Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT

Sáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPTSáng kiến kinh nghiệm, SKKN Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình Toán lớp 11 THPT

SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT YÊN THẾ CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc THUYẾT MINH Mô tả giải pháp kết thực sáng kiến Tên sáng kiến: Phân loại cách giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: tháng 2/2021 Các thông tin cần bảo mật: Không Mô tả giải pháp cũ thường làm: Trường THPT Yên Thế, trường thuộc huyện miền núi tỉnh Bắc Giang, với nhiều học sinh em dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay , nhiều hạn chế việc tiếp thu kiến thức, đặc biệt kiến thức mơn địi hỏi tư trừu tượng mơn Tốn Phần đơng học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu Với đặc điểm trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh bản, thường mong muốn tập trung vào giúp em nắm vững giải thành thạo tốn có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) bám sát đề kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ toán làm sở để phát triển cho chủ đề khác, toán giới hạn hàm số số kiến thức cần thiết Lượng kiến thức giới hạn hàm số trình bày chương trình sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; tập chưa phong phú chưa nhiều; chưa có phân dạng đưa cách giải cụ thể Điều thực khó khăn học sinh có học lực trung bình, yếu Thực tế sách giáo khoa trang bị kiến thức đưa số tập đại diện Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp 11a6 (một lớp mơn Tốn), thấy tập dạng học sinh thường lúng túng, không hiểu đầu bài, không định hướng cách giải, trình biến đổi áp dụng tính chất Cụ thể, năm học 2018-2019 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi tổng hợp kết điểm phần giới hạn hàm số qua kiểm tra cuối học kỳ kết sau: Lớp 11a1 Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50% HS SL % SL % SL % SL % 45 2.22 13.33 11 24.44 27 60.01 Xuất phát từ thực tế đó, năm học 2020-2021 tiến hành đổi cách dạy nội dung lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp 11a1 năm học trước), cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước thực giải pháp, phương pháp chủ yếu áp dụng dạy học giới hạn hàm số là: dạy học giải vấn đề, kết hợp phương pháp dạy học nhóm phương pháp truyền thống bám sát theo nội dung, chương trình sách giáo khoa hành, trang bị kiến thức cho học sinh sau vận dụng vào giải tập sách giáo khoa Tuy nhiên, đáp ứng mục tiêu giáo dục với yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, phương pháp số hạn chế như: vận động học sinh chưa toàn diện, trải nghiệm đồng thời vấn đề nghiên cứu theo kênh thơng tin cịn ít, phát triền đồng hài hòa phẩm chất lực học sinh đơi cịn bị hạn chế Đặc biệt đối tượng học sinh trung bình yếu khả tư phân tích, tổng hợp hạn chế, gần giải biết Việc tự hình thành phương pháp giải chung phân loại tốn khó khăn Hơn nữa, lượng thời gian dành cho tiết học lớp không nhiều nên giáo viên giúp học sinh tổng hợp, phân dạng đưa cách giải cụ thể việc làm cần thiết Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến: Toán học mơn học địi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc phân dạng hình thành phương pháp giải dạng toán biện pháp mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu Trong chương trình Đại số Giải tích lớp 11, việc phân loại hình thành phương pháp giải tốn tìm giới hạn hàm số có vai trị quan trọng, có tính chất thực hành, tổng hợp sáng tạo Ngồi ra, củng cố, huy động nhiều kiến thức rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức Khi giải tập tìm giới hạn hàm số thầy trị vừa phải nhớ kiến thức bản, vừa phải xác định mối quan hệ kiện từ hướng đến điều cần tìm tịi Do vậy, người học phải tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ mỷ, đảm bảo tính xác, thúc đẩy người học khơng ngừng sáng tạo, ln ln phải cố gắng, tích cực, tự lực Trong trình giảng dạy đối tượng học sinh lớp tơi thấy em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng nhầm lẫn, sai sót việc giải số tốn tìm giới hạn hàm số Có thể có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, nguyên nhân chủ yếu học sinh chưa biết nhận dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để giải tốn hữu hiệu Các tốn tìm giới hạn hàm số lớp 11 chủ đề quan trọng xuyên suốt, làm sở để giải nhiều toán lớp 11, 12, thường đưa vào kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia đề thi học sinh giỏi Vì vậy, việc phân loại đưa phương pháp giải quan trọng học sinh Với xu đổi phương pháp giáo dục Bộ giáo dục đào tạo, trình dạy học để thu hiệu cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Các tốn tìm giới hạn hàm số phần kiến thức đa dạng, phong phú, cần có tư lơ gíc, khả ước lượng độ xác cao Để học tốt phần học sinh phải nắm kiến thức bản, thường xuyên làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kĩ biến đổi Kiến thức, tập phần tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó khăn việc phân loại dạng tốn vận dụng phương pháp phù hợp Do đó, tơi ln trọng việc hệ thống, phân loại dạng tập phương pháp giải tìm phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng thú học Mục đích giải pháp sáng kiến: Đề tài góp phần nghiên cứu cách có hệ thống, làm rõ việc phân loại đưa phương pháp giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT Giúp học sinh nhận dạng tìm phương pháp giải tối ưu, nhanh số dạng tập tìm giới hạn hàm số thường gặp đề kiểm tra học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia thi học sinh giỏi Phát triển khả tổng hợp, khái qt hóa dạng tốn phương pháp giải chung Rèn luyện kỹ giải nhanh giải tập trắc nghiệm Nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn tập học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi thi THPT quốc gia Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm thân Nội dung: 7.1 Thuyết minh giải pháp cải tiến 7.1.1 Giải pháp 1: - Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu sở lý thuyết để giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT - Nội dung: Hệ thống lại kiến thức bản; tổng hợp phân loại dạng toán; đưa phương pháp giải cụ thể cho dạng toán Chỉ điểm cần ý, sai lầm thường gặp hạn chế phương pháp - Các bước tiến hành thực giải pháp: Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo đề thi, đề kiểm tra Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy học phần kiến thức qua hình thức dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, vấn trực tiếp… Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm đồng nghiệp thân trình dạy học Đặc biệt kinh nghiệm giáo viên có chun mơn cao vấn đề nghiên cứu đề tài Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức thực nghiệm lớp ôn thi đại học, so sánh kết học tập học sinh khóa trước chưa áp dụng sáng kiến Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê toán học để phân tích kết - Kết thực giải pháp: + Sản phẩm tạo từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải toán tìm giới hạn hàm số lớp 11 THPT I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn Cho hàm số f  x  xác định khoảng  a; b  , trừ điểm x0   a; b  Nếu với dãy số  xn  mà xn   a; b  \  x0  ; lim xn  x0 ta có lim f  xn   L ta nói hàm số f  x  có giới hạn số L x dần đến x0 Khi ta kí hiệu lim f  x   L f  x   L x  x0 x  x0 b) Giới hạn vô cực Tương tự điều nêu phần a, L  ta nói f  x  có giới f  x    hay f  x    x  x0 hạn vô cực x  x0 kí hiệu xlim x 2) Giới hạn hàm số vô cực Cho hàm số f  x  xác định khoảng  a;    Khi với dãy số  xn  với xn  an, lim xn   ta có lim f  xn   L (hoặc ,   ) ta nói hàm số L f  x  có giới hạn L (hoặc ,   ) x dần tới vô cực Khi viết xlim  (hay  ) f  x   L (hay  ) Khi x   hàm số f  x   ; b  , với dãy  xn  mà xn  b lim xn   ta f  x   L (hay  ) f  x   L có lim f  xn   L (hay  ) ta có xlim  (hay  ) x   Một số giới hạn hàm số vô cực x x  0, lim  * xlim  x x k   (với * xlim  * xlim  x k   k chẵn   k lẻ ); xlim  1  lim k  k  ¥ * k x  x x 3) Một số định lí giới hạn hữu hạn f  x   L, lim g  x   M , c số Định lí: Nếu xlim x x x 0  f  x   g  x    L  M * xlim x   f  x  g  x    L.M lim c f  x   c.L (c số) * xlim x x x  0 * Nếu M  xlim x f  x  g  x L M f  x  L * xlim x f x  L   * xlim x f  x   L với L  * xlim x II PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN Dạng 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số quy tắc Phương pháp giải: * Theo định nghĩa giới hạn hàm số f  x  sở giới hạn dãy f  xn  Nếu có dãy xn xn tiến đến x0 mà lim f  xn   lim f   xn  khơng tồn f  x xlim x *Với số nguyên dương k, ta có: 0 x  x k lim x k  ; lim x k  , lim x k 1  , lim x  x  x  * Xác định dấu   dựa dấu tích số, thương số, x  x0 , x  x0 , x   Chú ý: Nếu hàm số f  x  đa thức, phân thức đại số hàm f  x   f  x0  số lượng giác có tập xác định D với x0  D ta có xlim x Dạng 2: Dạng vơ định Xét tồn: Tính xlim x 0 f  x g  x f  x   lim g  x   , f  x  , g  x  xlim x x x 0 đa thức thức Phương pháp giải: Phân lim x  x0 f  x g  x tích  lim x  x0 tử  x  x0  A  x   x  x0  B  x  mẫu  lim x  thành A x B  x nhân tử giản ước: Nếu A  x  , B  x  chứa nhân tử x  x0 ta tiếp tục phân tích thành nhân tử Chú ý: - Với f  x  , g  x  đa thức (thường hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) ta phân tích nhân tử việc giải phương trình f  x   g  x   - Với f  x  , g  x  thức, ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp số liên hợp biến) để phân tích nhân tử - Sử dụng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích thừa số bậc 2, chia đa thức, sơ đồ Hoócne,… - Chia tách thành phân thức cách thêm bớt đại lượng đơn giản theo x số mà giới hạn giữ nguyên dạng vô định f  x   ; lim g  x    lim  x   g  x    ; lim  x  g  x     - Nếu xlim x x x x x xx 0   Dạng 3: Dạng vô định Bài tốn : Tính lim x  f  x g  x f  x   lim g  x    , f  x  , g  x  lim x  x  đa thức thức Phương pháp giải: Chia tử mẫu cho x n với n số mũ bậc cao biến số x mẫu thức Nếu f  x  , g  x  có chứa biến x dấu thức đưa x k ngồi dấu (với k số mũ bậc cao x dấu căn) Chú ý: * Khi x   ta xử lý giống với giới hạn dãy số * Khi x   ta cần lưu ý đưa x 2k dấu thức bậc chẵn Dạng hay gặp x  x  x x     x x   *Xét hàm số h  x   f  x g  x có hệ số hạng tử bậc cao f  x  , g  x  a, b Và kí hiệu deg f  x  , deg g  x  bậc f  x  , g  x  - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  f  x g  x  f  x - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  g  x f  x - Nếu deg f  x   deg g  x  lim x  g  x a b  0 Dạng 4: Dạng vô định 0.∞  f  x  g  x   lim f  x   lim g  x    Bài tốn : Tính xlim x x x x x  0 Phương pháp giải: Ta biến đổi lim  f  x  g  x    lim x  x0 Hoặc biến đổi x  x0 f  x để đưa dạng g  x lim  f  x  g  x    lim x  x0 x  x0 g  x  để đưa dạng  f  x Dạng 5: Dạng vô định ∞ - ∞  f  x   g  x   lim f  x    lim g  x    Bài tốn 3: Tính xlim x x x x x  0 Phương pháp giải: Nhân chia với biểu thức liên hợp quy đồng để đưa phân thức Dạng 6: Giới hạn bên Phương pháp giải: f  x   lim f  x  không tồn lim f  x  * Nếu xlim x x x x x   0 f  x   lim f  x   L lim f  x   L * Nếu xlim x x x x x   0 7.1.2 Giải pháp 2: - Tên giải pháp: Vận dụng, thực hành giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT - Nội dung: Lựa chọn tập có tính đại diện cao, phù hợp dạng phân loại làm ví dụ minh họa phương pháp; vận dụng phương pháp nêu, giải tập mẫu, kèm theo thích ý hay mắc sai lầm Chỉ ưu điểm, hạn chế phương pháp giải Lựa chọn tập trắc nghiệm cho học sinh tự rèn luyện kỹ giải nhanh, đáp ứng đề thi, kiểm tra - Các bước tiến hành thực giải pháp: Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo đề thi Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy học phần kiến thức qua hình thức dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, vấn trực tiếp… Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm đồng nghiệp thân trình dạy học Đặc biệt kinh nghiệm giáo viên có chuyên môn cao vấn đề nghiên cứu đề tài Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức thực nghiệm lớp ôn thi đại học, so sánh kết học tập học sinh khóa trước chưa áp dụng sáng kiến Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích kết - Kết thực giải pháp: + Sản phẩm tạo từ giải pháp: Thực hành, phân loại vận dụng phương pháp giải tập tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT I MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số quy tắc Ví dụ Tính giới hạn hàm số a) f  x   x  10 x  3 b) f  x   2x  x  x2  Lời giải: a) Tập xác định hàm số  5;    Chọn dãy số  xn  với xn   5;    x  10  lim xn  10 cho lim xn  3 Theo định nghĩa xlim 3 n  Theo định lí giới hạn dãy số, ta có  2.lim xn  10   3  10   Vậy lim x  10  x 3 n  b) Tập xác định hàm số nên chọn dãy số  xn  cho xn  3) 2.lim xn  2.3  3 xn  lim(2 2x  n  lim f ( x )  lim  lim   n   Ta có x 3 x 3 32  n  x  lim( x  6) lim xn  6 n n n  Vậy lim x 3 2x  3  x2  n  Chú ý: Nếu hàm số f  x  đa thức, phân thức đại số hàm f  x   f  x0  số lượng giác có tập xác định D với x0  D ta có xlim x Ví dụ Tính giới hạn hàm số x2  a) f  x   b) f  x   x  x x  x  10 x  2x2  x  Lời giải: f  x   lim a) Theo định lí 1, ta có lim x 3 x 3  lim x  lim1 x 3 x3 lim 2.lim x x 3 limx limx  lim1  x 3 x 3 x3 lim lim x x 3 x 3  x 3 x2  x  lim  x  1 x 3 lim x x 3 3.3  x2   lim  Vậy x 3 3 x b) Vì  x  x    x  nên chưa thể áp dụng Định lí  x  3x  10   x    x   x5 Nhưng với x  , ta có  suy f  x   2x   x  x    x    x   lim  x  5 x5 lim x  lim 25 x2 f ( x)  lim  x2  x2  1 Vậy lim x 2 x 2 x  lim  x  3 2.lim x  lim 2.2  x2 x2 x2 Ví dụ Tìm giới hạn sau:  x2   a) xlim   3  x 1   x 3 3    x6    x2  b) xlim   2  x2   c) lim x6  Lời giải:   3    x2      lim   4 a) xlim   3   x   x3  3      x2 lim b) x 2   x2    x   x     xlim x2  2    x   3    c) lim   lim x 6  x 6  x      lim x 6  x33       x    xlim 2     x33  x6   lim   x6  x   x   x6   x 3 3       Ví dụ Tìm giới hạn sau  2x   a) xlim     4 x   17  b) xlim    x     x2  x   lim c) x     3 x  Ví dụ Tính giới hạn sau    a) lim   x 1 x  x 1     b) lim   x 1  x 1 x   1    c) xlim   2 x  x 4  Lời giải:    x  1    1 x   1    lim    lim    lim    2 x  x  x   x 1 x 1  x 1  x 1  x 1   a) lim  x 1    x  x2      x  1  x          lim   lim  lim b) x1     x  x  x1    x    x  x   x1    x    x  x    x2   lim  x 1  x  x     1   x24      c) xlim   lim    lim  2 x  x   x 2   x    x    x 2 x   1 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số sau x3 2 49  x a) lim x 7 2 x2 x  3x  b) lim x 2 c) lim x 1 2x   x  4x2  3 Lời giải: x3 2  lim x 7 49  x a) lim x 7 b) lim x 2   x3 2   x3    lim x     x   x    x7   x  x3    56 2 x2 2 x2 2 x2 1  lim  lim  x2 x  x  x   x  1  x    x   x  1  x      c) lim x 1    2x   2x   2x    lim  lim  2 x  x  x  4x   x  1  x  3x  3 x    x  3x  3 x   15     Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 1 2x   x  x3  x  b) lim x 1 x3  x  x2  c) lim x 1 x   x3  3x x 1 Lời giải: 2x    x  4 2x   x   lim a) Ta có lim x 1 x 1 x  4x   x  x  x  3 x   x    lim x 1 x  x  10 x    x  1   2x   x      x  1   x   x  1  x   x  1   x   x    lim x 1 x x 1  2x   x   1    3.2      15  x  1  x  1   x  1  x  1  x  1  x3  x  lim x 1   x  1   x   x3  3x x  3x  x   3x   lim  lim x 1 x2 1  x2  1 x3  3x  x1  x  1  x  1 x3  3x  b) lim x 1  lim 9 x 3x   1  x  x  1  3  x  1  x3  3x         x  1   x3  1  x  x  1  3  lim x 1  x  1  x  1  x  3x     1    1  2.3  3   2.2   1   1 x    x3  3x  x   x3  3x x2   x6  x4  x2  lim  lim c) lim x 1 x 1 x 1  x  1 x   x3  3x x1  x  1 x   x3  3x    lim x 1  lim x 1  x6  x4  8x2   x  1  x x   x  3x  1   x  x    x  1  x   x3  x    lim  x6  x  x  x   3x  x  1  x 1  lim x 1  x   x  3x  x  1   x  5x  3  x   x  3x Dạng 3, 4, Khử dạng vô định      1  1   3 1  , 0.∞, ∞ - ∞ Ví dụ Tính giới hạn sau a) xlim  2x 1 x 1 b) xlim  x2  1  3x  x Lời giải: 2 2x 1 x  20   lim a) xlim  x  x  1 1 x 1 x2  1 x  lim   b) xlim   x  x x     3.0  x x 1  x x 1 00 x  lim x  0 c) xlim  x  x  x  1 1  1  x x Ví dụ Tính giới hạn sau c) xlim  x x 1 x2  x   a) xlim  3x  x  1 b) xlim   x  1  x  x  3x3  x  x  3x  c) xlim  3x3  x  2 x  x  Lời giải:  3.0 x2 lim  lim a) x  x  x  x x           2.0        1   x  x  3x  x  1 6   3x3  x  x  3.0  2.0    lim x x b) xlim  x  3x  x   3.0  2.0 4  x x 3x3  x  lim  lim c) x  2 x3  x  x 2  x x   2.0  2.0   2  2.0  2   x x 3 Ví dụ Tính giới hạn sau x  3x  x 3x  a) lim x  b) xlim  x  x   3x  4x    x c) xlim  x x3 x2  Lời giải: a) Đặt x  t Với x    t   Khi xlim  x  3x  x t  3t  2t  lim   lim t  t  3x  3t  2 x  x   3x  b) xlim  x2    x 2  3.0  t   3  3  t 1  3 x x x 4 1   1 x x 1  lim x  Đặt x  t Với x    t   Khi 1    x  x   3x  t  t   3t  t t t  lim  lim  t  t  1 x2    x 4t    t   1 t t lim x  x x3  lim c) xlim  x  x    3.0 x x2  0 1 1 x Ví dụ Tính giới hạn sau 4x2  2x    x a) xlim  x2  2x   4x  b) xlim  x  3x  x c) lim x  4x2    x x3  x  x 2x  Lời giải: 4x  2x    x a) xlim  4  lim x  x2  3x  x 2   1 x x2 x  9 2 x Đặt x  t Với x    t   Khi 4x  2x    x lim x  x  3x  x  lim t  x2  x   4x  b) xlim  4t  2t    t x2    x  lim 4  lim t  9t  3t  2t 2   1 t t2 t 3 9 2 t  4 x x x 5   1 x x 1 x  Đặt x  t Với x    t   x  x   4x  Khi xlim  c) xlim  4x    x x  2x  x  lim x  2x   lim t  2t   4t  t   lim t  4t    t  4 t t t  1   1 t t 1 1  2.0  x  1 2  2.0 2 x 1 Ví dụ Tính giới hạn sau  2x   4x2  4x  a) xlim   b) xlim   x2  3x   x  Lời giải:   x   x  x    a) Ta có xlim    x   x  x   lim xlim  x  b) xlim    2x   4x2  4x  0  2 x  x   x   lim x         x  x x x   Ví dụ Tính giới hạn sau  a) xlim    x  3x   x  b) xlim   x  3x   x   Lời giải: a) Ta có xlim  lim x  lim  x  3x   x    ;   x  x  x   x   lim b) Ta có xlim  x    x  3x   x   lim x   1 x  1 x x    3 x  3x   x   lim   x          x  x x x     x  1  x  x   x   lim  x  3 x  lim   3 1 x  x    x  3 x  1  1 x x x 3 3x  Dạng Giới hạn bên Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x 2  x2  x2 b) lim x 2  2 x 2x  5x  2 c) lim x 2  2 x 2x  5x  2 Lời giải: a) lim x 2 b) xlim 2  c) xlim 2  x2   lim x2 x2 2 x x  5x  2 2 x x  5x  2 x2   x2  lim x2 1  lim   x    x  1 x2 x   lim 2 x 1  lim  x  2x 1  x    x  1 x 2 x2 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số điểm ra:  x2  2x x    x3 a) f  x    x   x  16 x   x   x  3x  x   x2  f x  b)     x x   x 1 Lời giải: a) lim f  x   lim x2 x2 x  x  2 x2  2x x  lim   lim   x2   x   x  x 8 x   x2 x  x   2.2   x  2  x  2  x2  4 x  16 lim f  x   lim  lim  lim  x    x    4.8  32 x  2 x x x x2 x2  lim f  x   lim f  x  Do đó, khơng tồn lim f  x  x 2 x 2  lim b) xlim 1 x 1  x  1  x   x  3x  x  1  lim  lim   x 1  x  1  x  1 x 1 x  11 x 1 x  2 lim f  x   lim x 1 x 2 x 1 f  x   lim f  x    Do lim f  x    Nhận thấy lim x 1 x 1 x 1   Ví dụ Tìm giới hạn hàm số điểm ra: x  x  m  a) f  x    x  100 x  x  x   x3   x  3m b) f  x    x  1  x  x  m  x  1 x  1 Lời giải: f  x   lim  x  m   m a) xlim 0 x   lim f  x   lim x 0 x0 x  100 x  3  1 x3 03 f  x  lim f  x   lim f  x   m  Để tồn xlim 1 x 0 x 0   f  x    lim f  x  Với m  xlim 0 x0   f  x  Vậy với m  lim x 1 f  x   lim  x  3m   3m  b) lim x 1 x 1   lim f  x   lim  x  x  m  3    m   m  x 1 x 1 f  x  lim f  x   lim f ( x)  3m   m   2m   m  Để tồn xlim 1 x 1 x 1  Với m   lim f  x   3.2     f  x    lim f  x   xlim 1 lim f  x      x 1 x 1  x 1 f  x  Vậy với m  xlim 1 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN   x3  x   Câu Giới hạn xlim  A B -∞ C +∞ D Câu Cho xlim    x  ax  3x  2 Tính giá trị a A -6 B 12 x x Câu Tính giới hạn xlim  A -∞ C 2017 x ta kết B Câu Giá trị giới hạn lim x0 A  1 2019 Câu Tính lim x 2 D 1 x 1 x C +∞ D B C -∞ D C +∞ D   x3  x   Câu xlim  A B -∞ Câu Biết lim x 3 C -1 B x  16  x3 A -2 D -12 x  bx  c   b, c  ¡  Tính P  b  c x3 B P  11 C P  12 A P  13 Câu Trong giới hạn sau, giới hạn +∞? 3x  x2  x  B xlim   x x 1 x 1 Câu lim x 1 x  A xlim  A B +∞ C lim x 1 Câu 11 Tính lim x  A -∞ B x2  x2 B x  3x  2x  A +∞ B  x  x  Câu 13 Giới hạn xlim  Câu 12 Giới hạn lim x 2 A +∞  D D 3 C C -1 D A +∞ Câu 14 Giới hạn lim x 5 x  2x  D xlim 0 C x2  x  Câu 10 lim x 2 x2  A 1 x D P  13 B x  12 x  35 x5 B C  D C -∞ D -1 C -2 D x x Câu 15 Giới hạn xlim 1  A  Câu 16 xlim 1  A +∞ Câu 17 xlim  A -2 x2 x 1 x 1 x 1  B -∞ C +∞ D B C -∞ D C  D  x  x   x B +∞ x2  x  4x2  2x  1 A B -∞ C  D 2 x   5x  a  (phân số tối giản) Giá trị Câu 19 Cho giới han lim x 3 b x  4x  T  2a  b A T  B T  1 C T  10 D T  8 x   x  ax  Câu 20 Tìm a để hàm số f  x    có giới hạn x  x  2 x  x  Câu 18 Giá trị giới hạn lim x  A B -1 C A +∞ B -∞ C 2 x  Câu 21 Kết xlim  1 x 1 Câu 22 xlim  A 3 x  x2 B -3 Câu 23 Tìm giới hạn xlim  A L   S  a2  b2 A S  20 D C -1 3x  1  2x C L  B L  Câu 24 Cho giới hạn lim x 2 D -2 D D L   a x  3x  a  phân số tối giản Tính b b x 4 B S  17 x  3x  1  x2 1 A L  B L   2 ax   bx  Câu 26 Cho biết lim  a, b  ¡ x 1 x  3x  biểu thức a  b Câu 25 Tính giới hạn L  lim x 1 C S  10 D S  25 C L   D L   có kết số thực Giá trị A  45 16 B C D 87  48 Câu 27 Tính giới hạn lim x 1 A x  3x  x 1 B Câu 28 Tìm giới hạn M  xlim  A M    C -2 x2  x  x2  x x   5x  B M  Câu 29 Giới hạn lim x 3 x  4x  D -1  C M  D M   a (phân số tối giản) Giá trị a  b b (giống câu 35) A B Câu 30 Tính giới hạn xlim  A B x 2018 x   x  1 C 2019 D -1 C 2018 D 2019 2017 Câu 31 Trong bốn giới hạn sau, giới hạn -∞?  A xlim  3 x  x  x  3 x  x2 B xlim 2  3 x  x2 C xlim 2  3 x  x2 D lim x2  2x  Câu 32 Giới hạn lim x 1 x 1 A B Câu 33 Giá trị lim x  x 3 x3 A -∞ B -1 A B  x 1 Câu 34 Tính lim x 1 x  C D C +∞ D 2 C D ĐÁP ÁN VÀ GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 11-C 21-B 31-C 2-B 12-B 22-C 32-A 3-C 13-A 23-A 33-B 4-A 14-C 24-B 34-C 5-A 15-B 25-B   x3  x     Chọn B Câu 1: xlim  6-B 16-A 26-B 7-D 17-A 27-D 8-C 18-D 28-C 9-D 19-C 29-C 10-C 20-A 30-B Câu 2: xlim    x  ax  3x  lim x  ax  x ax x  ax  x x x  ax  x ax a a  lim  lim    2  a  12 x  x  a a Chọn B  x   x  9 3 x x 2017    x 1 x 2019  x  lim x  lim     lim    2017  1 Câu 3: x  2019 2019  Chọn C x    x x x x     1 x 1  lim x 0 x Câu 4: lim x 0  x   lim   1  lim      Chọn A x 0  x  x  1 x 1  x 1  x2  4  x2    x  2  x2    x  16  lim  lim  2 Chọn A Câu 5: lim x 2  x x2   x    x  x  x2  x  x    x  x     Chọn B Câu 6: xlim  Câu 7: Theo ra, ta có x  nghiệm phương trình: x  bx  c   3b  c  9  x  3  x   b  x  bx  c x  bx  3b   lim  lim b6 Do lim x 3 x 3 x 3 x3 x3 x3 Suy b    b   c  9  3.2  15 Vậy b  c  13 Chọn D Câu 8: lim x 1 1 x x  2x  x 1  lim x 1  x  1  x  1  lim x 1 x 1  x  1   Chọn C  lim  lim  Câu 9: lim x 1 x  x 1  x  1  x  1 x1 x  Chọn D Câu 10: lim x 2  x    x  1 x2  x  x 1  lim  lim  Chọn C x  x  x2 x 4  x  2  x  2 1  1 2 x 1 x  lim x  1  lim Câu 11: xlim Chọn C  x  x  x  x2 1 x  x    x  1 x  3x  x 1  lim  lim  Chọn B Câu 12: lim x 2 x2 x 2 2x   x   2  x   x3  x    Chọn A Câu 13: xlim   x  5  x   x  12 x  35  lim  lim  x    2 Chọn C x 5 x 5 x5 x5 x2    Chọn B Câu 15: xlim 1 x 1 x 1   Chọn A Câu 16: xlim  1 x  x2  8x   x 8x  lim x  x   x  lim  lim Câu 17: x  2 x  x  x  8x   x 4x  8x   2x Câu 14: lim x 5    lim x  8x   x    x x x  lim x 8 x  4  2 x x   2  2 Chọn A Câu 18: x  x  4x   lim x  2x  lim x   x  1 1  x   1   x x x  lim x 1 x  2x  2 x Chọn D  x  1  5x   x  3x x  4x    lim x 21  x   lim   x 3 x 3 x 3 x  x  x  4x  x  4x  x   5x    x  4x   x  x  3  x x  4x   x  4x    lim  = lim    x 3  x  1  x   x   x   x 3  x  x   x    Vậy a  9; b   2a  b  2.9   10 Chọn C x   5x  Câu 19: lim f  x   lim  x  ax  1  2a  Câu 20: Ta có xlim 2 x 2   f  x   lim  x  x  1  2.2    Lại có xlim 2 x2 Theo ra, ta có 2a    a  Chọn A   2 x    Chọn B x 1 1  x  x  1  1  lim Câu 22: xlim Chọn C  x  x  1 x 3 3x  x  3  lim Câu 23: xlim Chọn A   x x  2 2 x  x  1  x   x  3x  x 1  lim  lim  Câu 24: lim x 2 x  x  x2 x 4  x  2  x  2 Câu 21: xlim  21  Vậy a  1; b   a  b  12  42  17 Chọn B  x  1  x  1 x  3x  1  2x  lim  lim   Chọn B Câu 25: lim x 1 x  x    x  1  x  1 x 1 1 x  a  b  x  4b.x  ax   bx  lim  lim Câu 26: x1  x  1  x   x 1  x  1  x   ax   bx    a  b 4b 3   2 9 45 3  b   a  b         Vậy a  b    Chọn B 16 16  2 Để tồn giới hạn → nhân tử  x  1 bị triệt tiêu   x  1  x   x2  3x   lim  lim  x      1 Chọn D x 1 x 1 x 1 x 1 x  4x  x2  x 3x 2 lim x  x  x  x  lim  lim Câu 28: x  2 x  x  x  4x  x  x x  4x  x2  x 3 x 3 3  lim  lim   x  x  1  Chọn C 4  x   x   1  1 x x x x Câu 27: lim x 1    x  1  5x   x  3x x  4x    lim x 21  x   lim   x 3 x 3 x  x  x  4x  x  4x  x   5x    x  4x   x  x  3  x x  4x   x  4x    lim  = lim    x 3  x  1  x   x   x   x 3  x  x   x    Vậy a  9; b   a  b    Chọn C Câu 29: lim x 3 x   5x  Câu 30: xlim  x 2018 4x   x  1 2019  lim x  x  lim 2019 x 2019   x  1 x  4 x2 2019 1  2   x   2019  2018 Chọn B 3 x    2 nên lim 3x    Chọn C  Câu 31: Vì xlim 2 x 2   x2 x  x   2.1    Chọn A x 1 11 3  x   1 2 x 3 x  lim x  1  lim Câu 33: xlim Chọn B  x  x  x3 x3 1 x x 1 x 1 1  lim  lim  Chọn C Câu 34: lim x 1 x  x 1  x  1  x  1 x 1 x  Câu 32: lim x 1 2 + Các bảng số liệu, biểu đồ so sánh kết trước sau thực giải pháp: Bảng 1: Điểm kiểm tra phần Giới hạn hàm số lớp 11A1 năm học 2018-2019 (Trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Lớp 11A1 Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50% HS SL % SL % SL % SL % 45 2.22 13.33 11 24.44 27 60.01 Bảng 2: Điểm kiểm tra phần Giới hạn hàm số lớp 11A6 năm học 2020-2021 (Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm) Lớp 11A6 Số Điểm tối đa Đạt 75% Đạt 50% Dưới 50% HS SL % SL % SL % SL % 49 14.29 25 51.02 12 24.49 10.20 Qua Bảng 1, cho thấy trước áp dụng sáng kiến điểm kiểm tra học sinh phần giới hạn hàm số thấp (60% mức trung bình), tỷ lệ học sinh đạt điểm giỏi, thấp Qua Bảng 2, cho thấy sau áp dụng sáng kiến điểm kiểm tra học sinh phần giới hạn hàm số lớp 11A6 (lớp có chất lượng mơn Tốn tương đương lớp 11A1 năm học trước) cải thiện đáng, tỷ lệ học sinh đạt điểm giỏi, tăng lên rõ rệt đạt mức cao (gần 60%), tỷ lệ trung bình thấp (khoảng 10%) Qua so sánh kết kiểm tra lớp, đối tượng học sinh không đồng phản ánh phần hiệu việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Học sinh học tập hào hứng hơn, chăm tiến 7.2 Thuyết minh phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng giảng dạy cho học sinh lớp 11A6 năm học 2020-2021, Trường THPT Yên Thế Đã giới thiệu cho đồng nghiệp trường THPT Yên Thế, THPT Bố Hạ THPT Mỏ Trạng Bước đầu số đồng nghiệp áp dụng số lớp có phản hồi tích cực 7.3 Thuyết minh lợi ích kinh tế, xã hội sáng kiến: Sau áp dụng giải pháp nêu trường THPT Yên Thế, hiệu sáng kiến đạt sau: Về lợi ích kinh tế Những ưu điểm áp dụng sáng kiến vào giảng dạy mơn Tốn trường phổ thông: - Tiết kiệm thời gian, công sức giáo viên tổ chức dạy học, rèn kĩ cho học sinh Giáo viên sử dụng phần sở lí thuyết sáng kiến để trau dồi kinh nghiệm phát triển sâu, rộng thêm Đồng thời, vận dụng giải pháp nghiên cứu sáng kiến để giải chủ đề tương tự khác cho mơn Tốn - Những giải pháp nêu sáng kiến trở thành tư liệu tham khảo cho giáo viên, tự nghiên cứu, xây dựng chủ đề dạy học làm tài liệu giảng dạy, rèn kỹ cho học sinh - Sáng kiến sử dụng làm tài liệu tự học hữu hiệu cho học sinh Tiết kiệm kinh phí mua tài liệu, sách tham khảo Về lợi ích xã hội - Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích, giúp giáo viên nâng cao lực chun mơn, nghiệp vụ, đóng góp hiệu cho cơng tác giảng dạy mơn Tốn trường THPT, đồng thời góp phần định hướng giáo dục phát triển phẩm chất, lực cho học sinh khả tự học cho học sinh - Việc phân loại toán số dạng để có phương pháp giải hợp lý giúp cho học sinh nhận dạng toán nhanh hơn, phản ứng trước toán nhạy cảm hơn, làm cho tư học sinh hoạt động cách linh hoạt, phát huy tính độc lập sáng tạo tạo hứng thú cho học sinh học tập có kết Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy vai trò người thầy việc tạo hứng thú học tập cho học sinh học đặc biệt quan trọng, phải luôn đưa học sinh vào tình có vấn đề để em tư duy, suy nghĩ lại phải tránh nhàm chán, lặp lại Muốn vậy, phải nhiều thời gian cho công việc chuẩn bị giáo án, đặt tình phương án giải tình dạng tập mà tổng hợp, làm cho tập dễ trở nên thật đơn giản, tập khó trở nên dễ * Cam kết: Tôi xin cam đoan điều khai trung thực, thật không chép vi phạm quyền XÁC NHẬN CỦA TRƯỜNG THPT YÊN THẾ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN Nguyễn Văn Minh ... pháp: + Sản phẩm tạo từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải tốn tìm giới hạn hàm số lớp 11 THPT I KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Giới hạn hàm số điểm a) Giới hạn hữu hạn Cho hàm số f  x  xác định khoảng... cứu cách có hệ thống, làm rõ việc phân loại đưa phương pháp giải tốn tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT Giúp học sinh nhận dạng tìm phương pháp giải tối ưu, nhanh số dạng tập tìm giới. .. phẩm tạo từ giải pháp: Thực hành, phân loại vận dụng phương pháp giải tập tìm giới hạn hàm số chương trình Tốn lớp 11 THPT I MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số quy tắc