Câu [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 11 trường THPT Quỳnh Lưu II – Nghệ An 2011-2012) Tìm giới hạn: x x2 x2 lim x Lời giải Ta có 3 x x 7 3 x 2 2 lim x x 1 x2 lim x x2 lim x Ta lim x có 2 x 7 lim x x 1 x x 1 x x x x2 x2 24 Do x [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Bắc 3 x lim x x2 x 1 3 x 2 12 lim Câu lim x Giang 2012 - 2013) x x 3x x2 Lời giải x x 3x x x 3x lim lim x x2 x2 Ta có x x x 3x 1 lim x x2 x2 x3 x 3x lim x x 1 x x x 1 x 3x 1 2x2 x 1 lim x x 1 x x x 1 3x 3 x 1 3 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Bắc Giang 2012 - 2013) Tính giới hạn x.3 2x lim x x Lời giải 3 x 2x x ( x 1) x lim lim x x x Ta có x Câu x ( x 1) 4x 2 lim x x x 4x lim x 3 x (1 x ) x 19 12 Tìm giới hạn sau: Câu Câu B lim x [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 Cao Bằng 2011 - 2012) Tính Lời giải x 1 x 1 x 30 1 30 x x x 30 x 1 x 1 x3 1 x 1 Ta có x x x x x 1 x 1 x 29 x 28 x 1 x 1 x 29 x 28 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 x3 x x 1 x 1 x x 1 x3 x x 1 x 1 x 29 x 28 x 1 30 x x x 30 lim B lim x 1 x x x x x x x x x x3 x Khi 30 93 1 93 B Vậy x 2011x 2009 lim x [DS11.C3.3.E04.c] [HSG_NAM ĐỊNH_2011-2012] Tính x Lời giải x 2011x 2009 x2 4021 x 1 lim lim 2011 lim 2011 x x x x 1 x x x 3 2 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 11 trường THPT Tiến Thịnh 2009-2010) x x x n n lim x Tính giới hạn x Lời giải x 1 x 1 x n 1 x x x n n lim lim x x x x x 1 1 x 1 x x 1 x n 1 lim x x lim x 1 x x 1 x n 1 x n n 1 1 n [DS11.C3.3.E04.c] [HSG11-QUỲNH LƯU-11-12] Tìm giới hạn hàm số: Câu Câu x x x 30 30 x x x3 x lim x x x2 x2 Lời giải x x2 x ( x 2) lim x x x2 x2 x ( x 1)( x 1) lim( ) x ( x 2)( x 1)( x 1) ( ( x 7) ( x 7) 4)( x 1)( x 1) lim lim( x 1 1 ) 2 24 ( x 2)( x 1) ( ( x 7) ( x 7) 4) Câu Câu Câu [DS11.C3.3.E04.c] (HSG11 – THPT Hậu Lợc – Thanh Hóa – 2014 – 2015) Tìm giới hạn sau: x 1 x x 1 x I lim x x Lời giải x 1 ( x 2) x 1 ( x 4) 6( x 1) I lim x x Ta có: lim x 1 x 1 2 53 x x 3 2 9x 8 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG cấp trường lớp 11 – THPT Thọ Xuân – Thanh Hóa – 2011 - 2012) x 3x lim x2 Tính giới hạn sau: L = x Lời giải x 3x x ( x 1) ( x 1) x lim lim lim x x x x2 x2 x2 x2 x3 3x lim lim x x ( x x 1) x x [( x 1) ( x 1) x (1 x) ] x.3 2x lim x [DS11.C3.3.E04.c] [HSG11_BẮC GIANG_2012-2013] Tình giới hạn x Lời giải Ta x x.3 2x lim lim x x x có x 1 2x 4x 2 lim lim x x x x 19 12 Câu 4x 1 2x 4x 1 2x x x lim 1 2x 4x x x 4x lim lim x x 4 x 2 x x 1 lim x x 19 12 Câu x3 x lim x2 [DS11.C3.3.E04.c] Tính giới hạn hàm số: x Lời giải x3 x lim lim x x2 Ta có: x x3 x2 x 1 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG cấp tỉnh Hà Tĩnh 2012-2013) Tính giới hạn Lời giải 4 x x 1 2x lim lim x x x x2 lim x 2x x x 4 x 2 x 1 2x x x 1 x 1 lim x 3 2 2 x 1 x x 1 x x x2 x 1 lim 11 x 3 x 1 x x x 24 1 lim ( n 1) n n n 1 2 [DS11.C3.3.E03.c] Tính giới hạn: Câu Lời giải k+1 - k k Với k nguyên dương, ta có (k 1) k k k ( k 1) k k k 1 1 1 ( n 1) n n n 1 n 1 Do đó: Câu k 1 1 lim ( n 1) n n n = 1 2 [HH11.C1.1.E04.d] Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng a 0x ( ABCD) cho SB SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM x với Mặt phẳng () qua M song song với SA, BD cắt SO, SB, AB N, P, Q a) Tứ giác MNPQ hình gì? b) Cho SA a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Lời giải a) Ta có: SB SD SBC SDC (c-c-c) Gọi I trung điểm SC Xét IBC IDC Ta có: IC cạnh chung, BC CD , DCI BCI IBC IDC IB ID IBD cân I IO BD Mà OI // SA SA BD (*) ( ) / / BD MQ // BD (1) BD ( ABO) ( ) ( ABO) MQ Ta có: ( ) / / BD NP // BD (2) BD ( SBO) ( ) ( SBO) NP Tương tự: MQ // NP // BD Từ (1) (2), suy (3) Mặt khác: ( ) / / SA MN // SA (4) SA ( SAO) ( ) ( SAO) MN ( ) / / SA PQ // SA (5) SA ( SAB ) ( ) ( SAB) PQ Tương tự: MN // PQ // SA Từ (4) (5), suy (6) Từ (3), (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật S MQ.MN b) Ta có: MNPQ A 45 Q 45 AQM M 90 Xét tam giác AQM, ta có: cân M MQ AM x a x MN OM OM MN AS a a x AS OA OA a 2 Xét tam giác SAO, ta có: MN // SA S MNPQ MQ.MN x a x x a x 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x a x , ta có x a x a² x a x 2 a² a² a² S MNPQ S MNPQmã 4 x Câu a a M trung điểm AO 2 Đẳng thức xảy x a x a x S MNPQ đạt giá trị lớn Vậy, với [HH11.C2.1.E03.b] Cho hình lập phương ABCD ABC D Hai điểm M N nằm hai cạnh BC và CD cho BM CN Chứng minh AM BN Lời giải a b c a AB a , AA b , AD c a Đặt , ta có b a c bc 0 , Đặt BM kBC Ta có AM AB BB BM a b kc , BN BC CN c k a AM BN a b kc c ka ka ka 0 Suy ra: Do AM BN u1 2 5u un 1 n , n un u Câu [DS11.C3.3.E02.c] Tìm số hạng tổng quát un dãy số n xác định bởi: Lời giải 1 u 3 1 5u 4u n un 1 –1 n 1 n un un Nên un 1 un un Ta có 1 v1 1 1 vn u u n Đặt , ta có Áp dụng cơng thức số hạng tổng quát cấp số cộng, ta được: n n 3 v1 n – 1 1 4 4 n7 un –1 un 1 n hay n 3 n 3 Suy n 7 un n , với n Câu [DS11.C3.3.E04.c] (HSG 2018 - 2019 Vậy số hạng tổng quát dãy số x 3x x 2x x THPT Đan Phượng - Hà Nợi) Tính giới hạn Lời giải x x lim x x J lim x x 3x x x x x 3x +) Xét I lim 2 x 12 x lim x x 1 x x x x 3x +)Tính x 1 lim lim x x x 1 x x x 2 x 1 A lim 1 x B lim x x 3x +Tính lim x lim x Câu lim x 13 x 1 x x x x 2 x x x 2 1 x x 2 x 1 x x Khi đó: J A + B I = 3 Vậy J [DS11.C3.3.E04.c] [ HSG CẨM THỦY 2008 – 2009] Tìm giới hạn sau: Lời giải 6x 3x 3x x 6x 9x lim lim lim x x x x2 x2 x2 lim x 6x 9x x2 lim x 27 27 x lim x x 3x 3x x 3x 3x 27 9 2 Câu [DS11.C3.3.E04.c] Tính giới hạn hàm số L lim x cos x sin x cos x Lời giải cos x sin x L lim lim cos 3x x x 6 2sin( x) 2 lim x x) 4sin ( x) x 4sin ( x) 3sin( 6 [DS11.C3.3.E04.c] (HSG Tốn 11 - THPT ĐAN PHƯỢNG Hà Nợi năm 1415) Tính: x x2 L lim x x Lời giải x x2 L lim x x x 2 x2 lim x x x x 1 lim 2 x 3 2 5 x x 7 x 1 12 12 [DS11.C3.3.E04.c] Tùy theo giá trị tham số m , tính giới hạn lim Câu Câu 2sin( x) 2sin( x) 2( cos x sin x) 6 2 lim lim cos 3x x 3x) x sin 3( x) sin( lim x x3 x2 1 x x mx Lời giải Tính lim x x3 x2 1 Nếu m lim x lim x lim x 3 x x 1 x3 x 1 x x x mx x x 3x x2 x x x3 x x3 x x x 3 x x x 2 4x2 x 2x 4x2 2x x lim x x2 x 4x 3 2 x 2x x x 1 x x x 1 x x x x3 x x3 x2 x lim x x 1 1 x x x x x 1 Nếu m lim x lim x x x 1 x3 x 1 x lim x x mx x x x ( m 3) x x x 1 x x mx Nếu m lim x x x x x x (m 3) x x [DS11.C3.3.E04.c] (HSG Toán 11 – Cụm Hà 2018 2018 C C2018 x C2018 x C2018 x 22017 lim 2018 x x Lời giải x Câu x 4 x x x 2 2018 2018 S1 C2018 C2018 x C2018 x C2018 x x 2018 2018 2018 S C2018 C2018 x C2018 x C2018 x x 2018 Đông năm 2018 2018 2018 2018 S C2018 C2018 C2018 C2018 x 1 x 1 x 2 2018 2018 C2018 C2018 C2018 C2018 x 22017 x x 2018 2018 x x 22018 lim x x 1 lim x 2018 22018 x 1 2017 lim x x 1 2017 x 1 x 2017 x 2016 x 2015 22 22017 x 1 lim x x 1 2017 2016 2015 2017 2017 1 x x x x 1 lim x 2 2016 2018.2 1819) Tính