TIẾT: 66 O y HÀM SỐ LIÊN TỤC O x Giáo viên: Nguyễn Thành Kiên x KIỂM TRA BÀI CŨ Bài tập Cho hàm số x 1 ax  f  x    x  x  x  Xét tính liên tục hàm số x = Bài giải Hàm số cho xác định với x   Ta có: f(1) = a +2 lim f  x  lim  ax    a  ; x x lim f  x   lim x  x  1 x x   - Nếu a=-1 lim f  x   lim f  x   f  1  f  x liên tục x x x - Nếu a≠-1 lim f  x   lim f  x   f  x  gián đoạn x x x Hàm số liên tục khoảng a) Định nghĩa - Hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) gọi liên tục khoảng đó, liên tục điểm khoảng - Hàm số f(x) xác định đoạn [a;b] gọi liên tục đoạn đó, liên tục khoảng (a;b) a b lim f  x   f  a  , lim f  x   f  b  [ x x a x b x ] Chú ý Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng b) Một số định lý hàm số liên tục Định lí Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm Tóm tắt định lí Cho f(x), g(x) hàm số liên tục x0 đó: f  x f  x  g  x  , f  x  g  x  ,  g x liên tục x0 g  x Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau a) y 2 x  x  b) x2  x  y x Bài giải a) TXĐ D R Vậy hàm số liên tục D= b) TXĐ D R \  1 Vậy hàm số liên tục D=\ {1}   c) TXĐ D R \   k , k  Z 2    Vậy hàm số liên tục D R \   k , k  Z 2  c) y tg x  Ví dụ Cho hàm số x 1 ax  f  x    x  x  x  Xét tính liên tục hàm số toàn trục số Bài giải + Khi x  1, ta cã f  x ax nên hàm số liên tục  Khi x  1, ta cã f  x   x  x  hµm sè cịng liªn tơc  Khi x 1, ta cã f  1  a  lim f  x  lim  ax    a  ; x x lim f  x   lim x  x  1 x x   - Nếu a=-1 lim f  x   lim f  x   f  1  f  x  liªn tơc t¹i x 1 x x - Nếu a≠-1 lim f  x   lim f  x f x gián đoạn x 1 x x Vậy + Nếu a=-1 f(x) liên tục tồn trục số + Nếu a≠-1 f(x) liên tục   ,1   1,   Định lí Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b], đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn giá trị trung gian giá trị nhỏ giá trị lớn đoạn  f , f /  a; b  Tóm tắt định lí f  x  lt /  a; b    max   x   a; b   f  f  x   f max y M=f(x2) a x1 c1 L O c2 c3 m = f(x1) 1)  x1, x2   a; b  :  x   a; b  cã f  x1   f  x   f  x2  Đặt: m = f(x1) giá trị nhỏ f(x) [a;b] M = f(x2) giá trị lớn f(x) [a;b] 2) Mọi L thoả mãn m ≤ L ≤ M,  c   a; b  : f  c  L x2 b x Hệ Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn điểm c(a;b) cho f(c) =  f  x  lt /  a; b    c   a; b  : f  c  0 Tóm tắt hệ   f  a f  b  Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) f(b) y B a c1 A O c2 f(a) c3 b x Ví dụ Chứng minh phương trình f(x) = x5 + x - = có nghiệm khoảng (-1;1) Giải Hàm số f(x) = x5 + x - liên tục  Ta có: f(-1) = -3 f(1) = 1 f(-1).f(1) = -3 < Vậy phương trình cho có nghiệm khoảng (-1;1) Bài tập Cho phương trình: f(x) = 2x3 – 3x – = Trong khoảng sau, khoảng phương trình có nghiệm A) (-2;-1) B) (-1;0) C) (0;1) D) (1;2) Bài tập Cho phương trình: x3  x  f  x  3x  x  Trong khoảng sau, khoảng phương trình có nghiệm A) (-3;-2) B) (-2;-1) C) (-1;0) D) (0;1) Chú ý Đồ thị hàm số liên tục khoảng “đường liền” khoảng Cho f(x), g(x) hàm số liên tục x0 đó: f  x f  x  g  x  , f  x  g  x  , g x liên tơc t¹i x0 g  x Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < 0thì phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b) y b) Ví dụ  x2  nÕu x 1  1) Cho hµm sè f  x   x  a nÕu x 1 (a lµ h»ng sè) a=2 Xét tính liên tục hàm số đà cho x0 x Gii Hàm số xác định trªn R  x  1  x  1 lim  x  1  x2  lim  lim f  x   lim x x x x  x x Mµ f  1 a y a≠2 Vậy: - NÕu a 2  lim f  x  2  f  1  f  x  liên tục x x - Nếu a 2  lim f  x  2  f f x gián đoạn t¹i x 1 x x ... liền” khoảng b) Một số định lý hàm số liên tục Định lí Tổng, hiệu, tích, thương (với mẫu khác 0) hàm số liên tục điểm liên tục điểm Tóm tắt định lí Cho f(x), g(x) hàm số liên tục x0 đó: f  x...  x  g  x  , g x liên tục t¹i x0 g  x Định lí Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau a) y 2 x  x  b)... Vậy hàm số liên tục D= b) TXĐ D R \  1 Vậy hàm số liên tục D=\ {1}   c) TXĐ D R \   k , k  Z 2    Vậy hàm số liên tục D R \   k , k  Z 2  c) y tg x  Ví dụ Cho hàm số