Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG V: GIỚI HẠN HÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THUẬT NGỮ Giới hạn dãy số Các phép toán giới hạn Cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn KIẾN THỨC KĨ NĂNG Nhận biết khái niệm giới hạn dãy số Giải thích số giới hạn Vận dụng phép tóa giới hạn để tìm giới han số dãy số Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn vận dụng kết để giải số tình thực tiễn giả định liên quan đến thực tiễn Nghịch lý Zeno: Achilles ( A-sin, nhân vật thần thoại Hy Lap, mô tả chạy nhanh gió) đuổi theo rùa đường thẳng Vị trí xuất phát Achilles A R H 5.1 Zeno lí luận , cách vị trí xuất phát rùa quãng đường có chiều dài a rằng, chạy nhanh Achilles không đuổi kịp rùa A R1 khoảng thời gian này, rùa Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến trước vị trí R A R2 , lúc rùa di chuyển đến vị trí đến vị trí Sau đó, Achilles phải đến vị trí R3 … vậy, Achilles không đuổi kịp rùa Zeno (490-429 trước Công nguyên) triết gia Hy Lạp, đến từ thành phố Elea ( miền nam nước Ý ngày nay) Trong số nghịch lý Zeno, nghịch lý Achilles đuổi rùa coi thức đẩy hình thành khái niệm giới hạn, cơng cụ thiết yếu tốn học, sử dụng để nghiên cứu trinh liên quan đến vô hạn GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ HĐ NHẬN BIẾT DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN LÀ 1 n un u n Cho dãy số n với a) biếu diễn năm số hạng đầu dãy số trục số b) Bắt đầu từ số hạng dãy, khoảng cách từ un đến nhỏ 0, 01 ? u có giới hạn n dần tới dương vơ cực, n nhỏ lim un 0 u số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu n hay n n Ta nói dãy số un Ví dụ Xét dãy số Giải un n Giải thích dãy số có giới hạn Dãy số có giới hạn 0, TÀI LIỆU TỐN THPT un n nhỏ số dương bé tùy ý n dủ lớn Trang 1 10 2 Chẳng hạn, để tức n ta cần n 10000 n 100 Như vậy, số hạng dãy kể từ số hạng thứ 101 có giá trị tuyệt đối nhỏ 0, 0001 un 0,0001 Chú ý Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết sau: lim k 0 k * x n lim q n 0 q n Nếu un vnn 1 lim 0 n lim un 0 n 1 lim n 0 n Luyện tập Chứng minh n HĐ Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn n Cho dạy số un n 1 un v v un Tính nlim n với Xét dãy số n xác định với n lim un a 0 u Ta nói dãy số n có giới hạn số thực a n dần tới dương vô cực n lim un a u a n , kí hiệu n hay n 2n u lim u 2 n u n Chứng minh n n Ví dụ 2: Xét dãy số n với Giải : 2n 1 2n 2n 2 n n n Ta có n lim un 2 Do n un Nhận xét: lim un a n lim un a 0 n 3.2n lim u 3 u n Chứng minh n n Luyện tập Cho dãy số n với Vận dụng Một bóng cao su thả từ độ cao 5m xuống mặt sàn Sau lần un chạm sàn, bóng nảy lên độ cao độ cao trước Giả sử bóng ln chuyển động vng góc với mặt sàn q trình tiếp diễn vô hạn lần Giả sử un độ cao (tính u mét) bóng sau lần nảy lên thứ n Chứng minh dãy số n có giới hạn ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Hoạt động Hình thành quy tắc tính giới hạn u ; v n n u v n n Cho hai dãy số n n với lim un lim un lim n Tính so sánh: n n Tổng qt, ta có quy tắc tính giới hạn sau đây: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang a) Nếu lim un a n lim b n lim un a b lim un a b n n lim un a.b un a n v b (nếu b 0 ) n lim n lim un a lim un a b) Nếu un 0 với n n a 0 n n2 n 1 Ví dụ Tìm có: n 2n Giải Áp dụng quy tắc tính giới hạn, ta được: lim 1 1 nlim 1 n n 1 n n n n lim lim n 2n n 1 2 lim n n n Nhận xét: Để tính giới hạn dãy số dạng phân thức, ta chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao n , áp dụng quy tắc tính giới hạn lim 2n n 1 Luyện tập Tìm n TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VƠ HẠN Hoạt động Làm quen với việc tính tổng vơ hạn Cho hình vng cạnh (đơn vị độ dài) Chia hình vng thành bốn hình vng nhỏ nhau, sau tơ màu hình vng nhỏ góc bên trái (H.5.2) Lặp lại thao tác với hình vng nhỏ góc bên phải Giả sử q trình tiếp diễn vơ hạn lần Gọi u1 , u2 , , un , độ dài cạnh hình vng tơ màu a) Tính tổng S n u1 u2 un S lim Sn n b) Tìm Cấp số nhân vơ hạn un q 1 có cơng bội q với gọi cấp số nhân lùi vô hạn Cho cấp số nhân lùi vơ hạn Vì q 1 un với cơng bội q Khi S n u1 u2 un u1 q n 1 q n nên q n Do đó, ta có: TÀI LIỆU TỐN THPT Trang u u u lim Sn lim q n n n q 1 q 1 q Giới hạn gọi tổng cấp số nhân lùi vô hạn S u1 u2 un u S 1 q Như q 1 un , kí hiệu 1 1 S 1 2 Ví dụ Tính tổng Giải n q u Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u S 1 q 1 1 2 Do Ví dụ Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 2, 222 dạng phân số Giải 1 2 3 Ta có 2, 222 2 0, 0, 02 0, 002 2 2.10 2.10 2.10 u 20 2, 222 1 q 1 1 u 2, q 10 10 Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với nên 2 S 2 n 49 Luyện tập Tính tổng Vận dụng (Giải thích nghịch lí Zeno) Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km / h , vận tốc rùa 1km / h a 100 km khoảng cách ban đầu a) Tính thời gian t1 , t2 , , tn , tương ứng để Achilles từ A1 đến A2 , từ A2 đến A3 , , từ An đến An 1 ,… b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường A1 A2 , A2 A3 , , An An 1 , , tức thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa c) Sai lầm lập luận Zeno đâu? GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ Hoạt động Nhận biết giới hạn vô cực Một loại vi khuẩn nuôi cấy với số lượng ban đầu 50 Sau chu kì giờ, số lượng chúng tăng gấp đơi a) Dự đốn cơng thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn vượt số 10000 ? Nhận xét TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang un gọi có giới hạn n un lớn số dương lim un bất kì, kể từ số hạng trở đi, kí hiệu n hay un n - Dãy số lim un u - Dãy số n gọi có giới hạn n n , kí hiệu lim un n hay un n Theo định nghĩa trên, ta có: +) lim n k n , với k số nguyên dương; lim q n +) , với q Liên quan đến giới hạn vơ cực dãy số, ta có số quy tắc sau đây: u lim n 0 lim un a lim lim n v n Nếu n n (hoặc n ) n u lim n lim un a lim 0 n v n Nếu n , n với n lim un lim a lim un Nếu n n n Ví dụ Tính lim n 2n n Lời giải 2 2 n 2n n lim 1 lim n n n Hơn n n Ta có Do đó, lim n 2n n lim n Luyện tập Tính n BÀI TẬP 5.1 Tìm giới hạn sau: n n2 n 1 a) n 2n ; lim b) 5.2 Cho hai dãy số không âm un lim n n 2n n với lim un 2 n lim 3 n Tìm giới hạn sau: n u lim un 2vn un ; a) b) n 5.3 Tìm giới hạn dãy số cho bởi: lim n un n2 1 2n v 2n n a) b) n 5.4 Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số: a) 1, 12 1,121212 ; b) 3, 102 3,102102102 5.5 Một bệnh nhân hàng ngày phải uống viên thuốc 150mg Sau ngày đầu, trước mối lần uống, hàm lượng thuốc cun thể cịn 5% Tính lượng thuốc có thể sau TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang uống viên thuốc ngày thứ Ước tính lượng thuốc thể bệnh nhân sử dụng thuốc thời gian dài H 5.3 5.6 Cho tam giác vng ABC vng A , có AB h góc B Từ A kẻ AA1 BC , từ A1 kẻ A1 A2 AC , sau lại kẻ A2 A3 BC Tiếp tục trình trên, ta đường gấp khúc vơ hạn AA1 A2 A3 Tính độ dài đường gấp khúc theo h Em có biết? Dãy số Fibonacci tỉ lệ vàng Ta biết dãy Fibonacci cho hệ thức truy hồi: u1 u2 1, un un un với n u n 1 u u v n n , ta có cơng thức n Chia hai vế cho đặt v Dãy n có giới hạn số dương r thoả mãn phương trình r 1 r , hay tương đương 1 r r r 0 Giải phương trình ta Đây tỉ lệ vàng (golden ratio) sử dụng kiến trúc, hội hoạ, tôn giáo,… Dãy Fibonacci tỉ lệ vàng xuất nhiều giới tự nhiên Dãy số logistic p kpn pn cho công thức truy hồi n 1 để mô hệ sinh thái lồi (động vật thực vật), pn tỉ lệ số lượng cá Trong sinh thái học, người ta sử dụng dãy pn thể theo thời gian sức chứa môi trường, k hệ số phụ thuộc đặc điểm loài điều kiện môi trường Dãy số gọi dãy logistic, nhà sinh học Robert May đưa năm 1976 Tuỳ thuộc hệ số k giá trị ban đầu p0 , ta dự đốn thay đồi hệ tương lai Đặc biệt, trường hợp dãy ổn định pn có giới hạn số dương, ta nói hệ sinh thái loài (Theo Stewart, Calculus, Nhà xuất Cengage Learning) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Trong Thuyết tương đối Einstein, khối lượng vật chuyển động với vận tốc v cho m công thức: sáng m0 , v2 1 c m0 khối lượng vật đứng yên, c vận tốc ánh Albert Einstein (1879 - 1955) Chuyện xảy với khối lượng vật vận tốc vật gần với vận tốc ánh sáng? GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM HĐ Nhận biết khái niệm giới hạn điểm x2 f x x Cho hàm số f x a) Tìm tập xác định hàm số 2n xn n Rút gọn f xn tính giới hạn dãy un với un f xn b) Cho dãy số c) Với dãy số Giả sử xn a; b f xn lim n f xn cho xn 2 xn , tính tìm y f x a; b , khoảng chứa điểm x0 hàm số xác định khoảng f x trừ điểm x0 Ta nói hàm số có giới hạn số L x dần tới x0 với dãy số xn bất kì, f x L xn a; b , xn x0 f xn L lim x x0 f x L xn x0 , ta có , kí hiệu hay x x0 Ví dụ Cho hàm số f x x 1 lim f x x x Chứng tỏ Lời giải xn f xn xn 1 xn xn cho xn 1 xn Ta có 1 lim f xn lim lim f ( x) n n x x n Do Vậy Tương tự dãy số, ta có quy tắc tính giới hạn hàm số điểm sau: Lấy dãy số TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang lim f ( x) L a) Nếu x x0 lim g ( x ) M x x0 lim[ f ( x) g ( x)] L M x x0 lim[ f ( x ) g ( x)] L M x x0 ; lim c c - x x0 - x x0 với c số lim x n x0n với n lim[ f ( x).g ( x)] L.M x x0 lim x x0 f ( x) L g ( x ) M , M 0 x ( a; b) \ x0 b) Nếu f ( x) 0 với lim f ( x) L Ví dụ Cho f ( x) x g ( x ) x Tính giới hạn sau: lim[3 f ( x) g ( x)] a) x x x0 L 0 lim f ( x) L x x0 [ f ( x)]2 lim x g ( x) b) Lời giải lim g ( x ) lim x 1 lim f ( x) lim( x 1) lim x lim1 1 0 x Ta có Mặt khác, ta thấy x a) Ta có lim[3 f ( x) g ( x)] lim[3 f ( x)] lim g ( x) lim 3.lim f ( x) lim g ( x) 3.0 x x x x x b) Ta có: x x x x x f ( x )]2 lim f ( x).lim f ( x ) [ f ( x)]2 lim[ x x lim x 0 x g ( x) lim g ( x ) lim g ( x ) x Ví dụ Tính Lời giải lim x x x 9 x Do mẫu thức có giới hạn x nên ta áp dụng quy tắc tính giới hạn thương hai hàm số Chú ý lim x Do x ( x 9) 32 x x x( x 3) x( x 3) x 9 3 x 9 1 lim x x x lim[ x 3] x lim x x x Luyện tập Tính Hoạt động Nhận biết khái niệm giới hạn bên | x 1| f ( x) x Cho hàm số TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang a) Cho xn n n 1 xn n n Tính yn f xn yn f xn y b) Tìm giới hạn dãy số n c) Cho dãy số lim f xn n xn x n y n lim f xn cho xn xn xn 1, xn , tính n x ; b Ta nói số L giới hạn bên phải f ( x) - Cho hàm số y f ( x) xác định khoảng x x0 với dãy số xn thoả mã̃n x0 xn b xn x0 , ta có f xn L , kí hiệu lim f ( x) L x x0 a; x0 Ta nói số L giới hạn bên trái f ( x) - Cho hàm số y f ( x) xác định khoảng x x0 với dãy số xn thoả mãn a xn x0 xn x0 , ta có f xn L , kí hiệu x nÕu x lim f ( x) L f ( x ) x x0 x nÕu x Ví dụ Cho hàm số lim f ( x) lim f ( x) Tính x 1 x 1 Lời giải lim f ( x) L vµ chØ f xn xn2 x x0 x Với dãy số n cho xn xn , ta có lim f ( x ) lim f ( x) L x x0 x x0 lim f ( x) lim f xn 1 n Do x Tương tự, với dãy số xn lim f ( x) lim f xn 2 n x 1 f xn x n mà xn 2, xn , ta có , x nÕu x f ( x) x nÕu x 0 Luyện tập Cho hàm số lim f ( x ), lim f ( x) lim f ( x) x Tính x 0 x GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Hoạt động Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực f ( x ) 1 x có đồ thị Hình 5.4 Cho hàm số Giả sử xn lim f xn f xn dãy số cho xn 1, xn Tính tìm n TÀI LIỆU TỐN THPT Trang - Cho hàm số y f ( x ) xác định khoảng (a; ) Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn x x x , ta có f xn L kí số L x với dãy số n bất kì, n a n hiệu lim f ( x) L x hay f ( x ) L x - Cho hàm số y f ( x ) xác định khoảng ( ; b) Ta nói hàm số f ( x) có giới hạn x x b xn , ta có f xn L , kí số L x với dãy số n bất kì, n hiệu lim f ( x) L x Ví dụ Cho Lời giải hay f ( x) L x f ( x ) 2 lim f ( x) lim f ( x) x Sử dụng định nghĩa, tìm x x x Lấy dãy n cho xn xn , ta có lim f ( x) 2 lim f ( x) 2 Vậy x Tương tự, ta có x f xn 2 f xn 2 xn Do nlim - Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn điểm cho giới hạn hữu hạn vô cực - Với c số, ta có: lim c c, lim c c x x 1 0, lim k 0 k x x - Với k số nguyên dương, ta có: x x lim Ví dụ Tính lim x x2 1 x Giải lim Ta có x TÀI LIỆU TỐN THPT x2 1 lim x x x2 1 lim x x x lim lim x x x x Trang 10 Luyện tập Tính x2 x 1 lim x A a ;0 B 0;1 Vận dụng Cho tam giác vuông OAB với Hình 5.5 Đường cao OH có độ dài h a) Tính h theo a b) Khi điểm A dịch chuyển O , điểm H thay đổi nào? Tại sao? c) Khi A dịch chuyển vô cực theo chiều dương trục Ox , điểm H thay đổi nào? Tại sao? GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM a) Giới hạn vô cực f x x có đồ thị Hình 5.6 Cho HĐ4 Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực Xét hàm số xn n , chứng tỏ f xn a ; b x0 hàm số y f x xác định a ; b \ x0 Ta nói hàm số f x x x0 với dãy số xn bất kì, xn a ; b \ x0 , xn x0 , ta có có giới hạn Giả sử khoảng f xn , kí hiệu lim f x lim Ví dụ Tính x 1 x lim f x x x0 f x Ta nói hàm số x x0 chứa f x x x0 , kí hiệu xlim x0 có giới hạn , Giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 11 f x Xét hàm số f xn Do HĐ5 lim f xn n Cho hàm số Lấy dãy số xn f x Cho hàm số x xn lim Vậy x cho x xn 1 , xn Khi đó, xn 1 x x n n x x x Với dãy số n n cho n, n , tính lim f xn n y f x xác định khoảng x x0 bên phải với dãy số lim f x f xn , kí hiệu x x xn x0 ; b Ta nói hàm số thoả mãn f ( x ) có giới hạn x0 xn b , xn x0 , ta có Cho hàm số y f x xác định khoảng x x0 bên trái với dãy số f xn , kí hiệu lim f ( x) x x0 xn a; x0 Ta nói hàm số thoả mãn f ( x ) có giới hạn a xn x0 , xn x0 , ta có lim f x lim f x Các giới hạn bên x x0 x x0 định nghĩa tương tự Ví dụ Giải tốn tình mở đầu Giải Từ cơng thức khối lượng m0 m v2 1 c 0;c Rõ ràng v tiến gần ta thấy m hàm số v , với tập xác định nửa khoảng v2 1 lim m v c tới vận tốc ánh sáng, tức v c , ta có Do v c , nghĩa khối m lượng vật trở nên vô lớn vận tốc vật gần với vận tốc ánh sáng Luyện tập Tính giới hạn sau: lim lim x x x 2 x a) ; b) Chú ý Các giới hạn lim f x , lim f x x x định nghĩa tương tự giới hạn hàm số f x xác định khoảng a; , có giới hạn , f x lim f x x lim f x x vô cực Chẳng hạn: Ta nói hàm số xn với dãy số xn f x f x x , ta có f xn , kí hiệu xlim bất kì, xn a n hay x Một số giới hạn đặc biệt: TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 12 lim x k x lim x k x Với k nguyên dương; với k số chẵn; lim x k với k số lẻ b) Một số quy tắc tính giới hạn vơ cực Chú ý quy tắc tính giới hạn hữu hạn khơng cịn cho giới hạn vơ cực Ta có số quy tắc tính giới hạn tích thương hai hàm số hai hàm số có giới hạn vơ cực x Quy tắc tìm giới hạn tích f x g x lim f x L 0 lim g x lim f x g x Giả sử x x0 x x0 (hoặc ) Khi x x0 tính theo quy tắc cho bảng sau: lim f x lim g x x x0 L 0 f x g x Quy tắc tìm giới hạn thương lim f x x x0 L0 x x0 lim f x g x x x0 lim g x x x0 Dấu g x L L 0 Tùy ý L0 lim x x0 f x g x Các quy tắc cho trường hợp x x0 , x x0 x 1 lim Ví dụ Tính x x Giải Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn thương Rõ ràng, giới hạn tử số lim x 0 lim x 1 1 x lim x 1 x2 Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với x 0 x Do 1 lim lim x x x x x x Ví dụ 10 Tính Giải 1 1 lim lim 1 x 1 x x 1 x Viết , ta có x x Hơn x 1 x x x TÀI LIỆU TOÁN THPT x Trang 13 Áp dụng quy tắc tìm giới hạn tích, ta lim x x x Lí luận tương tự, ta có 2x 2x lim lim Luyện tập Tính x x x x lim x 1 x 1 x BÀI TẬP 5.7 Cho hai hàm số a) f ( x) g ( x) ; f ( x) x2 x g ( x ) x Khẳng định sau đúng? lim f ( x) lim g ( x) x b) x 5.8 Tính giới hạn sau: ( x 2) x a) x lim b) x2 x2 lim x 0 neu t H (t ) 1 neu t 0 (hàm Heaviside, thường dùng để mô tả việc chuyển 5.9 Cho hàm số trạng thái tắt/mở dòng điện thời điểm t 0 ) lim H (t ) lim H (t ) Tính t 0 t 0 5.10 Tính giới hạn bên: x lim a) x x ; x2 x 1 lim b) x 4 x x2 5x g ( x) | x 2| 5.11 Cho hàm số lim g ( x) lim g ( x ) Tìm x 2 x 2 5.12 Tính giới hạn sau: 1 2x lim x x2 1 a) b) lim x x2 x x ( x 1)( x 2) 5.13 Cho hàm số lim f ( x) lim f ( x) Tìm x 2 x 2 f ( x) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 14 Bài 17 HÀM SỐ LIÊN TỤC Thuật ngữ - Hàm số liên tục điểm - Hàm số gián đoạn - Hàm số liên tục khoảng - Hàm số liên tục đoạn Kiến thức, kĩ - Nhận dạng hàm số liên tục điểm, khoảng, đoạn - Nhận dạng tính liên tục tổng, hiệu, tích, thương hai hàm số liên tục - Nhận biết tính liên tục số hàm sơ cấp tập xác định chúng - Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B thời gian giờ.Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km Chứng tỏ có itt thời điểm hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km / h Hàm số liên tục điểm HĐ1 Nhận biết tính liên tục hàm số điểm x2 neu x 1 f ( x ) x 2 neu x 1 Cho hàm số lim f ( x) Tính giới hạn x so sánh giá trị với f (1) x Cho hàm số y f ( x) xác định khoảng ( a; b) chứa điểm Hàm số f ( x ) gọi liên tục lim f ( x) f x0 Hàm số không liên tục x0 gọi gián đoạn điểm x 1 f ( x) x điểm x0 2 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số x điểmf ( x0) x x0 Giải Rõ ràng hàm số f ( x) xác định \{1} , x0 2 thuộc tập xác định hàm số x 1 lim f ( x) lim 3 f (2) x x Ta có x Vậy hàm số f ( x) liên tục x0 2 1 s ( x ) 0 neu x neu x 0 neu x Ví dụ Xét tính liên tục hàm dấu Giải lim s ( x) 1, lim s( x) x Ta thấy x 0 Do khơng tồn lim s( x) giới hạn x Vậy hàm số gián đoạn TÀI LIỆU TOÁN THPT điểm x0 0 Trang 15 x f ( x) 0 x2 Luyện tập Xét tính liên tục hàm số HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘTKHOẢNG neu x neu x 0 neu x điểm x0 0 1 x neu x x neu x f ( x) g ( x ) 1 neu x 1 1 neu x 1 2 HDD2 Cho hai hàm số với đồ thị tương ứng Hình 5.7 Xét tính liên tục hàm số f ( x) g ( x) điểm thị x nhận xét khác hai đồ Hàm số y f ( x ) gọi liên tục khoảng ( a; b) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số y f ( x ) gọi liên tục đoạn [a ; b] liên tục khoảng ( a; b) lim f ( x) f (a ), lim f ( x) f (b) x b Các khái niệm hàm số liên tục nửa khoảng ( a; b],[ a; ), định nghĩa theo cách tương tự Có thể thấy đồ thị hàm số liên tục khoảng đường liền khoảng x a x neáu x 0;1 f x 0;1 neáu x 1 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số nửa khoảng Lời giải Ta có f x x Vậy hàm số f x với x 0;1 Với liên tục khoảng x0 0;1 bất kì, ta có lim x 1 x0 f x0 x x0 0;1 lim f x 0 f 1 f x 0;1 Hơn nữa, x 1 nên liên tục nửa khoảng Về tính liên tục hàm số sơ cấp biết, ta có Hàm số đa thức hàm số y sin x, y cos x liên tục Các hàm số y tan x, y cot x, y x hàm phân thức hữu tỉ (thương hai đa thức) liên tục tập xác định chúng TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 16 Ví dụ Cho hàm số f x x 1 x Tìm khoảng hàm số f x liên tục Lời giải Tập xác định hàm số khoảng ;1 f x ;1 1; Vậy hàm số f x 1; Luyện tập Tìm khoảng hàm số MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN HĐ3 Cho hai hàm số liên tục f x x f x x2 1 x liên tục g x x a) Xét tính liên tục hai hàm số x 1 L lim f x g x f 1 g 1 x b) Tính so sánh L với Ta có khẳng định sau tổng, hiệu, tích thương hai hàm số liên tục Giả sử hai hàm số y f x y g x liên tục điểm x0 Khi đó: y f x g x y f x g x y f x g x , liên tục x0 ; f x y g x0 0 g x b) Hàm số liên tục x0 a) Các hàm số Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f x sin x x Lời giải Hàm số xác định khoảng ;1 1; Trên khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) mẫu thức (hàm đa thức) hàm số liên tục Do đó, hàm số \ 1 f x liên tục Nhận xét.Nếu hàm số y f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn điểm c a; b f c 0 cho Kết minh hoạ đồ thị Hình 5.8 Ví dụ Chứng minh phương trình x x 10 0 có nghiệm Lời giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 17 Xét hàm số f x x x3 10 thức nên liên tục Ta có f 10 0, f 30 0; 2 Khi đó, phương trình f x 0 f x hàm đa có nghiệm 0; khoảng Vận dụng Giải tốn tình mở đầu BÀI TẬP f x g x lim f x g x 3 f 1 2 hàm số liên tục x 1 Biết x 5.14 Cho 5.15 g 1 Tính Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: 5.16 1 x neáu x x f x 4 x neáu x 1 f x x x a) b) m Tìm giá trị tham số để hàm số sin x neáu x 0 f x x m neáu x 5.17 liên tục Một bảng giá cước taxi cho sau: a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển b) Xét tính liên tục hàm số câu a TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 18 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V A-TRẮC NGHIỆM 5.18 Cho dãy số u n với un n lim un A n 5.19 Cho un lim un 1 B n B n A Cho hàm số A x f x x 1 Cho hàm số A Cho hàm số A Mệnh đề lim f x C x lim f x Khi x 0 x x2 x lim f x Khi x 0 x 1 x 1 f x ; ; 1 1; C Cho hàm số A a 0 D liên tục ; 1 1; D A 5.24 D x D C Hàm số lim f x C B f x Cho hàm số x 2 B x x x2 x D 3n Tổng cấp số nhân C D B f x 5.23 với lim f x 0 f x 5.22 un B lim f x 5.22 lim un 0 D n C u Cho cấp số nhân lùi vô hạn 5.21 lim un C n 22 n u 2n Giới hạn dãy số n A 5.20 n Mệnh đề B x2 x f x x a neáu x 1 neáu x 1 B a 3 f x Hàm số liên tục x 1 C a D a 1 TỰ LUẬN u 5.25 Cho dãy số n un có tính chất 5.26 Tìm giới hạn dãy số sau: un n Có kết luận giới hạn dãy số này? 3k 5k 6k k 0 n n2 3n n a) b) 5.27 Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dạng phân số a) 1, 01 ; TÀI LIỆU TOÁN THPT b) 5, 132 c) wn sin n 4n Trang 19 5.28 Tính giới hạn sau: x3 lim b) x x x2 lim x x ; a) 2 x lim x 1 x ; c) 5.29 Tính giới hạn bên: a) lim x x2 x lim d) ; b) x lim x x2 x2 1 x 1 x x 5.30 Chứng minh giới hạn x x khơng tồn 5.31 Giải thích hàm số sau gián đoạn điểm cho: lim 1 neáu x 0 f x x 1 neáu x 0 a) điểm x 0 ; 1 x neáu x f x 2 - x neáu x 1 điểm x 1 b) 5.32 Lực hấp dẫn tác dụng lên đơn vị khối lượng khoảng cách r tính từ tâm Trái Đất GMr neáu r R F r R GM neáu r R r Trong M , R khối lượng bán kính Trái Đất, G số hấp dẫn Xét tính liên tục F r hàm số 5.33 Tìm tập xác định hàm số sau giải thích hàm liên tục khoảng xác định chúng cos x x f x f x x 5x ; sin x a) b) 5.34 Tìm giá trị a để hàm số TÀI LIỆU TOÁN THPT 1 x neáu x a f x x neáu x a liên tục Trang 20