Chương 1 buoi 3 ham so lien tuc

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 3.1 Hàm số sơ cấp bản: Các hàm sau gọi hàm sơ cấp bản: 1) 2) 3) 4) 5) Haøm số f(x)=C, x  R Hàm số lũy thừa f(x)=x Hàm số mũ: y = a x ; a  0, a  Hàm số lôgarit y=loga x , (  a  1) Hàm số lượng giác: f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=tanx, f(x)=cotx 6) Hàm số lượng giác ngược: f(x)=arcsinx, f(x)=arccosx, f(x)=arctanx, f(x)=arccotx 3.2 Hàm số sơ cấp: Ví dụ: Hàm đa thức y = x + x − hàm sơ cấp Hàm y = sin(4 x + x − 3) hàm sơ cấp 2x − Hàm y = + 2x.tan(3x − 2) hàm sơ cấp x −1 Các hàm số sơ cấp hàm số có đồ thị liên tục miền xác định Khái niệm liên tục định nghĩa nào? 3.3 Hàm số liên tục lim f ( x ) = Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số, tính: x − x + 2, x   f ( x) = 3, x =  − x + x − 3, x  a) lim+ f ( x ) = ? lim− f ( x ) = ? f ( ) = ? x →3 x →3 b) lim+ f ( x ) = ? lim− f ( x ) = ? f ( ) = ? x →1 x →1 x →3 f (1 ) = lim+ f ( x ) = x →1 lim f ( x ) = x →1− f (3) Định nghĩa: a) Hàm số f(x) liên tục điểm x  lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Hay: f(x) liên tục x0  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Nếu hàm không liên tục x0, ta nói hàm f gián đoạn x0 x0 gọi điểm gián đoạn f b) Hàm số f(x) gọi liên tục (a;b)nếu liên tục x  (a;b) c) Hàm số f(x) gọi liên tục [a;b]nếu liên tục (a;b) đồng thời liên tục phải a, liên tục trái b Tức là: lim+ f ( x ) = f ( a ) vaø lim− f ( x ) = f (b) x →a x →b Định lý 1) Mọi hàm số sơ cấp liên tục khoảng xác định Ví dụ 1: a) f(x)=x -3x+1 hàm sơ cấp nên liên tục toàn miền xác định R 2x − b) f(x)= hàm sơ cấp nên liên tục khoảng x −1 xác định (-,1), (1,+) gián đoạn ñieåm x=1 ( ) c) f(x)=ln x − x liên tục toàn miền xác định (0;1)   d ) y = sin x + ln   hàm sơ cấp nên 2+ x liên tục toàn MXĐ x>-2 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số điểm x=1  x2 − , x 1  f ( x) =  x −  4x − 2, x = Ta có: f (1) = 2, 2x x2 − L ' lim f ( x ) = lim = lim =2 x →1 x→1 x →1 x − Ta thaáy: lim f ( x ) = f (1)  f liên tục x=1 x →1 Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục điểm x=0  sin x , x0  f ( x) =  x 2x + a , x  Ta có: f (0) = a, sin x =1 lim− f ( x ) = lim− x →0 x x →0 lim+ f ( x ) = lim+ (2 x + a ) = a x →0 x →0 f liên tục x=0  lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = f (0)  a = x →0 x →0 Ví dụ Xét tính liên tục hàm số: 𝑓(𝑥) = TXĐ: D=R Viết lại công thức hàm số: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 , 𝑥 𝑥 sin 𝑥 − , 𝑥 sin 𝑥 , ቐ 𝑥 1, 𝑥≠0 𝑥=0 >0 x