TÓM tắt lý THUYẾT CHƯƠNG GIỚI hạn hàm số LIÊN tục

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC I.GIỚI HẠN DÃY SỐ : 1)Các giới hạn đặc biệt của dãy số lim c = c 1) lim n k = +∞ , c là hằng số lim 2) =0 n , k là số nguyên dương lim 3) c =0 n lim 4) lim =0 nk 5) c =0 nk 6) lim q n = , q 7) 8) lim un 2)Quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số dạng tích : lim un = +∞ ⇒ lim un = +∞  lim v = C > n  1, 2, lim un = −∞ ⇒ lim un = +∞  lim = C < lim un = +∞ ⇒ lim un = −∞  lim v = C < n  3, 4, lim un = −∞ ⇒ lim un = −∞  lim = C > 3)Phương pháp tìm giới hạn của dãy số : Phương pháp : Đưa nk làm thừa số chung rồi tách thành giới hạn của một tích Sau đó rút gọn rồi tính (với k là sớ mũ cao nhất k ∈¥* ) 0.∞ Chú ý : Khi thay tính giới hạn mà có dạng hợp thì ta nhân tử và mẫu với một lượng liên a An + b.B n + c.C n d D n + e.E n + f F n Phương pháp : Khi biểu thức tính giới hạn dãy số có dạng làm nhân tử chung rồi tách thành giới hạn của một tích Sau đó rút gọn rồi tính thì ta đặt Mn { A, B, C , D, E , F } (với M = Max ) II.GIƠI HẠN HÀM SỐ 1)Các giới hạn đặc biệt của hàm số lim c = c x → x0 1) , c là hằng số lim x →±∞ =0 x lim x →±∞ 2) =0 xk lim x →±∞ 3) c =0 x lim x →±∞ 4) c =0 xk 5) , c là hằng sớ , ( k ∈¥ ) * lim x k = +∞ lim x k = +∞ x →+∞ 6) 7) Chú ý : Khi lim x k = −∞ x →−∞ x → −∞ x →−∞ nêú k là số chẵn x2 = − x ; 8) x4 = x2 nêú k là số le ; suy : lim f ( x).g ( x) x → x0 2)Quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số dạng tích :  lim f ( x) = L >  x→ x0 ⇒ lim f ( x).g ( x) = +∞  x → x0 lim g ( x ) = +∞  x→ x0 1) 2)  lim f ( x) = L <  x → x0 ⇒ lim f ( x).g ( x) = +∞  x → x0 lim g ( x ) = −∞  x → x0  lim f ( x) = L >  x→ x0 ⇒ lim f ( x).g ( x) = −∞  x → x0 g ( x) = −∞  xlim → x0 3)  lim f ( x) = L <  x → x0 ⇒ lim f ( x).g ( x) = −∞  x → x0 g ( x) = +∞  xlim → x0 4) x = − x3 3)Phương pháp tìm giới hạn của hàm số : lim x → x0 f ( x) g ( x) 0 Dạng : có dạng Cách : Phân tích f(x) và g(x) để tạo thừa số chung (x – x0) rồi rút gọn Cách : Nhân tử và mẫu với lượng liên hợp rồi tiếp tục để tạo thừa số chung (x – x 0) rồi rút gọn lim x →±∞ f ( x) g ( x) Dạng2 : Cách giải : Tương tự cách tính giới hạn của dãy số lim x→ x 0± Dạng3 : f ( x) g ( x) C có dạng , C là hằng số Cách giải : Sử dụng một quy tắc sau tìm giới hạn vô cực của hàm số dạng thương sau :  lim f ( x ) = C >  x → x0± f ( x)  g ( x) = ⇒ lim = +∞  xlim →x ± x → x ± g ( x)   g ( x ) > 1) 2)  lim f ( x) = C <  x→ x0± f ( x)  g ( x) = ⇒ lim = +∞  xlim →x x→ x ± g ( x)  0±  g ( x) <  lim f ( x ) = C >  x → x0± f ( x)  g ( x) = ⇒ lim = −∞  xlim →x x → x ± g ( x)  0±  g ( x ) < 3)  lim f ( x) = C <  x→ x0± f ( x)  g ( x) = ⇒ lim = −∞  xlim →x x→ x ± g ( x)  0±  g ( x) > Dạng4 : Tính giới hạn của hàm số lượng giác : 4) sin x =1 x →0 x sin kx =1 x →0 kx lim Cách giải : Áp dụng hai giới hạn sau : lim và III.HÀM SỐ LIÊN TỤC  f1 ( x ) x ≠ x0 f ( x) =   f ( x ) x = x0 Bài toán : Xét tính liên tục của hàm số Cách giải : tại x = x0 lim f ( x) x → x0 *)Tính giá tri : f(x0) ; lim f ( x) f ( x0 ) x → x0 *)Nếu giá tri và bằng thì kết luận hàm số liên tục tại x = x0 lim f ( x) f ( x0 ) x → x0 *)Nếu giá tri tục tại x = x0 và không bằng thì kết luận hàm số không liên  f1 ( x ) x ≥ x0 f ( x) =   f ( x) x < x0 Bài toán 2: Xét tính liên tục của hàm số Cách giải : lim f ( x ) tại x = x0 lim f ( x) x→ x x→x 0+ 0− *)Tính giá tri : f(x0) ; ; lim f ( x ) lim f ( x) x→x 0+ x→x 0− *)Nếu giá tri , và f(x0) cùng bằng thì kết luận hàm số liên tục tại x = x0 *)Nếu giá tri không bằng thì kết luận hàm số không liên tục tại x = x  f1 ( x ) x ≠ x0 f ( x) =   f ( x) x = x0 Bài toán 3: Xét tính liên tục của hàm số Cách giải : *)Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x ≠ x0 tập số thực R Kết luận  f1 ( x ) x ≥ x0 f ( x) =   f ( x ) x < x0 Bài toán 4: Xét tính liên tục của hàm số Cách giải : tập số thực R *)Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x > x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x < x0 Kết luận Bài toán 5:Chứng minh phương trình f(x) = có ít nhất một nghiệm x0 thuộc khoảng (a ; b) Cách giải : *)Xét hàm số y = f(x) có TXĐ : D = R nên hàm số liên tục R hàm số liên tục đoạn [a ; b] *)Tính : f(a) ; f(b) ; f(a).f(b) *)Kết luận +)Nếu f(a) f(b) < thì pt f(x) = có ít nhất một nghiệm x thuộc khoảng (a ; b) +)Nếu f(a) f(b) > thì pt f(x) = vô nghiệm hoặc không có nghiệm ... hàm số liên tục tại x = x0 *)Nếu giá tri không bằng thì kết luận hàm số không liên tục tại x = x  f1 ( x ) x ≠ x0 f ( x) =   f ( x) x = x0 Bài toán 3: Xét tính liên tục... liên tục của hàm số tại x = x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x ≠ x0 tập số thực R Kết luận  f1 ( x ) x ≥ x0 f ( x) =   f ( x ) x < x0 Bài toán 4: Xét tính liên. .. Cách giải : tập số thực R *)Xét tính liên tục của hàm số tại x = x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x > x0 *)Xét tính liên tục của hàm số với mọi x < x0 Kết